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1、极限分析原理及其在土工问题中的应用杨洪杰+ 1 ，一，沈珠江3 马桂云4 刘计山2( 1上海交通大学土木系，上海2 0 0 2 4 0 ：2 上海隧道公司技术中心，上海2 0 0 2 3 ；3 ；3 滑华丈学水利系。北京1 0 0 0 8 44 山东省水利勘测设讲院济南2 5 0 0 1 4 )摘要：随着有限元方法等计算技术的发展包括上限分析和下限分析在内的极限分析原理在土工问题中得到了广泛应用。与其它计算方法相比，极限分析法有其优越性本文对极限分析原理及其在土工问题中的应用方法做了较为全面的回顾和总结。关键询；上限分析；下限分析；土工问题有限元；1 极限分析原理极限分析理论包括上限定理和下限
2、定理两个部分。上限定理认为：在一个假设的满足速度边界条件和应变与速度相容条件的速度场中，由外载荷功率等于所消耗的内力功率所确定的载荷，一定不小于实际破坏载荷。满足上述条件的速度场叫做运动许可速度场。因此，根据上限原理，如果能找到一个运动许可速度场，则土体内的塑性流动必将发生或早已发生。在上限法中只考虑速度或位移模式和能量消耗，应力分布不一定要满足平衡条件，但是不能违反规定的屈服准则。下限原理认为：如果存在一个应力场满足平衡方程、应力边界条件、任意一点都不违反规定的屈服条件，则与这个应力场相对应的极限载荷一定不会大于实际的破坏载荷，满足上述三食条件的应力场叫做静力许可应力场。因此，根据下限原理，
3、如果我们能够找到这个静力许可应力场，则塑性流动一定不可能在相应的极限载荷下发生。由此可见，下限原理只考虑平衡和屈服，不考虑物体内的运动情况。极限分析理论以刚塑性体模型为基础，刚塑性体的一部分或全部在载荷作用下从静力平衡转向运动的临界状态称为极限平衡状态相应的载荷称为极限载荷。目前，计算土力学领域中的主要计算方法有二有限元法、极限平衡法、滑移线法和极限分析法。有限元法涉及到复杂的本构关系，在用有限元法进行弹塑性分析时，往往需要大量时间。滑移线法忽略了变形分析，只考虑平衡条件和屈服准则，这种方法只能得到一个部分应力场，部分应力场以外的应力分布是不确定的，其结果不一定是正确解，也不能确定它是上限解还
4、是下限解。极限平衡法是土力学中的传统方法，这种方法需要假定各种简单形状的破坏面，还要假定破环面上的应力分布，但是破坏面内不一定能很好地满足固体力学方程。关于极限分析和极限平衡法以及滑移线法之间的关M e i k e t s u 做过详细的阐述I IJ 。极限分析法以一种理想的方式考虑了土的本构关系，据此建立了成为极限分析基础的极限原理在这一假定范围内，极限分析法是严密的。2 极限分析的发展与应用极限分析法发展的历史要追溯到1 9 3 6 年，当时苏联学者首次建议用上限原理确定结构的承压能力。4 0 年代末到5 0 年代初，马尔科夫、H i l l 、P r a g e r 、H d g e 等
5、人相继提出一系列的极值原理、弹塑性和刚塑性材料的各种变分原理，成为极限分析的理论基础。H i l lP I T - 1 9 5 0 年最早把这些原理用于金属塑性加工问题。讲师博士主要从事岩士工程方面的研究( E m a i l ：h j y a n 曲s j t ue d u ：c n ) 院士博士，主要从事岩土工程方面的研究工程师，本科。主要从事水利设计、规划方面的工作 高工，奉科t 要从事岩石、地F 工程方面的工作“ 4 0 9 “凡人人人彖江东北山浙山河男男虫男)眈 莹墓i 态江叠山洪珠桂计杨沈马刘十简着作J o h n s o n 利K u d o ”1 于1 9 6 2 年首次利用三
