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1、第 1 页 共 4 页一道新一道新课标课标高考高考试题试题解法机理分析及其通性通法解法机理分析及其通性通法海南华侨中学 李红庆（570206） 2010 年全国统一招生考试理科（新课标）数学试卷的第 21 题：设函数 21xf xexax （）若，求的单调性区间；0a f x（）若时，求的取值范围0x 0f x a这一道题看似简单其实是一道深思熟虑的试题，尤其是第（）问，命题者给出的答 案非常巧妙并且颇有思辨性，但命题者解法不是中学数学教育中的通性通法，该解法中学 教师和中学生接受都有点困难基于此，本文就命题者的解法机理分析及其通性通法谈一 下看法 先看命题者给予的解答（记为方法一）：方法一：
2、（），由于， （i）若 12xfxeax 1xex 2(12 )fxxaxa x，即时，当时，而，于是，有；120a1 2a 0x 0fx(0)0f (0)0f xf（ii）若时，由于时，可得，所以，1 2a 0x 1xex1xex 1xex ，22 (1)xaxa e 12 (1)(1)(2 )xxxxxfxea eeeea 当时，而，于是存在，(0,ln2 )xa 0fx 00f(0,ln2 )xa使得，即时，在不恒成立， (0)0f xf1 2a 0f x 0,)综上所述：实数的取值范围是a1(, 2一、解题机理分析一、解题机理分析：从命题的逻辑关系来看，所谓的“若时，求的取值范围 ”实
3、际上是0x 0f x a求“任意，”的充要条件，解答中对参量的分类讨论“（i）若x0,) 0f x a时，任意，所以当时，” ，即“”就是1 2a x0,) 0fx0x 0f x 1 2a “任意，”的充分条件，并非是必要条件， “（ii）若时，存在x0,) 0f x 1 2a 时， ”是求的“任意，”的必要条件，即“若(0,ln2 )xa 0f x x0,) 0f x ，则”等价于“若时，则存在，x 0,) 0f x 1 2a 1 2a 0,)x” 0f x 第 2 页 共 4 页从同一解题思想方法出发，还可以选择两次求导数的方法来求“任意，x0,)”的充要条件 0f x 方法二：（），令，
4、则，由于 12xfxeax g xfx 2xgxea时，若时，（等号仅当时成立） ，0x 1xe 1 2a 0gx0x 所以，在上单调递增，且， g x0,) 00g因此，当时，即，且，0x 00g xg 0fx 00f所以，；由于只是“任意，”的充分条 00f xf 0gxx0,) 0f x 件，同方法一一样也要求“任意，”的必要条件，以下同方法一x0,) 0f x 方法一、方法二分别利用了若，则的结论，事实上，对于，有0x 1xex10x 更精确的结论是，并且利用这个结论恰好可以进行变量分离、构造函数和2112xexx 化归成恒成立问题来来解决，而变量分离、构造函数和化归成恒成立问题也恰好
5、是中学数学常用的通性通法和思想方法，并且可以直接得到“任意，”的充要x0,) 0f x 条件 二、本题的通性通法二、本题的通性通法：方法三（参变量分离法）：（） （i）若时，成立时，是任意实数；0x 0f x a（ii）若时，等价于，令，0x 0f x 2211xeaxxx 21xexg xx令，由于，21( )12xK xexx 1xKxex 1xex 0Kx在上是增函数，即在上是增函数，且，( )K x(0,)0,)(0)0K，即，而，( )(0)0K xK2112xexx 21xexg xx221 12 2xx即，综上所述：实数的取值范围是1 2a a1(, 2方法四（化归思想）：（）由
6、（）知，当时，令0x 1xex（） ，则，则在区间上是增函 2112xh xexx 0x 10xh xex h x0,)数，且， 00h所以，即， 2112xh xexx 02112xexx 第 3 页 共 4 页所以， 2(1)xf xexax22211(12 )22xaxa x由于在时恒成立，即恒成立，则，解之， 0f x 0x 21(12 )02a x120a1 2a 故实数的取值范围是a1(, 2方法三和方法四都利用了时，这个结论，事实上已经触及这个问0x 2112xexx 题的底线，也就是泰勒（TaylorTaylor）公式：，2112xexx 1!(1)!nn xxxenn 01三
7、、构造函数利用极限思想三、构造函数利用极限思想 方法五：（） （i）若时，成立时，是任意实数；0x 0f x a（ii）若时，等价于，令，由（）知0x 0f x 2211xeaxxx 21xexg xx（仅等号成立） ，所以， 1xex0x 2(1)0xexg xx gx3(1)2(1)xxexe x因为，要，只需，0x 0gx(1)2(1)0xxexe现在设，即只需（x） ，又，( )(1)2(1)xxh xexe( )22xxh xxeex00(0)0h则只需（x） ，( )0h x0（1）当时，1x 因为 ，( )21xxxh xexee1xxxee(1)1xex(1)(1)1xx20x即( )h x0（2）当 00，( )(1)1xt xex( )xt xxe所以，( )(0)0t xt综上所述：( )h x(0)0h第 4 页 共 4 页所以， 3(1)2(1)2xxexexgxx3(1)2(1)xxexe x0则在区间上是增函数， g x(0,)因此， 0lim ( ) xag x 201limxxex x 01lim2xxe x 01lim22xxe综上所述：实数的取值范围是a1(, 2
