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1、导数及其应用 1导数及其应用知识点1.平均变化率把称为函数从到的平均变化率.2121()()f xf x xx ( )yf x1x2x习惯上用表示，即x21xx，21xxx 可把看作是相对于的一个增量，可以用代替；类似地，x1x1xx2x.于是，平均变化率可以表示为.21()()yf xf x y x 2.导数的定义一般地，函数在处的瞬时变化率是( )yf x0xx，0000()()limlim xxf xxf xy xx 我们称它为函数在处的导数，记作，即( )yf x0xx 00()|x xfxy 或.00 000()()()limlim xxf xxf xyfxxx 能根据导数的定义，求
2、函数的导数.(课标和 10 考纲)321,xyc yx yxyxyyx3.导数的几何意义函数在处的导数就是曲线在点处的切线的斜率，即( )yf x0xx0()fx( )yf x00(,()P xf x0k00()kfx4.导函数从求函数在处导数的过程可以看到，当时，是一个确定的数.这样，当变化( )f x0xx0xx0()fxx时，便是的一个函数，我们称它为的导函数(简称导数).的导函数有时也记作，即( )fxx( )f x( )yf xy0()( )( )lim xf xxf xfxyx 5.基本初等函数的导数公式(1)若；( )(),( )0f xc cfx为常数则(2)若；*1( )()
3、,( )nnf xxnQfxnx则(3)若；( )sin ,( )cosf xxfxx则(4)若；( )cos ,( )sinf xxfxx 则(5)若；( ),( )lnxxf xafxaa则(6)若；( ),( )xxf xefxe则(7)若；1 ln( )log,( )axxf xxfx则(8)若.1( )ln ,( )xf xxfx则6.导数运算法则(1)； ( )( )( )( )f xg xfxg x(2)， ( )( )( ) ( )( )( )f xg xfx g xf x g x导数及其应用 2特别地，；( )( )cf xcfx(3).2( )( ) ( )( )( )(
4、)0( ) ( )f xfx g xf x g xg xg xg x 一般地，对于两个函数和，如果通过变量可以表示成的函数，那么称这个函数( )yf u( )ug x, u yx为函数和的复合函数，记作.( )yf u( )ug x( ( )yf g x复合函数的导数和函数，的导数间的关系为( ( )yf g x( )yf u( )ug xxuxyyu即对的导数等于对的导数与对的导数的乘积.yxyuux仅限于形如的导数.(课标和 10 考纲)但是高考会超纲，如 2010 辽宁理 10.()f axb7.函数的单调性与导数(1)在某个区间内，如果，那么函数在这个区间内单调递增；如果，那么( ,
5、)a b( )0fx( )yf x( )0fx函数在这个区间内单调递间.( )yf x(2)判断函数单调性的步骤：因为 ，所以( )f x .( )fx当，即 时，函数单调递增；( )0fx( )f x L当，即 时，函数单调递减.( )0fx( )f x L函数的单调增区间为 ，单调减区间为 .( )f x L(3)一般地，如果一个函数在某一范围内导数的绝对值较大，那么函数在这个范围内变化的快，这时函数的图像就比较“陡峭”(向上或向下)；反之，函数的图像就“平缓”一些.8.函数的极值与导数(1)如果函数在点的函数值比它在点附近其他点的函数值都小，那么点叫做( )yf xxa( )f axaa
6、的极小值点，叫做函数的极小值；( )yf x( )f a( )yf x如果函数在点的函数值比它在点附近其他点的函数值都大，那么点叫做( )yf xxb( )f bxbb的极大值点，叫做函数的极大值.( )yf x( )f b( )yf x极小值点、极大值点统称为极值点，极大值和极小值统称为极值.(2)求函数的极值的方法(充分条件)：( )yf x解方程.当时：( )0fx0()0fx如果在附近的左侧，右侧，那么是极大值；0x( )0fx( )0fx0()f x如果在附近的左侧，右侧，那么是极小值.0x( )0fx( )0fx0()f x必要条件:函数在一点取得极值的必要条件是函数在这一点的导数
7、值为 0. ( )yf x( )yf x(3)函数的最大(小)值与导数一般地，如果在区间上函数的图像是一条连续不断的曲线，那么它必有最大值和最小值. , a b( )yf x求函数在上的最大值与最小值的步骤：( )yf x , a b求函数在内的极值；( )yf x( , )a b将函数的各极值与断点处的函数值，比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个( )yf x( )f a( )f b是最小值.文科不学复合函数求导导数及其应用 3题型一、求切线方程分两类： 1.求曲线在某点(切点切点)处的切线( )f x00(,)xy步骤：1)求；0()kfx2)点斜式求方程000()()yyf xxx2.求过某点(非切点)的切线12( ,)x y步骤：1)设切点，则00(,)xy00()yf x2)， 0()kfx10101010()yyyf x xxxxk 3)解，0,x k1010() 0()yf x xxfx 4)点斜式求方程000()()yyf xxx二 单调性
