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1、2.3.2 抛物线的几何性质抛物线的几何性质(二二)一、基础过关1已知抛物线 y22px(p0)，过其焦点且斜率为 1 的直线交抛物线于 A、B 两点，若线段AB 的中点的纵坐标为 2，则该抛物线的准线方程为( )Ax1 Bx1Cx2 Dx22已知抛物线 y22px (p0)的焦点为 F，点 P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，P3(x3，y3)在抛物线上，且|P1F|，|P2F|，|P3F|成等差数列，则有( )Ax1x2x3 By1y2y3Cx1x32x2 Dy1y32y23设 O 是坐标原点，F 是抛物线 y22px (p0)的焦点，A 是抛物线上的一点，与 x 轴FA正向的夹角为
2、60，则|OA|为( )A.p B.p C.p D.p21421213613364已知 F 是抛物线 y x2的焦点，P 是该抛物线上的动点，则线段 PF 中点的轨迹方程是14( )Ax22y1 Bx22y116Cx2y Dx22y2125抛物线 x2ay (a0)的焦点坐标为_6设抛物线 y22px(p0)的焦点为 F，点 A(0，2)若线段 FA 的中点 B 在抛物线上，则 B到该抛物线准线的距离为_二、能力提升7若点 P 在抛物线 y2x 上，点 Q 在圆 M：(x3)2y21 上，则|PQ|的最小值是( )A.1 B.13102C2 D.11128过抛物线 y22px (p0)的焦点
3、F 作两弦 AB 和 CD，其所在直线的倾斜角分别为 与 ，63则|AB|与|CD|的大小关系是( )A|AB|CD| B|AB|CD|C|AB|0)的焦点的直线交抛物线于 A、B 两点，且|AB| p，求 AB52所在的直线方程11在平面直角坐标系 xOy 中，直线 l 与抛物线 y24x 相交于不同的 A、B 两点(1)如果直线 l 过抛物线的焦点，求的值；OAOB(2)如果4，证明直线 l 必过一定点，并求出该定点OAOB12抛物线 y22px (p0)的焦点为 F，准线与 x 轴交点为 Q，过 Q 点的直线 l 交抛物线于A、B 两点(1)直线 l 的斜率为，求证：0；22FAFB(2
4、)设直线 FA、FB 的斜率为 kFA、kFB，探究 kFB与 kFA之间的关系并说明理由三、探究与拓展13已知过抛物线 y22px (p0)的焦点 F 的直线交抛物线于 A、B 两点，设 A(x1，y1)，B(x2，y2)，则称 AB 为抛物线的焦点弦求证：(1)y1y2p2；x1x2；p24(2) ；1|FA|1|FB|2p(3)以 AB 为直径的圆与抛物线的准线相切答案答案1B 2C 3B 4A 5.(0，a4)6.34 27D 8A 10解 如图所示，抛物线 y22px (p0)的准线为 x ，A(x1，y1)，p2B(x2，y2)，设 A、B 到准线的距离分别为 dA，dB，由抛物线
5、的定义知，|AF|dAx1 ，p2|BF|dBx2 ，p2于是|AB|x1x2p p，x1x2 p.5232当 x1x2时，|AB|2p0)的焦点 F，准线方程：x .(p2，0)p2设直线 AB 的方程为 xky ，把它代入 y22px，p2化简，得 y22pkyp20.y1y2p2，x1x2.y2 12py2 22py1y224p2p224p2p24(2)根据抛物线定义知|FA|AA1|x1 ，|FB|BB1|x2 ，p2p21|FA|1|FB|1x1p21x2p222x1p22x2p22x2p22x1p2x1p2x2p4x1x24p4x1x22px1x2p2 .4x1x2p2px1x2p2p(3)设 AB 中点为 C(x0，y0)，过 A、B、C 分别作准线的垂线，垂足分别为 A1，B1，C1.则|CC1| (|AA1|BB1|) (|AF|BF|)1212 |AB|.12以线段 AB 为直径的圆与抛物线的准线相切
