三角学里有一个很重要的定理

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1、三角学里有一个很重要的定理，我国称它为勾股定理，又叫商高定理。因为周髀算经提到，商高说过“勾三股四弦五“的话。下面介绍其中的几种证明。最初的证明是分割型的。设 a、b 为直角三角形的直角边，c 为斜边。考虑下图两个边长都是 a+b 的正方形 A、B。将 A 分成六部分，将 B 分成五部分。由于八个小直角三角形是全等的，故从等量中减去等量，便可推出：斜边上的正方形等于两个直角边上的正方形之和。这里 B 中的四边形是边长为 c 的正方形是因为，直角三角形三个内角和等于两个直角。如上证明方法称为相减全等证法。B 图就是我国周髀算经中的“弦图”。下图是 H珀里加尔（Perigal）在 1873 年给出

2、的证明，它是一种相加全等证法。其实这种证明是重新发现的，因为这种划分方法，labitibn Qorra（826901）已经知道。（如：右图）下面的一种证法，是 HE杜登尼（Dudeney）在 1917 年给出的。用的也是一种相加全等的证法。如右图所示，边长为 b 的正方形的面积加上边长为 a 的正方形的面积，等于边长为 c 的正方形面积。下图的证明方法，据说是 L达芬奇（da Vinci, 14521519）设计的，用的是相减全等的证明法。欧几里得（Euclid）在他的原本第一卷的命题 47 中，给出了勾股定理的一个极其巧妙的证明，如次页上图。由于图形很美，有人称其为“修士的头巾”，也有人称其

3、为“新娘的轿椅”，实在是有趣。华罗庚教授曾建议将此图发往宇宙，和“外星人”去交流。其证明的梗概是：(AC)2=2JAB=2CAD=ADKL。同理，(BC)2=KEBL所以(AC)2+(BC)2=ADKL+KEBL=(BC)2印度数学家兼天文学家婆什迦罗（Bhaskara，活跃于 1150 年前后）对勾股定理给出一种奇妙的证明，也是一种分割型的证明。如下图所示，把斜边上的正方形划分为五部分。其中四部分都是与给定的直角三角形全等的三角形；一部分为两直角边之差为边长的小正方形。很容易把这五部分重新拼凑在一起，得到两个直角边上的正方形之和。事实上，婆什迦罗还给出了下图的一种证法。画出直角三角形斜边上的

4、高，得两对相似三角形，从而有c/b=b/m，c/a=a/n,cm=b2cn=a2两边相加得a2+b2=c(m+n)=c2这个证明，在十七世纪又由英国数学家 J沃利斯(Wallis, 16161703)重新发现。有几位美国总统与数学有着微妙联系。G华盛顿曾经是一个著名的测量员。T杰弗逊曾大力促进美国高等数学教育。A林肯是通过研究欧几里得的原本来学习逻辑的。更有创造性的是第十七任总统 JA加菲尔德（Garfield, 18311888），他在学生时代对初等数学就具有强烈的兴趣和高超的才能。在 1876 年，（当时他是众议院议员，五年后当选为美国总统）给出了勾股定理一个漂亮的证明，曾发表于新英格兰教

5、育杂志。证明的思路是，利用梯形和直角三角形面积公式。如次页图所示，是由三个直角三角形拼成的直角梯形。用不同公式，求相同的面积得即a2+2ab+b2=2ab+c2a2+b2=c2这种证法，在中学生学习几何时往往感兴趣。关于这个定理，有许多巧妙的证法（据说有近 400 种），下面向同学们介绍几种，它们都是用拼图的方法来证明的。证法 1 如图 26-2，在直角三角形 ABC 的外侧作正方形 ABDE，ACFG，BCHK，它们的面积分别为 c2，b2 和 a2。我们只要证明大正方形面积等于两个小正方形面积之和即可。过 C 引 CMBD，交 AB 于 L，连接 BC，CE。因为AB=AE，AC=AG C

