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1、高中数学常用公式及常用结论高中数学常用公式及常用结论高中数学常用公式及常用结论1. 元素与集合的关系,.2.德摩根公式 .3.包含关系4.容斥原理.5集合的子集个数共有 个；真子集有1 个；非空子集有 1 个；非空的真子集有2 个.6.二次函数的解析式的三种形式(1)一般式;(2)顶点式;(3)零点式.7.解连不等式常有以下转化形式.8.方程在上有且只有一个实根,与不等价,前者是后者的一个必要而不是充分条件.特别地, 方程有且只有一个实根在内,等价于,或且,或且.9.闭区间上的二次函数的最值 二次函数在闭区间上的最值只能在处及区间的两端点处取得，具体如下：(1)当 a0 时，若，则；， ，.(
2、2)当 a0)（1） ，则的周期 T=a；（2） ，或，或,或,则的周期 T=2a；(3)，则的周期 T=3a；(4)且，则的周期 T=4a；(5),则的周期 T=5a；(6)，则的周期 T=6a.30.分数指数幂 (1)（，且）.(2)（，且）.31根式的性质（1）.（2）当为奇数时， ；当为偶数时，.32有理指数幂的运算性质(1) .(2) .(3).注： 若 a0，p 是一个无理数，则 ap 表示一个确定的实数上述有理指数幂的运算性质，对于无理数指数幂都适用.33.指数式与对数式的互化式.34.对数的换底公式 (,且,且, ).推论 (,且,且, ).35对数的四则运算法则若 a0，a1
3、，M0，N0，则(1);(2) ;(3).36.设函数,记.若的定义域为,则，且;若的值域为,则，且.对于的情形,需要单独检验.37. 对数换底不等式及其推广若,则函数(1)当时,在和上为增函数.， (2)当时,在和上为减函数.推论:设， ， ，且，则（1）.（2）.38. 平均增长率的问题如果原来产值的基础数为 N，平均增长率为，则对于时间的总产值，有.39.数列的同项公式与前 n 项的和的关系( 数列的前 n 项的和为).40.等差数列的通项公式；其前 n 项和公式为.41.等比数列的通项公式；其前 n 项的和公式为或.42.等比差数列:的通项公式为；其前 n 项和公式为.43.分期付款(
4、按揭贷款) 每次还款元(贷款元,次还清,每期利率为).44常见三角不等式（1）若，则.(2) 若，则.(3) .45.同角三角函数的基本关系式 ，=，.46.正弦、余弦的诱导公式（奇变偶不变，符号看象限）47.和角与差角公式;.(平方正弦公式);.=(辅助角所在象限由点的象限决定, ).48.二倍角公式 .49. 三倍角公式 .50.三角函数的周期公式 函数，xR 及函数，xR(A,为常数，且 A0，0)的周期；函数，(A,为常数，且 A0，0)的周期.51.正弦定理?.52.余弦定理;.53.面积定理（1） （分别表示 a、b、c 边上的高）.（2）.(3).54.三角形内角和定理 在ABC
5、 中，有.55. 简单的三角方程的通解.特别地,有.56.最简单的三角不等式及其解集.57.实数与向量的积的运算律设 、 为实数，那么(1) 结合律：(a)=()a;(2)第一分配律：(+)a=a+a;(3)第二分配律：(a+b)=a+b.58.向量的数量积的运算律：(1) ab= ba （交换律）;(2)（a）b= （ab）=ab= a（b）;(3)（a+b）c= a c +bc.59.平面向量基本定理? 如果 e1、e 2 是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量，有且只有一对实数 1、2，使得a=1e1+2e2不共线的向量 e1、e2 叫做表示这一平面内所有向量的一组基
6、底60向量平行的坐标表示?设 a=,b=，且 b0，则 ab(b0).53. a 与 b 的数量积(或内积)ab=|a|b|cos61. ab 的几何意义数量积 ab 等于 a 的长度|a|与 b 在 a 的方向上的投影|b|cos的乘积62.平面向量的坐标运算(1)设 a=,b=，则 a+b=.(2)设 a=,b=，则 a-b=. (3)设 A，B,则.(4)设 a=，则 a=.(5)设 a=,b=，则 ab=.63.两向量的夹角公式(a=,b=).64.平面两点间的距离公式=(A，B).65.向量的平行与垂直 设 a=,b=，且 b0，则A|bb=a .ab(a0)ab=0.66.线段的定
