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1、第一章第一章有理数有理数总复习总复习本章内容要求学生正确认识有理数的概念，在实际生活和学习数轴的基础上，理解正负数、相反数、绝对值的意义所在。重点利用有理数的运算法则解决实际问题.体验数学发展的一个重要原因是生活实际的需要.激发学生学习数学的兴趣，教师培养学生的观察、归纳与概括的能力，使学生建立正确的数感和解决实际问题的能力。教师在讲授本章内容时，应该多创设情境，充分体现学生学习的主体性地位。重点重点:*有理数的运算有理数的运算难点难点: 1.*相反数的性质及利用相反数的意义进行多重符号的化简相反数的性质及利用相反数的意义进行多重符号的化简.2.*绝对值概念的理解及其性质绝对值概念的理解及其性
2、质.利用数轴对含有的字母的绝对值进行化简利用数轴对含有的字母的绝对值进行化简.3.*有理数加减时符号及其绝对值的确定有理数加减时符号及其绝对值的确定.4.*有理数的乘方时值的确定有理数的乘方时值的确定.例如例如 2=8,很多同学就计算为很多同学就计算为 6.5.*有理数的混合运算时的运算顺序及符号的计算有理数的混合运算时的运算顺序及符号的计算.一、基本概念一、基本概念1.11.1、正数与负数、正数与负数表示大小在实际中表示意义相反的量带“-”号的数并不都是负数1正数、负数和零的概念正数负数零象 1、2.5、 、48 等大于零的数叫正数象-1、-2.5， ，-480 叫做零，0 既不是正数 也不
3、是负数等小于零的数叫负数注：对于正数和负数的概念，不能简单的理解为：带“”号的数是正数，带“”号的 数是负数。2引入负数后，数的范围扩大为有理数，奇数和偶数的外延也由自然数扩大为整数，整数 也可以分为奇数和偶数两类，能被 2 整除的数是偶数，不能被 2 整除的数是奇数， 3到现在为止，我们学过的数细分有五类：正整数、正分数、0、负整数、负分数，但研 究问题时，通常把有理数分为三类：正数、0、负数，进行讨论。4通常把正数和 0 统称为非负数，负数和 0 统称为非正数，正整数和 0 称为非负整数；负 整数和 0 统称为非正整数。分数和小数的区别：分数（既约分数）都可表示成小数，但不是所有的小数都能
4、表示成分数的。如圆周率 就不能表示成分数。5. 数 0 既不是正数，也不是负数，0 是正数与负数的分界。0 的意义已不仅是表示“没有” .注：正、负数表示两种相反意义的量（1）相反意义的量是成对出现的，单独的一个量不能成为相反意义的量。（2）具有相反意义的量必须是同类量（3）用正、负数表示相反意义的量时一定要说明数量和单位（4）0 不再仅仅表示没有，在不同的实际问题中，它具有不同的意义。1.21.2 有理数有理数凡能写成形式的数，都是有理数.)0pq, p(pq为整数且有理数的分类: 负分数负整数负有理数零正分数正整数正有理数有理数负分数正分数分数负整数零正整数 整数 有理数特别提示：0 即不
5、是正数，也不是负数；-a 不一定是负数，+a 也不一定是正数；不是有理数；注意：（1）在进行数的分类时，先确定分类标准，分类的标准不同，其结果不同，注意做到不重复，不遗漏。（2）不管是哪种分类，有理数最终都分为正整数、0、负整数、正分数、负分数五类。（3）正有理数与正数的区别：正有理数均为正数，但正数不一定都为正有理数。1、有理数的有关概念（1）整数的概念：正整数，0 负整数统称为整数。（2）分数的概念：正分数、负分数统称为分数。（3）有理数的概念：整数和分数统称为有理数。特别注意：（1）有限小数与无限小数都可以化为分数。（2）无限不循环小数不能化为分数，所以既不是分数也不是有理数。（3）有时