6、AE=BAG，所以 ACEAGB而所以SAEML=SACFG (1)同法可证SBLMD=SBKHC (2)(1)+(2)得SABDE=SACFG+SBKHC，即 c2=a2+b2证法 2 如图 26-3（赵君卿图），用八个直角三角形 ABC 拼成一个大的正方形 CFGH，它的边长是 a+b，在它的内部有一个内接正方形 ABED，它的边长为 c，由图可知。SCFGH=SABED+4SABC，所以 a2+b2=c2证法 3 如图 26-4（梅文鼎图）。在直角ABC 的斜边 AB 上向外作正方形 ABDE，在直角边 AC 上又作正方形 ACGF。可以证明（从略），延长 GF 必过 E；延长 CG 到

7、 K，使 GK=BC=a，连结 KD，作 DHCF于 H，则 DHCK 是边长为 a 的正方形。设五边形 ACKDE 的面积=S一方面，S=正方形 ABDE 面积+2 倍ABC 面积=c2+ab (1)另一方面，S=正方形 ACGF 面积+正方形 DHGK 面积+2 倍ABC 面积=b2+a2+ab. (2)由(1)，(2)得c2=a2+b2证法 4 如图 26-5（项名达图），在直角三角形 ABC 的斜边上作正方形 ABDE，又以直角三角形 ABC 的两个直角边 CA，CB 为基础完成一个边长为 b 的正方形 BFGJ（图 26-5）。可以证明（从略），GF 的延长线必过 D。延长 AG 到

8、 K，使 GK=a，又作 EHGF 于H，则 EKGH 必为边长等于 a 的正方形。设五边形 EKJBD 的面积为 S。一方面S=SABDE+2SABC=c2+ab (1)另一方面，S=SBEFG+2SABC+SGHFK=b2+ab+a2由(1)，(2)得c2=a2+b2杨作枚图；何梦瑶图；陈杰图；华蘅芳图都是用面积来进行验证：一个大的面积等于几个小面积的和。利用同一个面积的不同表示法来得到等式，从而化简得到勾股定理）图见http:/ ABDE 是由 4 个相等的直角三角形再加上中间的那个小正方形组成的。每个直角三角形的面积为 ab/2；中间的小正方形边长为 b-a，则面积为（b-a） 2 。

9、于是便可得如下的式子： 4（ab/2）+（b-a） 2 =c 2 化简后便可得： a 2 +b 2 =c 2 亦即：c=（a 2 +b 2 ） (1/2) 赵爽的这个证明可谓别具匠心，极富创新意识。他用几何图形的截、割、拼、补来证明代数式之间的恒等关系，既具严密性，又具直观性，为中国古代以形证数、形数统一、代数和几何紧密结合、互不可分的独特风格树立了一个典范。 以下网址为赵爽的“勾股圆方图”：http:/ 只是具体图形的分合移补略有不同而已。 例如稍后一点的刘徽在证明勾股定理时也是用以形证数的方法，刘徽用了“出入相补法”即剪贴证明法，他把勾股为边的正方形上的某些区域剪下来(出)，移到以弦为边的

10、正方形的空白区域内(入)，结果刚好填满，完全用图解法就解决了问题。1中国方法 画两个边长为(a+b)的正方形，如图，其中 a、b 为直角边，c 为斜边。这两个正方形全等，故面积相等。 左图与右图各有四个与原直角三角形全等的三角形，左右四个三角形面积之和必相等。从左右两图中都把四个三角形去掉，图形剩下部分的面积必相等。左图剩下两个正方形，分别以 a、b 为边。右图剩下以 c 为边的正方形。于是 a2+b2=c2。 这就是我们几何教科书中所介绍的方法。既直观又简单，任何人都看得懂。 2希腊方法 直接在直角三角形三边上画正方形，如图。 容易看出， ABA AA C。 过 C 向 A B 引垂线，交

