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1、1第四讲 三角恒等变形一、三角恒等变形知识点总结 1两角和与差的三角函数；sincoscossin)sin(；sinsincoscos)cos(m。tantantan()1tantanm2二倍角公式 ；cossin22sin；2222sin211cos2sincos2cos。22tantan21tan 3三角函数式的化简 常用方法：直接应用公式进行降次、消项；切割化弦，异名化同名，异角化同角； 三角公式 的逆用等。 （2）化简要求：能求出值的应求出值；使三角函数种数尽量少；使项数尽量少；尽 量使分母不含三角函数；尽量使被开方数不含三角函数。 （1）降幂公式；。2sin21cossin22cos
2、1sin222cos1cos2（2）辅助角公式，22sincossinaxbxabx。 2222sincosbaabab 其中，4三角函数的求值类型有三类 （1）给角求值：一般所给出的角都是非特殊角，要观察所给角与特殊角间的关系，利用三角变换消 去非特殊角，转化为求特殊角的三角函数值问题； （2）给值求值：给出某些角的三角函数式的值，求另外一些角的三角函数值，解题的关键在于“变 角”，如等，把所求角用含已知角的式子表示，求解时要注意2(),() () 角的范围的讨论； （3）给值求角：实质上转化为“给值求值”问题，由所得的所求角的函数值结合所求角的范围及函数 的单调性求得角。 5三角等式的证明
3、 （1）三角恒等式的证题思路是根据等式两端的特征，通过三角恒等变换，应用化繁为简、左右同一 等方法，使等式两端化“异”为“同”； （2）三角条件等式的证题思路是通过观察，发现已知条件和待证等式间的关系，采用代入法、消参法或 分析法进行证明。2二、典例解析 【题型题型 1】两角和与差的三角函数两角和与差的三角函数【例 1】已知，求 cos。0coscos1sinsin，）的值（分析：因为既可看成是看作是的倍角，因而可得到下面的两种解）（的和，也可以与 2法。解：由已知 sin+sin=1， cos+cos=0，22得 2+2cos；1 ）（ cos。 21 ）（22得 cos2+cos2+2co
4、s（）=1，即 2cos（） =1。1cos ）（。1cos点评：此题是给出单角的三角函数方程，求复角的余弦值，易犯错误是利用方程组解 sin、cos 、 sin 、 cos，但未知数有四个，显然前景并不乐观，其错误的原因在于没有注意到所求式与已知式的关系头 头头 头 头 头 头 头头 头 头 头 头 头 头http:/ 头 头头 头 头 头头 头 头 头 头 头头 头本题关键在于化和为积促转化， “整体对应”巧应用。【例 2】已知2tantan560xx，是方程的两个实根，求。222sin3sincoscos的值解法一：由韦达定理得 tan，6tantan5tan，所以 tan. 1615
5、tantan1tantan 22222sin3sincoscos sincos 原式 222tan3tan12 1 3113tan11 1 解法二：由韦达定理得 tan，6tantan5tan，所以 tan ，. 1615 tantan1tantan3 4kkZ于是有3。223333312sinsin 2cos13422422kkk 原式点评：（1）本例解法二比解法一要简捷，好的解法来源于熟练地掌握知识的系统结构，从而寻找解 答本题的知识“最近发展区”。 （2）运用两角和与差角三角函数公式的关键是熟记公式，我们不仅要记住公 式，更重要的是抓住公式的特征，如角的关系，次数关系，三角函数名等头 头
6、头 头 头 头 头 头头 头 头 头 头 头 头http:/ 头 头头 头 头 头头 头 头 头 头 头头 头抓住公式的结构特征对提高记忆公式的效率起到至关重要的作用，而且抓住了公式的结构特征，有利于在解题时观察分析题设和结论 等三角函数式中所具有的相似性的结构特征，联想到相应的公式，从而找到解题的切入点。 （3）对公式 的逆用公式，变形式也要熟悉，如 tantantantantantantantantantantantantantantantan1tancossinsincoscos【题型题型 2】二倍角公式二倍角公式 【例 3】化简：， 2232cos21 21 21 21，解：因为，co