6、为了需要，整数可以看成分母是 1 的分数，这时的分数包括整数。（4）分数都可以表示成 n/m 的形式。2、数集（1）概念：把一些数放在一起，就叫做数集如：所有正整数组成正整数集合；所有负整数组成负整数集合；所有有理数组成有理数集合。（2）数集的两种表示形式。一种用圆圈表示，一种用大括号表示。注： （1）在圆圈所表示的数集中填数时，数与数之间适当分开，可以不加标点符号，也可以加。（2）在用大括号表示数集中填数字时，数与数之间必须用逗号隔开。 （3）因为数集中填入的只是几个符合条件的数，只是一部分，所以通常加省略号。2、数轴原点三要素 正方向单位长度应用定义三要素数形结合规定了原点、 正方向、单
7、位长度的直 线叫数轴原 点正方向单位长度帮助理解有理数的概念， 每个有理数都可用数轴 上的点表示，但数轴上 的点并非都是有理数比较有理数大小， 数轴上右边的数 总比左边的数要 大注意：（1） 、数轴有三要素原点、正方向和单位长度，数轴的三要素缺一不可，只具备其中两个要素或者一个要素的直线不是数轴。（2） 、数轴是一条直线，可以向两端无线延伸。（3）一般取向右微正方向，数轴的原点的选定，正方向的取向，单位长度大小的确定，都是根据实际需要规定的，单位长度根据具体情况可长可短，但同一数轴的单位长度必须一致。1数轴的概念（1）规定了原点、正方向和单位长度的直线叫做数轴这里包含两个内容：一是数轴的三要素
8、：原点、正方向、单位长度缺一不可二 是这三个要素都是规定的（2）数轴能形象地表示数，所有的有理数都可用数轴上的点表示，但数轴上的点所表 示的数并不都是有理数2数轴的画法（1）画直线（一般画成水平的）、定原点，标出原点“O”（2）取原点向右方向为正方向，并标出箭头（3）选适当的长度作为单位长度，各点。 （4）标注数字时，负数的次序不能写错， 3用数轴比较有理数的大小（1）在数轴上表示的两数，右边的数总比左边的数大。（2）由正、负数在数轴上的位置可知：正数都有大于 0，负数都小于 0，正数大于一 切负数。（3）比较大小时，用不等号顺次连接三个数。 （4）正有理数可以用数轴上原点右边的点表示。负有理
9、数可以用数轴上原点左边的点 表示。0 用原点表示。 （5）原点左边的点表示负数，右边的点表示正数。注意：（1）所有的有理数都可以用数轴上的点表示，不能说数轴上的所有的点都表示有理数。（2）分数也可以用数轴上的点表示。正数都大于正数都大于 0 0，负数都小于，负数都小于 0 0，正数大于一切负数，正数大于一切负数因为正数都大于 0，反过来，大于 0 的数都是正数，所以，我们可以用 ，表示是正数；反之，知道 是正数也可以表示为 。同理， ，表示 是负数；反之 是负数也可以表示为 。3正数轴常见几种错误1)没有方向2)没有原点3)单位长度不统一3 3、相反数相反数1、相反数的概念像 3 与-3,-0
10、.桉树 5 和 5 这样只有符号不同的两个数，我们说其中一个数是另一个数的相反数；0 的相反数是 0.（1）相反数是成对出现的，单独的一个数不能说是相反数。（2）只有 0 的相反数是它本身，除 0 外互为相反数的两个数都是一正一负。注：只有符号不同的两个数，叫做互为相反数，0 的相反数是 0a 的相反数-aa 与 b 互为相反数 a+b=0相反数的意义相反数的意义任何一个数都有相反数，而且只有一个相反数，正数的相反数一定是负数；负数的相反数一定是正数；0 的相反数仍是 0.几何意义：互为相反数的两个数在数轴上对应的两个点到原点的距离相等且位于原点的两侧；反之，位于原点两侧且到原点距离相等的点所
11、表示的两个数互为相反数。代数意义：两个数除了符号不同外其余都相同。（1）只有符号不同的两个数叫做互为相反数 （2）从数轴上看，位于原点两旁，且与原点距离相等的两点所表示的两个数叫做互为 相反数。（3）0 的相反数是 0。也只有 0 的相反数是它的本身。（4）相反数是表示两个数的相互关系，不能单独存在。相反数的表示相反数的表示在一个数的前面添上“”号就成为原数的相反数。若 表示一个有理数，则 的相 反数表示为 。在一个数的前面添上“+”号仍与原数相联系同。例如，7=7，特别地， 0=0，0=0。相反数的特性相反数的特性若 互为相反数，则 ，反之若 ，则 互为相反数。 相反数是它本身的数是 0 4
