八年级上册第十二章全等三角形

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1、1 全等三角形的性质：全等三角形对应边相等、对应角相等。2 全等三角形的判定：三边相等(SSS)、两边和它们的夹角相等（SAS） 、两角和它们的夹边（ASA） 、两角和其中一角的对边对应相等（AAS） 、斜边和直角边相等的两直角三角形（HL） 。3 角平分线的性质：角平分线平分这个角，角平分线上的点到角两边的距离相等4 角平分线推论：角的内部到角的两边的距离相等的点在叫的平分线上。5 证明两三角形全等或利用它证明线段或角的相等的基本方法步骤：、确定已知条件（包括隐含条件，如公共边、公共角、对顶角、角平分线、中线、高、等腰三角形、等所隐含的边角关系） ，、回顾三角形判定，搞清我们还需要什么，、正

2、确地书写证明格式(顺序和对应关系从已知推导出要证明的问题).4、全等三角形 全等三角全等三角 形判定方形判定方 法图解法图解判定方法详细内容相应图解书写格式边边边 （SSS）三边对应相等的两个三 角形全等AB=DE BC=EF AC=DF ABCDEF(SSS)边角边 （SAS）两边及其夹角对应相等 的两个三角形全等AB=DE B=F BC=EF ABCDEF(SAS)角边角 （ASA）两角及其所夹的边对应 相等的两个三角形全等B=E BC=EF C=F ABCDEF(ASA)角角边 （AAS）两角及一角所对的边对 应相等的两个三角形全 等A=D B=E BC=EF ABCDEF(AAS) (

3、ASA) (SSS)(ASA)(SAS)斜边、直 角边 （HL）斜边和一条直角边对应 相等的两个直角三角形 全等AC=DF BC=EF RtABCRtDEF(HL)（1）能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形. （2）全等三角形的性质: 全等三角形对应角（边）相等。 全等三角形的对应线段（角平分线、中线、高）相等、周长相等、面积相等。 （3）全等三角形的判定: SAS ASA AAS SSS HL 二个假命题 1.三个角对应相等的两三角形全等。AAA 2.两条边和一个角对应相等的两三角形全等。SSA 直角三角形全等1直角三角形全等的判定方法有四项依据：“SASSAS”、“ASAASA”、“AA

4、SAAS”、“SSSSSS”“HLHL” 其中，“HLHL”公理只适用判定直角三角形全等。在这些方法的条件中都至少包含一条边。2使用“HLHL”公理时，必须先得出两个直角三角形，然后证明斜边和一直角边对应相等。全等三角形对应边通常有以下几种情况：全等三角形对应边通常有以下几种情况：1、对应角所对的边；2、两对应角的夹边；3、公共边；4、大边对大边；5、中点所分的两 条线段。全等三角形对应角通常有以下几种情况：全等三角形对应角通常有以下几种情况：1、对应边所对的角；2、两对应边的夹角；3、公共角；4、大角对大角；5、对顶角。确定全等三角形的对应元素七种方法确定全等三角形的对应元素七种方法方法方法

5、 1 1、如果两个全等的三角形中，有两个对应顶点已经确定，那么连结对应顶点的 边是对应边，对应顶点的对边是对应边；以对应顶点为顶点的角是对应角，剩下的第三个 角是对应角方法方法 2 2、如果两个边为对应边，那么它们的对角为对应角，它们的夹角为对应角；第 三条边为对应边方法方法 3 3、如果两个角为对应角，那么它们的对边为对应边，它们的夹边为对应边；第 三个角为对应角方法方法 4 4、公共边是对应边方法方法 5 5、公共角或者对顶角是对应角方法方法 6 6、在两个全等的不等边三角形中，我们通常直接观察可以发现边或者角的大致大小关系，那么，其中，最大的边是对应边，最小的边是对应边，长度居中的另一边