7、scos2cos21 21223，所以又因，2sin2sincos21 21 243，所以所以，原式=。2sin点评：（1）在二倍角公式中，两个角的倍数关系，不仅限于 2是的二倍，要熟悉多种形式的两个角的倍数关系，同时还要注意三个角的内在联系的作用，442，是常用的三角变换。 （2）化简题一定要找准解题的突 4cos4sin222sin2cos破口或切入点，其中的降次，消元，切化弦，异名化同名，异角化同角是常用的化简技巧。 （3）公式变形，。，sin22sincos22cos1cos222cos1sin2【例 4】若。的值求，xxxxxtan1cos22sin,47 1217 53 4cos2
8、 解：由，2435 47 1217xx，得34cossin.4545xx 又因，42coscoscoscossinsin44444410xxxx ，7 2sintan7.10xx 从而，227 227 2221010102sin cos2sin28.1tan1 775xxx x 原式点评：此题若将的左边展开成再求的值，就很3cos45x3coscossinsin445xxsin ,cosxx繁琐，把，并注意角的变换 2运用二倍角公式，问题就公难为易，作为整体x4，xx224 化繁为简头 头头 头 头 头 头 头头 头 头 头 头 头 头http:/ 头 头头 头 头 头头 头 头 头 头 头头
9、 头所以在解答有条件限制的求值问题时，要善于发现所求的三角函数的角与已知条件的角的联系，一般方法是拼角与拆角，如，2， 2222，2等。，【题型题型 3】辅助角公式辅助角公式【例 5】已知函数 ycos2xsinxcosx1，xR.21 23（1）当函数 y 取得最大值时，求自变量 x 的集合； （2）该函数的图象可由 ysinx（xR）的图象经过怎样的平移和伸缩变换得到?（1）解：ycos2xsinxcosx121 23（2cos2x1）（2sinxcosx）141 41 43cos2xsin2x41 43 45（cos2xsinsin2xcos）21 6 6 45sin（2x）21 6 4
10、55y 取得最大值必须且只需 2x2k，kZ，即 xk，kZ。6 2 6所以当函数 y 取得最大值时，自变量 x 的集合为x|xk，kZ 。6（2）将函数 ysinx 依次进行如下变换：把函数 ysinx 的图象向左平移，得到函数 ysin（x）的图象；6 6把得到的图象上各点横坐标缩短到原来的倍（纵坐标不变） ，得到函数21ysin（2x）的图象；6把得到的图象上各点纵坐标缩短到原来的倍（横坐标不变） ，得到函数21ysin（2x）的图象；21 6把得到的图象向上平移个单位长度，得到函数 ysin（2x）的图象；45 21 6 45综上得到函数 ycos2xsinxcosx1 的图象。21
11、23点评：引入辅助角，技巧性较强，但辅助角公式，sincossin22baba，或在历年高考中使用频率是相tanba其中sincosab22costanaabb，其中当高的，应加以关注。 【题型题型 4】三角函数式化简三角函数式化简【例 6】已知函数（的第四象限的角）且，求的值。12sin(2)4( )cosx f xx tan4 3 ( )f解：因为，且是第四象限的角, 所以4tan3 43sin,cos,55 故 12sin(2)4( )cosf x 2212(sin2cos2 )22 cos 1 sin2cos2 cos 6。22cos2sincos cos 2(cossin)14 5【
12、题型题型 5】三角函数的值及周期三角函数的值及周期【例 7】设函数 (其中0,aR),且 f(x)的图象在 y 轴右侧2( )3cossincosf xxxxa的第一个高点的横坐标为。6（）求 的值；（）如果在区间上的最小值为，求 a 的值。( )f x 65,33解：（I）3133( )cos2sin2sin(2)22232f xxxaxa依题意得 126322（II）由（I）知，。3( )sin()32f xx又当时，故，从而在区间上5,36x 70,36x1sin()123x( )f x 5 36，的最小值为，故13322a 31. 2a【题型题型 6】三角函数综合问题三角函数综合问题【例 8】已知向量(sin ,1),(1,cos ),.22abrr（I）若求（II）求的最大值。,abrr;abrr解：（1） ；,abrr0a b r vgsincos04 22(2).(sin1,cos1)(sin1)(cos1