12、 4多重符号化简多重符号化简（1）相反数的意义是简化多重符号的依据。如 是1 的相反数，而1 的相反数为+1，所以 。（2）多重符号化简的结果是由“”号的个数决定的。如果“”号是奇数个，则结 果为负；如果是偶然数个，则结果为正。可简写为“奇负偶正”。化简一个数就是把多重符号化成单一符号，若结果是“+”号，一般省略不 写。 5 5、绝对值、绝对值一般地，数轴上表示数 a 的点与原点距离，表示成a。a（a0）a= -a（a0）1、绝对值的概念数轴上表示数 a 的点与原点的距离叫做数 a 的绝对值，记作|a|.读作 a 的绝对值。（1）一个数的绝对值就是在数轴上表示这个数的点与原点的距离，由于距离总
13、是正数或0，所以一个数的绝对值是正数或零，即是一个非负数，这是绝对值的一个重要性质非负性。（2）在数轴上，表示这个数的点离原点的距离越远，绝对值越大；反之离原点距离越近，绝对值越小。一个有理数是由符号和绝对值两个方面来确定的。1绝对值的代数定义一个正数的绝对值是它本身；一个负数的绝对值是它的相反数；零的绝对值是零2绝对值的几何定义在数轴上表示一个数的点离开原点的距离，叫做这个数的绝对值3绝对值的主要性质(2)一个实数的绝对值是一个非负数，即|a|0，因此，在实数范围内，绝对值最小的 数是零（3）任何数都有绝对值，且只有一个，并且任何数的绝对值都是非负数。(4)两个相反数的绝对值相等反之绝对值相
14、等的两个数可能相等，也可能互为相反数。（5）绝对值是正数的有两个，它们互为相反数。2、绝对值的求法（1）在数轴上找到表示这个数 a 的点，这个点与原点的距离就是这个数 a 的绝对值。（2）一个正数在数轴上对应的点与原点的距离恰好等于这个数的本身，所以一个整数的绝对值是它本身。（3）一个负数在数轴上对应的点与原点的距离是这个数的相反数，所以一个负数的绝对值是它的相反数。（4）表示 0 的点就是原点，原点与原点的距离是 0。（5）对于字母或者代数式来说，必须先了解其说对应的符号，如果不能确定符号，则应该分类讨论。运用绝对值比较有理数的大小运用绝对值比较有理数的大小（1） 、利用数轴比较有理数的大小
15、：在数轴上表示有理数，它们从左到右的顺序就是从小到大的顺序。（2） 、利用数的性质比较异号两数及与 0 的大小：正数大于 0,0 大于负数，正数大于一切负数。（3） 、利用绝对值比较两个负数的大小：两个负数，绝对值大的小。6 6、倒数、倒数: : 知识结构知识结构乘积是 1 的两个数叫作互为倒数。即：，则互为倒数。若 a0，那么的倒数是；aa1若 ab=1 a、b 互为倒数；若 ab=-1 a、b 互为负倒数.关于倒数的求法要注意：关于倒数的求法要注意：（1）求分数的倒数，只要把这个分数的分子、分母颠倒位置即可（2）正数的倒数是正数，负数的倒数仍是负数（3）负倒数的定义：乘积是1 的两个数互为
16、负倒数(4) 0 没有倒数倒数是它本身的数是1绝对值是它本身的数是非负数平方等于它本身的数是 0，1立方等于经本身的数是1，0数轴上表示相反数的两个点和原点的关系：数轴上表示相反数的两个点和原点的关系：关于原点对称7 7、乘方、乘方1求个相同因数的积的运算，叫做乘方乘方的结果叫做幂，相同的因数叫做底数，相同的因数的个数叫做指数一般地，在中，取任意有理数，取正整数注意：乘方是一种运算，幂是乘方运算的结果看作是的次方的结果时，也可 读作的次幂（1）当时，（为正整数）；（2）当 （3）当时，（为正整数）；（4）（为正整数）；（为正整数）；（为正整数，为有理数）乘方和幂的区别与的区别乘方符号法则乘方符号法则负数的奇次幂是负数，负数的偶次幂是正数，正数的任何次幂都是正数，负数的奇次幂是负数，负数的偶次幂