6、角形刚性块组成的流动模式和速度场求解平面变形问题，使计算过程人大简化。c 一中材料的极限分析始于5 0 年代初，D m c k e r 最早提出用极限分析原理求解士上问题，s h i e l d给出了二维十工问题的运动场特征线解【4 】。在此以前极限分析的个别原理和方法已经在土力学中广泛应_ j 。例如C o u l o m b 土压力理论和土坡圆弧稳定分析法是运动场理论的应用，R a n k i n e 土压力理论和某些地基承载力公式是静力场理论的应用。4 0 年代苏联学者推导了静力场的微分方程式，并用特征线法求解了许多边值问题，建立了严密的静力分析理论散粒体静力学。沈珠江把S h i e
7、t d 和苏联学者的理论结台起来，求得了一些土力学中常见问题的静力场和运动场相结合的解答【6 ，”。由于数学上的困难，要求得全面满足静力方程、运动方程和相应边界条件的应力场和速度场非常繁琐，有时甚至不可能，因此许多人致力于开辟极限分析的另一条途径利用变分原理建立极值原理，并由此求出极限载荷的近似解【”。钟万勰推广了极值原理，提出了结构力学中极限分析的一般变分原理【9 J 。沈珠江曾经把这原理应闺于M o h r - C o u l o m b材料。但是以上的变分原理是在止交流动法则的基础上得到的，算出的剪胀量太大。后来P a l m e r 等人又提出了建立在非正交流动法则基础上极值原理l |
8、 “J 。潘家铮进一步发展了极值原理，并成功的用于解释古典的土坡滑弧分析方法”6 ”1 。因为得到的应力场和速度场与实际情况可能相差较大，所以上限解与F 限解可能相差较大，这样就难于确定真解，因为根据极限分析理论，真解应该介于上限解与下限解之间。为解决这个问题，沈珠江在1 9 6 2 年提出了土体极限分析的一般变分原理【1 ”。c 一巾材料的极限分析主要用于地基承载力、土压力、边坡稳定计算，这些问题是土力学中的经典问题。按照一般固体力学原理，这些问题的真解必须满足相应的静力平衡方程、运动方程和边界条件。要获得全面满足上述条件的解即使是在二维条件下也是非常困难的，在三维条件下几乎是不可能的。虽然
9、D a v i s 在1 9 6 8 年、C h e n 在1 9 7 5 年曾经用上限法求得土工问题的某些解析解【1 5 t 6 其过程仅限于边界条件非常简单的二维问题。对于那些有着复杂的边界条件和几何形状的问题，必须用数值方法来求解，其中最常用的数值方法是有限元法。应用有限元法求极限载荷的具体思路是；对土体结构进行离散，并构造相应的单元应力或位移模式，根据上、下限原理的理论，建立满足速度边界条件、应变与速度相容条件以及屈服条件( 上限法) 或满足平衡方程、屈服条件和应力边界条件( 下限法) 的数学模型，最后引入数学规划的方法求问题的解。极值原理和变分原理的提出对上限原理的研究和应用起到了较
10、大的促进作用。K n o p f e l 、B o t t e r o 用有限元法进行了土体材料的极限分析I l “”j 。在二维条件下，一般可以采用三角形单元，由于M o h r - C o u l o m b 屈服条件可以线性化，所以在求极值时可以用线性数学规划。S l o a n 在1 9 8 7 年研究了极限分析中线性数学规划的算法问题I l ，井在1 9 8 9 年提出用有限元法求解二维土工问题的极限分析上限解【“1 。他采用三角形单元、线性分布的位移模式、相关联的流动法则，建立相关的约束条件和数学模型，最后通过线性数学规划求问题的上限解。1 9 8 9 年T T a r n u m
11、 研究了不连续介质的刚塑性极限分析有限元法口1 I 。2 0 0 1年杨小礼、李亮提出了用线性规划中的内点法来解决二维上限法中的线性优化问题1 2 “。以上文献中采用的都是有限元法与极限原理相结合的办法求解极限荷载，用有限元法求极限荷载结果较为准确，但是计算量大，相对来说，滑块法的计算量比较小。陈祖煜在2 0 0 2 年系统地研究了土坡稳定问题的二维上限法【”1 他把土坡划分为几个刚性块，由一个刚性块的速度可以计算出相邻块体的速度，从而可以比较方便地实施上限法。1 9 9 9 年杨雪强等人基于士体的极限平衡理论，结合饱和土地基的三维破坏模式，从能量角度和通过引入适当的能茸安全系数，探讨了饱和地
