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1、 3.3. 2.12.1 直线的点斜式方程直线的点斜式方程 -学案学案 重点重点: : 掌握直线的点斜式及斜截式方程并会应用. 难点难点: : 直线的点斜式方程与推导过程. 知识点：知识点： 1 1点斜式方程点斜式方程若直线l经过点P0(x0，y0)及点P(x，y)且斜率为k，则k与P0、P的坐标之间的关系是k (xx0)，即为 ，此时xx0也适合，这个方程是由直线上一点和直线的斜率确定的，故称为点斜式方程，但当直线l的斜率为 0 时，方程为 ，当直线l的倾斜角为 90时方程为 ，这不是由点斜式方程给出的，因此点斜式方程只适合斜率存在的直线2 2斜截式方程斜截式方程 如果直线l的斜率为k，且与
2、y轴交点为(0，b)，代入直线点斜式方程化简得 ，则称b为直线l在y轴上的 ，这个方程由直线的斜率与直线在y轴上的截距确定， 故称为斜截式方程简称斜截式 3 3直线方程与直线的平行、垂直直线方程与直线的平行、垂直 已知直线l1：yk1xb1，直线l2：yk2xb2，则l1l2 ，且 . l1l2 题型一题型一 直线的点斜式方程直线的点斜式方程 例例 1 1、求下列各条件下的直线方程、求下列各条件下的直线方程. . (1)(1)经过点经过点( (, , 3),3), 倾斜角为倾斜角为 3030的直线的直线; ; (2)(2)经过点经过点(2,1)(2,1)垂直于垂直于y y轴的直线轴的直线; ;
3、 3 3(3)(3)经过点经过点( (7,2)7,2)且平行于且平行于y y轴的直线轴的直线. . 变式训练变式训练 1.1. 已知直线已知直线l l过点过点A A(2,1)(2,1)且与直线且与直线y y1 14 4x x3 3 垂直垂直, , 求直线求直线l l的方程的方程. . 题型二题型二 直线的斜截式方程直线的斜截式方程 例例 2 2、根据条件写出下列直线的斜截式方程、根据条件写出下列直线的斜截式方程 (1)(1)斜率为斜率为 2,2, 在在y y轴上的截距是轴上的截距是 5;5; (2)(2)倾斜角为倾斜角为 150,150, 在在y y轴上的截距是轴上的截距是2;2; (3)(3
4、)倾斜角为倾斜角为 60,60, 与与y y轴的交点到坐标原点的距离为轴的交点到坐标原点的距离为 3.3.变式训练变式训练 2.2. 已知直线已知直线l l1 1的方程为的方程为y y2 2x x3,3, l l2 2的方程为的方程为y y4 4x x2,2, 直线直线l l与与l l1 1平平行且与行且与l l2 2在在y y轴上的截距相同轴上的截距相同, , 求直线求直线l l的方程的方程. . 题型三题型三 利用点斜式或斜截式求待定直线方程利用点斜式或斜截式求待定直线方程 例例 3 3、直线、直线l l过定点过定点A A( (2,3)2,3)，且与两坐标轴围成的三角形面积为，且与两坐标轴
5、围成的三角形面积为 4 4，求直线，求直线l l的方程的方程变式训练变式训练 3. 已知直线已知直线 l 的斜率为的斜率为1, 且它与两坐标轴围成的三角形的面积为且它与两坐标轴围成的三角形的面积为 , 求直线求直线 l12 的方程的方程. 题型四题型四 利用直线的点斜式或斜截式研究直线的平行或垂直利用直线的点斜式或斜截式研究直线的平行或垂直例例 4 4、 当当a a为何值时为何值时, , 直线直线l l1 1: : y yx x2 2a a与直线与直线l l2 2: : y y( (a a2 22)2)x x2 2 (1)(1)平行？平行？ (2)(2)垂直？垂直？变式训练变式训练 4.4.
