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1、1东北师大附中 2011-2012 学年高三数学（理科）第一轮复习导学案 003简单的逻辑联结词、全称量词与存在量词编写教师：薛玉财 审稿教师：高长玉一、知识梳理（阅读教材选修 2-1 第 14 页至第 27 页）1简单的逻辑联结词常用的简单的逻辑联结词有“且” 、 “或” 、 “非” ，分别用符号表示 、其含义：“且”是若干个简单命题同时成立；“或”是若干个简单命题中至少有一个成立；“非”是对一个命题的否定（只否定结论）2由“且” 、 “或” 、 “非”联结的命题及其真假“且”即“” ，含义是两个命题“同时”成立pqpq“或”即“” ，其含义是、两个命题“至少有一个”成立pqpqpq“非”
2、，即“” ，含义是对命题的“否定” ppp由“且” 、 “或” 、 “非”联结的命题的真值表：pqpqpqp真真真真假真假假真假假真假真真假假假假真3量词（1）短语“对所有的”或“对任意一个”在陈述语句中表示所述事物的全体，逻辑中通常叫做全称量词，并用符号“”表示含有全称量词的命题叫做全称命题（2）短语“存在一个”或“至少有一个”在陈述语句中表示事物的个体或部分，逻辑中通常叫做存在量词，并用符号“”表示含有存在量词的命题叫做特称命题，或叫存在性命题（3）全称命题：；它的否定是p, ( )xM p x 00,()xMp x特称命题：；它的否定是q00, ()xM q x,( )xMq x 二、题
3、型探究探究一：探究一： 由由“且且” 、 “或或” 、 “非非”联结命题并判断其真假联结命题并判断其真假例 1 写出下列各组命题构成的“” 、 “” 、 “”形式的命题，并判断真假pqpqp2（1）：1 是素数；：1 是方程的根；pq2230xx（2）：平行四边形的对角线相等；：平行四边形的对角线互相垂直；pq（3）：方程的两实数根符号相同；：方程的两实数根绝对值相等；p210xx q210xx 思路: (1) 利用“且” 、 “或” 、 “非”把两个命题联结成新命题；（2）根据命题和命题的真假判断新命题的真假pq解答：（1）: 既是素数又是方程的根假命题pq12230xx： 是素数或是方程的
4、根真命题pq12230xx： 不是素数真命题p1（2）：平行四边形的对角线相等且互相垂直假命题pq：平行四边形的对角线相等或互相垂直假命题pq：有些平行四边形的对角线不相等真命题p（3）：方程的两实根符号相同且绝对值相等假命题pq210xx ：方程的两实根符号相同或绝对值相等假命题pq210xx ：方程的两实根符号不相同真命题p210xx 点评：正确理解逻辑联结词“且” 、 “或” 、 “非”的含义是解题的关键，应根据组成各个命题的词语中所出现的逻辑联结词进行命题结构与真假的判断其步骤为：确定新命题的构成形式；判断其中原12命题的真假；根据其真值表判断新命题的真假3探究二：探究二： 以由以由“
5、且且” 、 “或或” 、 “非非”联结的命题的真假为背景，求解参数联结的命题的真假为背景，求解参数例 2已知命题：关于的方程有实根；命题：函数在上是px240xaxq224yxax3,)增函数，若“或”是真命题， “且”是假命题，求实数的取值范围pqpqa思路：分别求出满足命题、的实数的取值范围，根据真值表对命题、的真假情况分类讨论求pqapq实数的取值范围a解： 真：， 或p24 40a 4a 4a 真：，q34a12a 由“或”是真命题， “且”是假命题得、两命题一真一假pqpqpq当真假时，；pq12a 当假真时，pq44a 3综上，的取值范围为a(, 12)( 4,4) 点评：解决这类
6、问题时，应先根据题目条件，即新命题的真假情况，推出每一个命题的真假（有时不一定只有一种情况） ，然后再求出每个命题是真命题时参数的取值范围，最后根据每个命题的真假情况，求出参数的取值范围此类参数问题中命题的本身可以涉及与其他知识点的综合，如函数与方程问题、函数与不等式问题探究三：探究三： 含有量词的命题的否定含有量词的命题的否定例 3写出下列命题的否定并判断真假（1）：所有末位数字是的整数都能被整除；p05（2）：；q20,0xx （3） ：存在一个三角形，它的内角和大于；r180（4） ：某些梯形的对角线互相平分t思路：通过否定量词、否定判断词写出命题的否定，利用与的真假关系来判断真假pp解
7、答：（1）：存在一个末位数字是的整数不能被整除，假命题p05（2）：，真命题q 02 00,0xx（3）：任意一个三角形的内角和不大于，真命题r180（4）：每一个梯形的对角线都不互相平分，真命题t点评：（1）全（特）称命题的否定与命题的否定有着一定的区别，全（特）称命题的否定是将其全称量词改为存在量词（或存在量词改为全称量词） ，并把结论否定；而命题的否定，只需直接否定结论即可（2）要判断“”的真假，可以直接判断，也可以判断的真假，利用与的真假相反判断pppp三、方法提升：1复合命题是由简单命题与逻辑联结词构成，简单命题的真假决定了复合命题的真假，复合命题的真假用真值表来判断，对于“或” ，