12、基的极限承载力问题和承载力设计问题。1 9 9 7 年M i c h a l o w s k i计算了矩形和方形承载力的上限解“。以上文献中采用的都是滑块法，与有限元法相比，滑块法简单明了，底板F 的地基或- 十坡等简化为几个刚性滑块，计算量也不大，但是结果比较粗糙。下限原理的求解需要构造一个好的应力场，故下限原理的应用较上限原理困难一些。在下限法的数学模型中优化变量是节点应力。变量的数目往往是非常多的，这是造成构造符合F 限法要求的赢力场困难的土耍原因，这个问题也必须用有限元法米解决。1 9 7 0 年t y s m e r 最早提出下限原理有限元法1 2 6 ，但是其算法需要大量汁算时间。
13、A n d e r h e g g e n 、B o t t e r o 都对二维下限法做过研究【l “J 。1 9 8 8 年S l o a n 把L y s m e r 的方法作了改进，使计算时间人为减少。1 9 9 3 年S i n g h 和B a s u d h a r 提出了条形基础承载力的二二维下限有限元算法口。1 9 9 6 年L A B o r g e s 提出了一种可以用丁下限分析的非线性优化算法【j 。在国内1 9 9 7 年李国4 l O 英、沈珠江用卜限原理有限元法求解了二维表面基础承载力和土坡稳定问题【3 ”。对于复合士的极限分析目前文献较少，2 0 0 0 年Z
14、h e n g 等研究了成层十的二维上下限解p “。虽然下限法的应用比上限法困难一些，在实际工程中用的也较少但是从理论上讲，对于土工问题，下限法比上限法更有用。因为对土工问题我们希望得到一个有一定安全系数的极限载荷，作为设计的一个依据。下限法的结果比实际结果小，偏于安全，而上限法的结果定比真解大，偏于不安全。故从工程安全角度考虑，上限解不能用来作为设计的依据。而在金属加工闽题中，上限解比F 跟解更有意义，因为金属加工需要比理论计算结果稍微大一些的变形功或加工力，上限法无疑满足这个要求，所以在金属体积成形和塑性加工中，上限法得到了广泛应用。3 极限分析问题的求解方法极限分析在应用中的主要数学工具
15、是数学规划。因为无论是上限法还是下限法，最终都要把问题抽象为一个在众多约束条件卜I 求多变量函数的极值问题的数学模型，因此，优化计算是极限分析的关键。在这个数学模型中，数学规划可能是线性的，也可能是非线性的，取决于模型中的目标函数和约束条件的具体形式。在S l o a n 的对土体材料的极限分析中，建立的是一个线性的数学规划p o , 2 8 。他求解的是一个二维问题，在二维条件下，士体材料最常用的屈服条件即M o h r - C o u l m b 条件可以用个正多边形来逼近，这样就可以把非线性的屈服条件线性化。如果采用线性单元，如在= 维问题中采用三节点三角形单元，那么单元中的应力分布也是
16、线性的，这样在最终建立的数学模型中，目标函数和所有的约束条件都是线性的，从而可以通过求解线性数学规划来得到问题的解。线性数学规划是很容易求解的，目前在极限分析中采用的最简单的方法是单纯形法，如李国英p ”在进行二维表面基础承载力和简单边坡稳定的极限分析中采用的就是单纯形法，这种方法思路简单，易于实现，但是其搜索时间长，迭代次数多。如果问题中的单元和应力或速度间断面的数目较少，可以采用最陡边有效集法 1 9 , 2 0 , 2 8 1 或拉格朗日增量法p 3 , 3 4 ，对于变量个数不太多的情况，这些方法是非常有效的。K a r m a r k e r p 5 I 提出了一种内点算法，通过引进变量将原问题转化为标准的内点法问题，将原问题的可行域仿射为单位球体区域，在仿射后的单位球体区域内向目标函数减少最快的方向移动，寻求问题的最优解，最后进行逆变换，将得到的解转换回原来的可行域。这种方法适于大规模 的线性优化计算，并且有很高的计算效率。杨小礼等叫用这种方法求解了表面基础的上限