6、是对 应边；同理，最大的角是对应角，最小的角是对应角，大小居中的另一角是对应角这种 方法虽然不够严格，但是在实际中经常使用 方法方法 7 7、按照全等三角形的对应顶点中字母的出现位置来确定对应元素，在相同位置 上出现的字母所表示的元素必为对应元素这种方法的使用前提是，表示全等三角形时， 所写的表达式中对应顶点的位置必须写得准确无误判断两个三角形全等的作用：判断两个三角形全等的作用：答：判断两个三角形全等后，可以找到这两个三角形的对应边相等或对应角相等，这是 用来判断图中两条线段相等或两个角相等的另一种常用方法.而在得到线段相等或角相等后， 进一步还可以推断出一些其他的结论，如可以得到线段互相垂

7、直、平行等.全等三角形的构造方法：全等三角形的构造方法：1截长补短法截长补短法 补短法或补全法补短法或补全法 截长法或分割法截长法或分割法2 2平行线法（或平移法）平行线法（或平移法）若题设中含有中点可以试过中点作平行线或中位线，对若题设中含有中点可以试过中点作平行线或中位线，对 Rt,Rt,有时可作出斜边的中线有时可作出斜边的中线3 3旋转法旋转法对题目中出现有一个公共端点的相等线段时，可试用旋转方法构造全等三角形。对题目中出现有一个公共端点的相等线段时，可试用旋转方法构造全等三角形。4 4倍长中线法倍长中线法5 5翻折法翻折法若题设中含有垂线、角的平分线等条件的，可以试用轴对称性质，沿轴翻

8、转图形来构若题设中含有垂线、角的平分线等条件的，可以试用轴对称性质，沿轴翻转图形来构 造全等三角形造全等三角形三角形辅助线：三角形辅助线： 角平分线加垂线，对折平移试试看，角平分线加垂线，对折平移试试看，角平分线平行线，等腰三角形来添，角平分线平行线，等腰三角形来添，已知等腰三角形，三线合一常常画，已知等腰三角形，三线合一常常画，线段垂直平分线，常向两端把线连。线段垂直平分线，常向两端把线连。若有中线加倍延，二倍角画角分线，若有中线加倍延，二倍角画角分线，证和差截长补短，证倍分加倍等分。证和差截长补短，证倍分加倍等分。全等三角形的三种类型全等三角形的三种类型一、平移全等型平移全等型可视为由对应

9、相等的边沿同一直线移动所构成的全等三角形它是全等三角形中较简单的一类，其对应边、对应角、对应顶点比较明显证明平移全等型对应边的全 等关系一般由同一直线上线段和（或差）证得二、翻折全等型其特征是有对应相等的边（角或顶点）重合，可沿某一直线翻折且直线两旁的部分能完 全重合.因此，其重合的边是对应边，重合的角是对应角，重合的顶点为对应点 三、旋转全等型其特征是以三角形某一顶点为中心旋转所构成一般有一对相等的角隐含于对顶角、平 行线、某些角的和（或差）之中5、等腰三角形 定义：有两边相等的三角形是等腰三角形等腰三角形的性质：1.等腰三角形的两个底角相等。 （简写成 “等边对等角 ”）2.等腰三角形的顶

10、角的平分线，底边上的中线，底边上的高的重合（简写成 “三线合一 ”）3.等腰三角形的两底角的平分线相等。（两条腰上的中线相等，两条腰上的高相 等）4.等腰三角形底边上的垂直平分线到两条腰的距离相等。5.等腰三角形的一腰上的高与底边的夹角等于顶角的一半6 等腰三角形底边上任意一点到两腰距离之和等于一腰上的高(需用等面积法证 明)7等腰三角形是轴对称图形，顶角平分线所在的直线是它的对称轴等腰三角形的性质概括：等腰三角形的性质概括： 遇等腰时想等角，通常作出底边高遇等腰时想等角，通常作出底边高 平分底边和顶角，三线合一要记牢平分底边和顶角，三线合一要记牢 等腰三角形的判定：有两条边相等的三角形是等腰