7、比分公式 ?设， ，是线段的分点,是实数，且，则（）.67.三角形的重心坐标公式 ABC 三个顶点的坐标分别为、 、,则ABC 的重心的坐标是.68.点的平移公式 .注:图形 F 上的任意一点 P(x，y)在平移后图形上的对应点为，且的坐标为.69.“按向量平移”的几个结论（1）点按向量 a=平移后得到点.(2) 函数的图象按向量 a=平移后得到图象,则的函数解析式为.(3) 图象按向量 a=平移后得到图象,若的解析式,则的函数解析式为.(4)曲线:按向量 a=平移后得到图象,则的方程为.(5) 向量 m=按向量 a=平移后得到的向量仍然为 m=.70. 三角形五“心”向量形式的充要条件设为所
8、在平面上一点，角所对边长分别为，则（1）为的外心.（2）为的重心.（3）为的垂心.（4）为的内心.（5）为的的旁心.71.常用不等式：（1）(当且仅当 ab 时取“=”号)（2）(当且仅当 ab 时取“=”号)（3）（4）柯西不等式（5）.72.极值定理已知都是正数，则有（1）若积是定值，则当时和有最小值；（2）若和是定值，则当时积有最大值.推广 已知，则有（1）若积是定值,则当最大时,最大；当最小时,最小.（2）若和是定值,则当最大时, 最小；当最小时, 最大.73.一元二次不等式，如果与同号，则其解集在两根之外；如果与异号，则其解集在两根之间.简言之：同号两根之外，异号两根之间.；.74.
9、含有绝对值的不等式 当 a 0 时，有.或.75.无理不等式（1） .（2）.（3）.76.指数不等式与对数不等式 (1)当时,; .(2)当时,;77.斜率公式 （、 ）.78.直线的五种方程 （1）点斜式 (直线过点，且斜率为)（2）斜截式 (b 为直线在 y 轴上的截距).（3）两点式 ()(、 ().(4)截距式 (分别为直线的横、纵截距，)（5）一般式 (其中 A、B 不同时为 0).79.两条直线的平行和垂直 (1)若，;.(2)若,且 A1、A2、B1、B2 都不为零,；80.夹角公式 (1).(，,)(2).(,).直线时，直线 l1 与 l2 的夹角是.81. 到的角公式 (
10、1).(，,)(2).(,).直线时，直线 l1 到 l2 的角是.82四种常用直线系方程(1)定点直线系方程：经过定点的直线系方程为(除直线),其中是待定的系数; 经过定点的直线系方程为,其中是待定的系数(2)共点直线系方程：经过两直线,的交点的直线系方程为(除)，其中 是待定的系数(3)平行直线系方程：直线中当斜率 k 一定而 b 变动时，表示平行直线系方程与直线平行的直线系方程是()， 是参变量(4)垂直直线系方程：与直线 (A0，B0)垂直的直线系方程是,是参变量83.点到直线的距离 (点,直线：).84. 或所表示的平面区域设直线，则或所表示的平面区域是：若，当与同号时，表示直线的上
11、方的区域；当与异号时，表示直线的下方的区域.简言之,同号在上,异号在下.若，当与同号时，表示直线的右方的区域；当与异号时，表示直线的左方的区域. 简言之,同号在右,异号在左.85. 或所表示的平面区域设曲线（） ，则或所表示的平面区域是：所表示的平面区域上下两部分；所表示的平面区域上下两部分.86. 圆的四种方程（1）圆的标准方程 .（2）圆的一般方程 (0).（3）圆的参数方程 .（4）圆的直径式方程 (圆的直径的端点是、).87. 圆系方程(1)过点,的圆系方程是,其中是直线的方程, 是待定的系数(2)过直线:与圆:的交点的圆系方程是, 是待定的系数(3) 过圆:与圆:的交点的圆系方程是,
12、 是待定的系数88.点与圆的位置关系点与圆的位置关系有三种若，则点在圆外;点在圆上;点在圆内.89.直线与圆的位置关系直线与圆的位置关系有三种:;.其中.90.两圆位置关系的判定方法设两圆圆心分别为 O1，O2，半径分别为 r1，r2，;.91.圆的切线方程(1)已知圆若已知切点在圆上，则切线只有一条，其方程是.当圆外时, 表示过两个切点的切点弦方程过圆外一点的切线方程可设为，再利用相切条件求 k，这时必有两条切线，注意不要漏掉平行于 y 轴的切线斜率为 k 的切线方程可设为，再利用相切条件求 b，必有两条切线(2)已知圆过圆上的点的切线方程为;斜率为的圆的切线方程为.92.椭圆的参数方程是.
