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1、 例谈“不定方程整数解个数”模型应用浙江省绍兴县柯桥中学(312030)陈冬良 在排列组合中，我们利用挡板法可以得到方程 x1+x2+x3+xk=n (n 为正整数)的正整数解个数为;这一知识点在各类联赛或各省市的预赛中正频繁的出现，的确此模型的1 1 k nC应用较广泛、灵活，特别是从一般试题中挖掘出此类命题的“庐山真面目”需有较强的功 底。下面选取几例典型的试题供参考。 一模型的直接应用一模型的直接应用例1.（2010全国联赛） 方程x y z 2010满足x y z 的正整数解（x,y,z）的 个数是 _ .解：首先易知x y z 2010的正整数解的个数为 100420092 2009
2、C把x y z 2010满足x y z 的正整数解分为三类： （1）x, y, z均相等的正整数解的个数显然为1； （2）x, y, z中有且仅有2个相等的正整数解的个数，易知为1003；(3)设x, y, z两两均不相等的正整数解为k .易知 131003 6k 20091004，6k 20091004 31003 1解得k 335671. 从而满足x y z 的正整数解的个数为11003 335671 336675例 2. (04 全国联赛)一项“过关游戏”规则规定：在第关要抛掷一颗骰子次，如果nn这次抛掷所出现的点数之和大于，则算过关。问：nn2（）某人在这项游戏中最多能过几关？（）他连
3、过前三关的概率是多少？ （注：骰子是一个在各面上分别有 1，2，3，4，5，6 点数的均匀正方体。抛掷骰子落 地静止后，向上一面的点数为出现点数。 ） 解：由于骰子是均匀的正方体，所以抛掷后各点数出现的可能性是相等的。（）因骰子出现的点数最大为 6，而，因此，当时，n 次出现456 42 , 6 52 5n 的点数之和大于已不可能。即这是一个不可能事件，过关的概率为 0。所以最多只能连2n 过 4 关。 （）设事件为“第 n 关过关失败” ，则对立事件为“第 n 关过关成功” 。nAnA第 n 关游戏中，基本事件总数为个。6n第 1 关：事件所含基本事件数为 2（即出现点数为 1 和 2 这两
4、种情况） ，1A过此关的概率为：。1122()1()163P AP A 第 2 关：事件所含基本事件数为方程当 a 分别取 2，3，4 时的正整数解组数2Axya之和。即有（个） 。111 1231236CCC 过此关的概率为：。 22265()1()166P AP A 第 3 关：事件所含基本事件为方程当 a 分别取 3，4，5，6，7，8 时的正3Axyza整数解组数之和。即有（个） 。222222 2345671 36 10 152156CCCCCC 过此关的概率为：。 3335620()1()1627P AP A 故连过前三关的概率为：。1232520100()()()3627243P
5、 AP AP A二二.模型的等价转化模型的等价转化 若研究方程 x1+x2+x3+xk=n (且 x11,x22,xkk,)的正整数解的问题？换元法：令,则转化为 y1+y2+y3+yk=n-(1+2+3+k-1),又转为求正整数解的个数) 1( kxykk问题. 若研究方程 x1+x2+x3+xk=n (n 为正整数) 非负整数解个数问题，可令,1kkxy则转化为 y1+y2+y3+yk=n+k 的正整数解的个数问题为(或).1 1 k knCn knC1例 3.(05 全国联赛)若自然数 a 的各位数字之和为 7，则称 a 是“吉祥数” 。将所有“吉 祥数”从小到大排成一列：a1、a2、a
6、3，若 an=2005，则 a5n=_。解：方程 x1+x2+x3+xk=m 的非负整数解的个数为,而使Qm kmC1的整数解个数为,现取 m=7，可知 k 位“吉祥数”的个数为 P(k)2(0, 11ixxi1 2 m kmC=. 2005 是形如的数中最小的一个“吉祥数” ，且 P（1）=，P（2）=6 5kCQabc216 6C，P（3）=，对于四位“吉祥数” ，其个数为满足 a+b+c=6 的非负76 7C286 8Cabc1整数解的个数，即,2005 是第 1+7+28+28+1=65 个“吉祥数” ，即286 136Ca65=2005,5n=325.又 P（4）=，P（5）=，而,
7、从大到846 9C2106 10C330)(51 kkP小最后六个五位“吉祥数”是：70000，61000，60100，60010，60001，52000. 第 325 个 “吉祥数”是 52000,即 a5n=52000.例 4. (05 浙江省预赛)在一次实战军事演习中，红方的一条直线防线上设有 20 个岗位。 为了试验 5 种不同新式武器，打算安排 5 个岗位配备这些新式武器，要求第一个和最后一 个岗位不配备新式武器，且每相邻 5 个岗位至少有一个岗位配备新式武器，相邻两个岗位 不同时配备新式武器，问共有多少种配备新式武器的方案？ 解：设 20 个岗位按先后排序为 1，2， ， ，20，
8、且设第 k 种新式武器设置的序号为。令，ka)5 , 4 , 3 , 2 , 1(k11ax 122aax233aax344aax，455aax，则有 5620ax20654321xxxxxx其中，。 52kx)5 , 4 , 3 , 2 , 1(k416 x作代换 ，从而有 1kkxy)5 , 4 , 3 , 2 , 1(k66xy 15654321yyyyyy其中。 41ky)6 , 5 , 4 , 3 , 2 , 1(k设 I 为的正整数解的全体，为 I 中满足的15654321yyyyyykAky4ky解的全体。则 kjkj kk kk kkAAAIAIA616161UI上式成立的原因
9、是，因为没有同时满足，的kjiAAA4iy4jy4ky的正整数组。所以. 1561 kky580901512200265 62 65 105 1461CCCCAkkI因为 5 种新式武器各不相同，互换位置得到不同的排列数，所以配备新式武器的方案数等 于 。69600! 5580三活用挡扳法三活用挡扳法有时研究问题可能要考虑需要几块挡扳，我们可以把其转化为两个原理（加法原理与 乘法原理）解决。 例 5.小明有 10 颗糖（不可辨） ，每天至少吃一颗，直至吃完，那么有多少种吃法？ 解：问题正面分类，考虑分几天吃，问题转化为 10 个方程的正整数解的个数问题，答案为.转化考虑方式，即 10 颗糖排成一列，每两颗之间nCCCCC29 93 92 91 90 9L加一挡扳，则分为两天，不加挡扳即在一天吃完。因此问题转化为九个间隔位置上是否加 挡扳。即吃法有 N=29。