8、只有都为假，才为假，其他情况为真；对于“” ， pqpq、pq只有都为真，才为真，其他情况为假；“非”的真假与的真假相反pq、pp2常见的全称量词有：“所有的” 、 “任意一个” 、 “一切” 、 “每一个” 、 “任给” ；常见的存在量词有：“存在一个” 、 “至少有一个” 、 “有些” 、 “有一个” “某个” “有的”等3要判断全称命题的是真命题，需对集合中每一个元素，证明成立，若在集合中找Mx( )p xM到，使得不成立，那么这个全称命题就是假命题；要判断一个特称命题是真命题，只要在限定0x0()p x集合中，至少找到一个，使得成立即可，否则，这一特称命题就是假命题M0x0()p x4
9、全称命题的否定是特称命题；特称命题的否4定是全称命题 “”否定是“” ；“”的否定是“”pqpq pqpq 四、反思感悟五、同步练习（一）选择题 （1）下列命题中的假命题是 C（A）（B）（C）（D）,lg0xRx ,tan1xRx 3,0xR x ,20xxR （2）下列命题中的假命题是 B（A）, （B）,xR120x*xN2(1)0x（C） , （D）,xRlg1x xRtan2x （3）有四个关于三角函数的命题：xR, += ： 1p2sin2x2cos2x1 22p,sin()sinsinxyRxyxy、： , ： 3p0,x 1 cos2sin2xx4psincos2xyxy其中假
10、命题的是 A（A）， （B）， （C）， （D），1p4p2p4p1p3p2p4p（4）下列 4 个命题：；111:(0,),( )( )23xxpx 211 23:(0,1), loglogpxxx ；，其中的真命题是 D31 21:(0,),( )log2xpxx 41 311:(0, ),( )log32xpxx （A） （B） （C） （D）13,p p14,p p23,pp24,pp（5）已知命题所有有理数都是实数，命题正数的对数都是负数，则下列命题中为真命题的是（ D :p:q ）（A） （B） （C） （D）()pqpq()()pq ()()pq （6）若，则下列正确的是 A:2
11、25;:32pq5（A）或为真，非为假 （B）且为假，非为真pqqpqq （C）且为假，非为真 （D）且为假，或为假pqppqpq（7） ）命题“存在”的否定是 D0 0, 20xxR（A）不存在 （B）存在0 0, 20xxR0 0, 20xxR（C）对任意的 （D）对任意的, 20xxR, 20xxR（8）命题“”的否定是 C, sin1xRx （A） （B） 00, sin1xRx00, sin1xRx（C） （D）00, sin1xRx00, sin1xRx（二）填空题（9）命题“存在，使得”的否定是 xR2250xx答案：对任意，都有.xR2250xx（10）命题“对任何，的否定是
12、xR243xx存在，使得xR243xx（11）已知命题，若命题是假命题，则实数的取值范围是 2:,20pxR xaxa pa01a（12）已知：函数在 R 为增函数，：函数在 R 为减函数，1p22xxy2p22xxy则下列四个命题中，；，其中真命题的序号是12pp12pp12pp12pp （13）设函数的定义域为，有下列三个命题：)(xfR若存在常数，使得对任意，有，则是函数的最大值；MRxMxf)(M)(xf若存在，使得对任意的，且，有，则是函数的最大Rx 0Rx0xx )()(0xfxf)(0xf)(xf值； 若存在，使得对任意的，有，则是函数的最大值Rx 0Rx)()(0xfxf)(0
13、xf)(xf这些命题中，真命题的个数是_ 解析 符合最大值的定义，它们是正确的，而是错误的 答案 2（三） 、解答题（14）写出由下列各组命题构成的“或” ， “ 且” ， “非 p”形式的新命题，并判断其真假pqpq() ：2 是 4 的约数，：2 是 6 的约数；pq() ：矩形的对角线相等，：矩形的对角线pq互相平分；6() ：方程的两实根的符号相同，：方程的两实根的绝对值相等p210xx q210xx 解 ()或：2 是 4 的约数或 2 是 6 的约数，真命题；pq且：2 是 4 的约数且 2 也是 6 的约数，真命题；pq非：2 不是 4 的约数，假命题p() 或：矩形的对角线相等
14、或互相平分，真命题；pq且：矩形的对角线相等且互相平分，真命题；pq非：矩形的对角线不相等，假命题p() 或：方程的两个实数根符号相同或绝对值相等，假命题；pq210xx 且：方程的两个实数根符号相同且绝对值相等，假命题；pq210xx 非：方程的两实数根符号不同，真命题p210xx （15）写出下列命题的否命题及命题的否定形式,并判断真假:()若,则关于的方程有实数根;0m x20xxm()若都是奇数，则是奇数；xy、xy（）若，则中至少有一个为零.0abc , ,a b c解解 （）否命题：若，则关于的方程无实数根；（假命题）0m x20xxm命题的否定：，使得关于的方程无实数根；（真命题）0m x20xxm（）否命题： 若不都是奇数，则不是奇数；（假命题）xy、xy命题的否定：若都是奇数，则不是奇数；（真命题）xy、xy（）否命题：若,则全不为 0；（真命题）0abc , ,a b c命题的否定：若，则全不为 0.（假命题）0abc , ,a b c（16）已