13、93.椭圆焦半径公式 ，.94椭圆的的内外部（1）点在椭圆的内部.（2）点在椭圆的外部.95. 椭圆的切线方程 (1)椭圆上一点处的切线方程是.（2）过椭圆外一点所引两条切线的切点弦方程是.（3）椭圆与直线相切的条件是.96.双曲线的焦半径公式，.97.双曲线的内外部(1)点在双曲线的内部.(2)点在双曲线的外部.98.双曲线的方程与渐近线方程的关系(1）若双曲线方程为渐近线方程：.(2)若渐近线方程为双曲线可设为.(3)若双曲线与有公共渐近线，可设为（，焦点在 x 轴上， ，焦点在 y 轴上）.99. 双曲线的切线方程(1)双曲线上一点处的切线方程是.（2）过双曲线外一点所引两条切线的切点弦
14、方程是.（3）双曲线与直线相切的条件是.100. 抛物线的焦半径公式抛物线焦半径.过焦点弦长.101.抛物线上的动点可设为 P 或 P，其中 .102.二次函数的图象是抛物线：（1）顶点坐标为；（2）焦点的坐标为；（3）准线方程是.103.抛物线的内外部(1)点在抛物线的内部.点在抛物线的外部.(2)点在抛物线的内部.点在抛物线的外部.(3)点在抛物线的内部.点在抛物线的外部.(4) 点在抛物线的内部.点在抛物线的外部.104. 抛物线的切线方程(1)抛物线上一点处的切线方程是.（2）过抛物线外一点所引两条切线的切点弦方程是.（3）抛物线与直线相切的条件是.105.两个常见的曲线系方程(1)过
15、曲线,的交点的曲线系方程是(为参数).(2)共焦点的有心圆锥曲线系方程,其中.当时,表示椭圆; 当时,表示双曲线.106.直线与圆锥曲线相交的弦长公式 或（弦端点 A，由方程 消去 y 得到，,为直线的倾斜角，为直线的斜率）. 107.圆锥曲线的两类对称问题（1）曲线关于点成中心对称的曲线是.（2）曲线关于直线成轴对称的曲线是.108.“四线”一方程 对于一般的二次曲线，用代，用代，用代，用代，用代即得方程，曲线的切线，切点弦，中点弦，弦中点方程均是此方程得到.109证明直线与直线的平行的思考途径（1）转化为判定共面二直线无交点；（2）转化为二直线同与第三条直线平行；（3）转化为线面平行；（4
16、）转化为线面垂直；（5）转化为面面平行.110证明直线与平面的平行的思考途径（1）转化为直线与平面无公共点；（2）转化为线线平行；（3）转化为面面平行.111证明平面与平面平行的思考途径（1）转化为判定二平面无公共点；（2）转化为线面平行；（3）转化为线面垂直.112证明直线与直线的垂直的思考途径（1）转化为相交垂直；（2）转化为线面垂直；（3）转化为线与另一线的射影垂直；（4）转化为线与形成射影的斜线垂直.113证明直线与平面垂直的思考途径（1）转化为该直线与平面内任一直线垂直；（2）转化为该直线与平面内相交二直线垂直；（3）转化为该直线与平面的一条垂线平行；（4）转化为该直线垂直于另一个平行平面；（5）转化为该直线与两个垂直平面的交线垂直.114证明平面与平面的垂直的