11、AB 于 C ，交 A B 于 C 。 ABA与正方形 ACDA同底等高,前者面积为后者面积的一半，AAC 与矩形AA C C同底等高，前者的面积也是后者的一半。由ABAAAC，知正方形 ACDA的面积等于矩形 AA C C的面积。同理可得正方形 BBEC 的面积等于矩形 B BCC 的面积。 于是， S 正方形 AA B B=S 正方形 ACDA+S 正方形 BBEC， 即 a2+b2=c2。 至于三角形面积是同底等高的矩形面积之半，则可用割补法得到（请读者自己证明） 。这里只用到简单的面积关系，不涉及三角形和矩形的面积公式。 这就是希腊古代数学家欧几里得在其几何原本中的证法。 以上两个证明

12、方法之所以精彩，是它们所用到的定理少，都只用到面积的两个基本观念： 全等形的面积相等； 一个图形分割成几部分，各部分面积之和等于原图形的面积。 这是完全可以接受的朴素观念，任何人都能理解。 我国历代数学家关于勾股定理的论证方法有多种，为勾股定理作的图注也不少，其中较早的是赵爽（即赵君卿）在他附于周髀算经之中的论文勾股圆方图注中的证明。采用的是割补法： 如图，将图中的四个直角三角形涂上朱色，把中间小正方形涂上黄色，叫做中黄实，以弦为边的正方形称为弦实，然后经过拼补搭配， “令出入相补，各从其类” ，他肯定了勾股弦三者的关系是符合勾股定理的。即“勾股各自乘，并之为弦实，开方除之，即弦也” 。 赵爽

13、对勾股定理的证明，显示了我国数学家高超的证题思想，较为简明、直观。 西方也有很多学者研究了勾股定理，给出了很多证明方法，其中有文字记载的最早的证明是毕达哥拉斯给出的。据说当他证明了勾股定理以后，欣喜若狂，杀牛百头，以示庆贺。故西方亦称勾股定理为“百牛定理” 。遗憾的是，毕达哥拉斯的证明方法早已失传，我们无从知道他的证法。 下面介绍的是美国第二十任总统伽菲尔德对勾股定理的证明。 如图， S 梯形 ABCD= (a+b)2 = (a2+2ab+b2)， 又 S 梯形 ABCD=SAED+SEBC+SCED = ab+ ba+ c2 = (2ab+c2)。 比较以上二式，便得 a2+b2=c2。 这

14、一证明由于用了梯形面积公式和三角形面积公式，从而使证明相当简洁。 1876 年 4 月 1 日，伽菲尔德在新英格兰教育日志上发表了他对勾股定理的这一证明。5 年后，伽菲尔德就任美国第二十任总统。后来，人们为了纪念他对勾股定理直观、简捷、易懂、明了的证明，就把这一证法称为勾股定理的“总统”证法，这在数学史上被传为佳话。 在学习了相似三角形以后，我们知道在直角三角形中，斜边上的高把这个直角三角形所分成的两个直角三角形与原三角形相似。 如图，RtABC 中，ACB=90。作 CDBC，垂足为 D。则 BCDBAC，CADBAC。 由BCDBAC 可得 BC2=BD BA， 由CADBAC 可得 AC

15、2=AD AB。 我们发现，把、两式相加可得 BC2+AC2=AB（AD+BD） ， 而 AD+BD=AB， 因此有 BC2+AC2=AB2，这就是 a2+b2=c2。 这也是一种证明勾股定理的方法，而且也很简洁。它利用了相似三角形的知识。 在对勾股定理为数众多的证明中，人们也会犯一些错误。如有人给出了如下证明勾股定理的方法： 设ABC 中，C=90，由余弦定理 c2=a2+b2-2abcosC， 因为C=90，所以cosC=0。所以 a2+b2=c2。 这一证法，看来正确，而且简单，实际上却犯了循环证论的错误。原因是余弦定理的证明来自勾股定理。 人们对勾股定理感兴趣的原因还在于它可以作推广。 欧几里得在他