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1、1曲线轨迹的探求曲线轨迹的探求题型预测题型预测解析几何主要研究两大类问题：一是根据题设条件，求出表示平面曲线的方程；二是 通过方程，研究平面曲线的性质从这个角度来说，轨迹问题成为解析几何高考命题的重 点和热点也就不足为奇了 探求动点的轨迹，主要有以下方法： （1）定义法：若能结合题目条件分析出轨迹是什么曲线，则可利用曲线的定义得到结 论 （2）直接法：直接建立动点所满足的关系式，然后通过化简方程得出结论 （3）间接法：又分为相关点法、参数法、交轨法等 解答轨迹问题时，若能充分挖掘几何关系，则往往可以简化解题过程范例选讲范例选讲例 1 已知双曲线的中心在原点，以坐标轴为对称轴，离心率为，且双曲线
2、上动5 2点 P 到点 A（2，0）的最近距离为 1 （）证明：满足条件的双曲线的焦点不可能在 y 轴上； （）求此双曲线的方程；（）设此双曲线的左右焦点分别是，Q 是双曲线右支上的动点，过作12,F F1F的平分线的垂线，求垂足 M 的轨迹12FQF讲解讲解：（）可考虑反证法证明：设双曲线的实半轴长为，虚半轴长为，半焦距为，则由，得abcc a5 2，所以，2225 4ab a1 2b a假设存在满足条件且焦点在 y 轴上的双曲线，则其渐近线方程为2yx 在此条件之下，一方面，我们当然可以设双曲线方程为：，然2240yxm m后把用表示，利用的最小值为 1，推出矛盾而另一方面，是否有更简捷的
3、办PAmPA法呢？由于在前面的解答过程中已经求出了双曲线的渐近线，不妨作大胆的猜想：“点 A 到渐近线的距离大于 1”2经过验证，猜想正确（事实上，点 A（2，0）到渐近线的距离为）所415d 以双曲线上动点到点 A 的距离都超过 1所以，不存在满足条件且焦点在 y 轴上的双曲 线（）解：由（）可设双曲线的方程为：，2222104xybbb则这个双曲线上任一点到点的距离为：,P x y2,0A22222225842444455xPAxyxxbxb，(, 2 2 ,)xbb 若，则当时，有最小值，由，解得825b 8 5x PA2 min415PAb（舍去）；21 5b 若，则当时，有最小825
4、b 2xbPA值，由，解得min221PAb；31 22b 或（舍去）双曲线的方程为：224199xy（）解：设点 M 的坐标为（x，y），延长与交于点 T，连接 OM2QF1FM QM 平分，且 QM，12FQF1FM ，1QFQT1FMMT又点 Q 是双曲线右支上的动点， 1222QFQFQTQFa ，22F Ta ，OMa即点 M 在以 O 为圆心，为半径的圆上a3 当点 Q 沿双曲线右支运动到无穷远处时，QM 趋近于双曲线的渐近线， 点 M 的轨迹是圆弧 CBD，除去点 C,点 D.方程为：226 5935xyx点评点评：挖掘图形的几何性质，运用定义求轨迹是求动点轨迹的常用方法例 2如
5、图，过点 A（1，0），斜率为k的直线l与抛物线C：y2=4x交于P，Q两点. （I）若曲线C的焦点F与P，Q，R三点按如图顺序构成平行四边形PFQR，求点R的 轨迹方程； （II）设P，Q两点只在第一象限运动， （0，8）点与线段PQ中点的连线交x轴于 点N，当点N在A点右侧时，求k的取值范围.讲解讲解：（I）要求点R的轨迹方程，注意到 点 R 的运动是由直线l的运动所引起的，因此可 以探求点 R 的横、纵坐标与直线l的斜率k的关 系 然而，点 R 与直线l并无直接联系与 l 有直接联系的是点 P、Q，通过平行四边形将 P、Q、R 这三点联系起来就成为解题的关键由已知，代入抛物线C：y2=4
6、x的方程，消x得：:(1)lyk x204kyyk 、QClP直线交抛物线于两点 204 10kk 解得1001kk 或设，M 是 PQ 的中点，则由韦达定理可知：1122(,),(,), ( , )P x yQ xyR x y122,2Myyyk将其代入直线l 的方程，得2212MMxkyk 四边形PFQR是平行四边形， 中点也是中点.RFPQM4242342MFMxxxkyyk 又 ( 1,0)(0,1)k Q (1,)Mx 点R的轨迹方程为. 1),3(42xxy（II）因为P、在第一象限，所以，结合（I）Q12100yyy2且y0k 得，) 1 , 0(k点（0，8）与PQ中点所在直线方程为令y=0,得 N 点横坐标为：828222 xkkky2248 4Nkxkk因为 N 在点 A 右侧，令，得解之得k0 或 1Nx 224814k kk . 841 k综合，得k的取值范围是 . 141 k点评点评：选择合适的桥梁，促成已知和未知之间的转化是解决问题的关键本题中的中 点 M 就起到这样的作用实际上，转移点法中的“转移”，参数法中的“参数”都表达了 同样的意思