11、三角形有两个角相等的三角形是等腰三角形（简称：等角对等边）等边三角形等边三角形的定义：有三边都相等的三角形是等边三角形。等边三角形是特殊的 等腰三角形。等边三角形的性质：（1）等边三角形的内角都相等，且为60 度（2）等边三角形每条边上的中线、高线和所对角的平分线互相重合（三线合一）（3）等边三角形是轴对称图形，它有三条对称轴，对称轴是每条边上的中线、高 线或所对角的平分线所在直线等边三角形的判定：（首先考虑判断三角形是等腰三角形）（1）三边相等的三角形是等边三角形（定义）（2）三个内角都相等的三角形是等边三角形（3）有一个角是 60 度的等腰三角形是等边三角形6、直角三角形 直角三角形的性质

12、： （1）直角三角形两个锐角互余； （2）直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半； （3）在直角三角形中，如果有一个锐角等于 30，那么它所对的直角边等于斜边的一半；（4）在直角三角形中，如果有一条直角边等于斜边的一半，那么这条直角边所对的锐角等 于 30； （5）在直角三角形中，两条直角边 a、b 的平方和等于斜边 c 的平方，即 a2b2=c2. （6）（h 为斜边上的高），外接圆半径斜边上的中线，内切圆 半径. 直角三角形的判定： （1）有一个角为 90； （2）边上的中线等于这边的一半； （3）若 a2b2=c2，则以 a、b、c 为边的三角形是直角三角形（勾股定理的逆定理）. 7、利用

13、三角形三边之间关系判断三角形是否存在和求边的取值范围的一般方法。 （1）已知三条线段 a、b、c（acab，第三边上 的中线 x 的取值范围为. 8、三角形全等的证题思路 9、有角平分线或中点时，常用到的辅助线 （1）在角的两边截相等的线段，构造全等三角形； （2）过角平分线上一点向角两边作垂线； （3）如有和角平分线垂直的线段时，常把它延长与角的两边相交构成等腰三角形； （4）有中线或有以线段中点为端点的线段时，常加倍它们，构造全等三角形。 10、解几何题的基本方法 （1）综合法是从已知条件出发探索解题途径的方法； （2）分析法是从结论出发，用倒推来寻找证明思路的方法； （3）两头“凑”的方

14、法，也就是综合运用以上两种方法才能找到证明思路（又叫分析 综合法）。 11、解答三角形问题的一般步骤为： （1）阅读题目，弄清题意； （2）把实际问题转化为几何问题； （3）画出几何图形； （4）解答几何问题，如距离、角度等； （5）解答应用题。 （注意：在转化为几何问题时，要根据几何图形，简要加以说明，或翻译成几何符号 语言。） 12、角平分线的性质定理和逆定理 性质定理：在角平分线上的点到这个角两边距离相等。 逆定理：到一个角两边距离相等的点，在这个角的平分线上。 13、线段垂直平分线性质定理和逆定理 性质定理：线段垂直平分线上的点和这条线段两个端点的距离相等。 逆定理：和一条线段两个端点

15、距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上。 14、轴对称与轴对称图形 轴对称：把一个图形沿着一条直线折叠，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个 图形关于这条直线对称，该直线叫做对称轴。 轴对称图形：如果一个图形沿着某一直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，那这个图 形叫做轴对称图形。 性质：（1）关于某条直线对称的两个图形全等； （2）如果两个图形关于某直线对称，那么对称轴是对应点连线的垂直平分线； （3）两个图形关于某直线对称，如果它们的对应线段或延长线相交，那么交点一定 在对称轴上. 判定：如果两个图形的对应点连线被同一条直线垂直平分，那么这两个图形关于这条直线 对称 . 15、中心对称与中心对称图形 中心对称：把一个图形绕着某一点旋转 180，如果它能与另一个图形重合，那么就说这 两个图形关于这个点成中心对称，该点叫做对称中心。 中心对称图形：把一个图形绕某一个点旋转 180，如果旋转后的图形能够和原来的图形 互相重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点就是它的对称中心。 性质： （1）关于中心对称的两个图形是全等形； （2）关于中心对称的两个图形，对称点连线都经过对称中心，并且被对称中心平 分。 判定： 如果两个图形的对应点连线都经过某一点，并且被这一点平分，那么这两个图形 关于这点对称。 16、尺规作图 在