6、直线直线l l1 1的方程为的方程为y ya a( (a a2 21)(1)(x x2),2), l l2 2的方程为的方程为y y7 73(3(x x1),1), 若若l l1 1l l2 2, , 求求a a的值的值. . 课堂练习：课堂练习： 1直线 y4(x3)的倾斜角和所过的定点分别是( )3A60，(3,4) B120，(3,4) C150，(3，4) D120，(3，4)2已知直线 l 的方程为 9x4y36，则 l 在 y 轴上的截距为( )A9 B9 C4 D43过点(5,2)，且在 x 轴上的截距(直线与 x 轴交点的横坐标)是在 y 轴上的截距的 2 倍的直线方程是( )
7、A2xy120 B2xy120 或 2x5y0Cx2y90 或 2x5y0 Dx2y90 或 2x5y04已知直线l经过点 P(3,4)，并且与 x 轴、y 轴都相交，若直线l在两坐标轴上截距相等，求直线l的方程3.3. 2.12.1 直线的点斜式方程直线的点斜式方程 -学案学案 重点重点: : 掌握直线的点斜式及斜截式方程并会应用. 难点难点: : 直线的点斜式方程与推导过程. 知识点：知识点： 1 1点斜式方程点斜式方程若直线l经过点P0(x0，y0)及点P(x，y)且斜率为k，则k与P0、P的坐标之间的关系是k(xx0)，即为yy0k(xx0)，此时xx0也适合，这个方程是由直线上yy0
8、 xx0一点和直线的斜率确定的，故称为点斜式方程，但当直线l的斜率为 0 时，方程为yy0，当直线l的倾斜角为 90时方程为xx0，这不是由点斜式方程给出的，因此点斜式方程只适合斜率存在的直线2 2斜截式方程斜截式方程 如果直线l的斜率为k，且与y轴交点为(0，b)，代入直线点斜式方程化简得 ykxb，则称b为直线l在y轴上的截距，这个方程由直线的斜率与直线在y轴上的 截距确定，故称为斜截式方程简称斜截式 3 3直线方程与直线的平行、垂直直线方程与直线的平行、垂直 已知直线l1：yk1xb1，直线l2：yk2xb2，则l1l2k1k2，且b1b2. l1l2k1k21.题型一题型一 直线的点斜
9、式方程直线的点斜式方程 例例 1 1、求下列各条件下的直线方程、求下列各条件下的直线方程. . (1)(1)经过点经过点( (, , 3),3), 倾斜角为倾斜角为 3030的直线的直线; ; 3 3(2)(2)经过点经过点(2,1)(2,1)垂直于垂直于y y轴的直线轴的直线; ; (3)(3)经过点经过点( (7,2)7,2)且平行于且平行于y y轴的直线轴的直线. . 【解】(1)由题意知: ktan30, 33直线方程为y(3)(x). 333整理得: y3x1, 即yx4.3333(2)直线垂直于y轴, 直线斜率为 0, 方程为y1.(3)直线平行于y轴, 直线不存在斜率, 方程为x
10、7.变式训练变式训练 1.1. 已知直线已知直线l l过点过点A A(2,1)(2,1)且与直线且与直线y y1 14 4x x3 3 垂直垂直, , 求直线求直线l l的方程的方程. . 解: 方程y14x3 可化为y14(x ), 3 4由点斜式方程知其斜率k4 又l与直线y14x3 垂直, 直线l的斜率为 .1 4又由l过点A(2,1), 直线l的方程为y1 (x2), 1 4即x4y60.题型二题型二 直线的斜截式方程直线的斜截式方程 例例 2 2、根据条件写出下列直线的斜截式方程、根据条件写出下列直线的斜截式方程 (1)(1)斜率为斜率为 2,2, 在在y y轴上的截距是轴上的截距是
11、 5;5; (2)(2)倾斜角为倾斜角为 150,150, 在在y y轴上的截距是轴上的截距是2;2; (3)(3)倾斜角为倾斜角为 60,60, 与与y y轴的交点到坐标原点的距离为轴的交点到坐标原点的距离为 3.3. 【解】 (1)由直线的斜截式方程可知, 所求直线方程为y2x5.(2)倾斜角150, 斜率ktan150, 33由斜截式可得直线方程为yx2.33(3)直线的倾斜角为 60, 其斜率ktan60.3直线与y轴的交点到原点的距离为 3, 直线在y轴上的截距b3 或b3.所求直线方程为yx3 或yx3.33变式训练变式训练 2.2. 已知直线已知直线l l1 1的方程为的方程为y
12、 y2 2x x3,3, l l2 2的方程为的方程为y y4 4x x2,2, 直线直线l l与与l l1 1平平 行且与行且与l l2 2在在y y轴上的截距相同轴上的截距相同, , 求直线求直线l l的方程的方程. . 解: 由斜截式方程知直线l1的斜率k12, 又ll1, l的斜率kk12. 由题意知l2在y轴上的截距为2, l在y轴上的截距b2, 由斜截式可得直线l的方程为y2x2. 题型三题型三 利用点斜式或斜截式求待定直线方程利用点斜式或斜截式求待定直线方程 例例 3 3、直线、直线l l过定点过定点A A( (2,3)2,3)，且与两坐标轴围成的三角形面积为，且与两坐标轴围成的
13、三角形面积为 4 4，求直线，求直线l l的方程的方程 解 显然，l不垂直于x轴，设l的方程为y3k(x2)，令x0，得y2k3，令y0，得x 2，3 k即直线l在两坐标轴上的截距分别为 2 和 2k3 k由题意得： |(2k3)( 2)|4.1 23 k(2k3)( 2)8.3 k当(2k3)( 2)8 时，3 k解得k不存在；当(2k3)( 2)8 时，3 k解得k1 或k2 .1 29 2所求直线方程为y3 (x2)1 2或y3 (x2)9 2即x2y40 或 9x2y120.变式训练变式训练 3. 已知直线已知直线 l 的斜率为的斜率为1, 且它与两坐标轴围成的三角形的面积为且它与两坐
14、标轴围成的三角形的面积为 , 求直线求直线 l12 的方程的方程. 解: 设l的方程为yxb, 则它与两个坐标轴的交点为A(b, 0)和B(0, b), 所以直角三角形OAB的两个直角边长都为|b|, 所以其面积为b2, 1 2由b2 , 解得, b1, 1 21 2所以所求直线的方程为yx1 或yx1.题型四题型四 利用直线的点斜式或斜截式研究直线的平行或垂直利用直线的点斜式或斜截式研究直线的平行或垂直例例 4 4、 当当a a为何值时为何值时, , 直线直线l l1 1: : y yx x2 2a a与直线与直线l l2 2: : y y( (a a2 22)2)x x2(1)2(1)平行？平行？(2)(2) 垂直？垂直？ 【解】l1: 斜率k11, 在y轴上的截距b12a, l2: 斜率k2a22, 在y轴上的截距b22, (1)若l1l2, 则Error!, Error!, a1.(2)若l1l2, k1k21.a221, a23, a.3变式训练变式训练 4.4. 直线直线l l1 1的方程
