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1、1第八章第八章 应力状态分析和强度理论应力状态分析和强度理论授课学时：8 学时 主要内容：斜截面上的应力；二向应力状态的解析分析和应力圆。三向应力简介。$8.1 应力状态概述应力状态概述 单向拉伸时斜截面上的应力单向拉伸时斜截面上的应力1应力状态应力状态 过构件上一点有无数的截面，这一点的各个截面上应力情况的集合，称为这点的应力 状态 2单向拉伸时斜截面上的应力单向拉伸时斜截面上的应力 横截面上的正应力AN斜截面上的应力 cos cosAP APpaa斜截面上的正应力和切应力为2coscosaap2sin2sinaap可以得出 时 0max时 42max过 A 点取一个单元体，如果单元体的某个
2、面上只有正应力，而无剪应力，则此平面称 为主平面。主平面上的正应力称为主应力。 主单元体 若单元体三个相互垂直的面皆为主平面，则这样的单元体称为主单元体。 三个主应力中有一个不为零，称为单向应力状态。三个主应力中有两个不为零，称为二向 应力状态。三个主应力中都不为零，称为三向应力状态。主单元体三个主平面上的主应力按代数值的大小排列，即为。321PPPPapaakkkkkkapnA2$8.2 二向应力状态下斜截面上的应力二向应力状态下斜截面上的应力1 任意斜截面上的应力任意斜截面上的应力 在基本单元体上取任一截面位置，截面的法线。n 在外法线和切线 上列平衡方程 ntcos)cos(sin)co
3、s(dAdAdAxxya0sin)sin(cos)sin(dAdAyyxsin)cos(cos)cos(dAdAdAxxya0sin)sin(cos)sin(dAdAyxy根据剪应力互等定理，并考虑到下列三角关系yxxy，22sin1sin,22cos1cos222sincossin2 简化两个平衡方程，得2sin2cos22xyyxyx2cos2sin2xyyx2极值应力极值应力 将正应力公式对取导数，得 2cos2sin22xyyx dd若时，能使导数，则00 dd02cos2sin200xyyxyxxytg220上式有两个解：即和。在它们所确定的两个互相垂直的平面上，正应力取0o900x
4、yyxyxn t xyxyxyn3得极值。且绝对值小的角度所对应平面为最大正应力所在的平面，另一个是最小正应力所 在的平面。求得最大或最小正应力为22minmax)2(2xyyxyx 代入剪力公式，为零。这就是说，正应力为最大或最小所在的平面，就是主平00面。所以，主应力就是最大或最小的正应力。将切应力公式对求导，令02sin22cos)(xyyxdd若时，能使导数，则在所确定的截面上，剪应力取得极值。通过10 dd1求导可得02sin22cos)(11xyyxxyyxtg221求得剪应力的最大值和最小值是：22minmax)2(xyyx 与正应力的极值和所在两个平面方位的对应关系相似，剪应力
5、的极值与所在两个平面方位的对应关系是：若，则绝对值较小的对应最大剪应力所在的平面。0xy13主应力所在的平面与剪应力极值所在的平面之间的关系主应力所在的平面与剪应力极值所在的平面之间的关系与之间的关系为110212tgtg4,2220101这表明最大和最小剪应力所在的平面与主平面的夹角为。o454$8.3 二向应力状态的应力圆二向应力状态的应力圆1应力圆方程应力圆方程 将公式 中的削掉，得 2cos2sin22sin2cos22xyyxxyyxyx22 2222xyyxyx 由上式确定的以和为变量的圆，这个圆称作应力圆。圆心的横坐标为，纵坐标为零，圆的半径为。yx21222xyyx 2应力圆的
6、画法应力圆的画法 建立应力坐标系（注意选好比例尺）在坐标系内画出点和 xyxD,yxyD,与轴的交点 C 便是圆心DD 以 C 为圆心，以 AD 为半径画圆应力圆。 3单元体与应力圆的对应关系单元体与应力圆的对应关系 1）圆上一点坐标等于微体一个截面应力值 2）圆上两点所夹圆心角等于两截面法线夹角的两倍 3）对应夹角转向相同 4 4在应力圆上标出极值应力在应力圆上标出极值应力22minmax 22xyyxyx 22minmaxminmax 22xyyxR $8.4 三向应力状态三向应力状态1三个主应力三个主应力3212.三向应力圆的画法三向应力圆的画法由作应力圆，决定了平行于平面上的应力21,
7、3由作应力圆，决定了平行于平面上的应力13,212OC5由作应力圆，决定了平行于平面上的应力32,13单元体正应力的极值为单元体正应力的极值为 ，1max3min最大的剪应力极值为231 max$8.5 复杂应力状态的广义虎克定律复杂应力状态的广义虎克定律1单拉下的应力单拉下的应力应变关系应变关系，EE2复杂状态下的应力复杂状态下的应力 应变关系应变关系 三向应力状态等三个主应力，可看作是三组单向应力的组合。对于应变，可求出单向 应力引起的应变，然后叠加可得321321 11EEEE)(1)(1)(1213313223211EEE3体积胡克定律体积胡克定律 单元体变形后的体积为dzdydxV单元体变形后的体积为 dzdzdydydxdxV3211体积改变为 KEEVVVm 3213211111321 3213213211其中为体积模量，是三个主应力的平均值。 EK213 3321mx123xyxyzxyz1为体积胡克定律。Km
