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1、1第四讲 三角恒等变形一、三角恒等变形知识点总结 1两角和与差的三角函数;sincoscossin)sin(;sinsincoscos)cos(m。tantantan()1tantanm2二倍角公式 ;cossin22sin;2222sin211cos2sincos2cos。22tantan21tan 3三角函数式的化简 常用方法:直接应用公式进行降次、消项;切割化弦,异名化同名,异角化同角; 三角公式 的逆用等。 (2)化简要求:能求出值的应求出值;使三角函数种数尽量少;使项数尽量少;尽 量使分母不含三角函数;尽量使被开方数不含三角函数。 (1)降幂公式;。2sin21cossin22cos
2、1sin222cos1cos2(2)辅助角公式,22sincossinaxbxabx。 2222sincosbaabab 其中,4三角函数的求值类型有三类 (1)给角求值:一般所给出的角都是非特殊角,要观察所给角与特殊角间的关系,利用三角变换消 去非特殊角,转化为求特殊角的三角函数值问题; (2)给值求值:给出某些角的三角函数式的值,求另外一些角的三角函数值,解题的关键在于“变 角”,如等,把所求角用含已知角的式子表示,求解时要注意2(),() () 角的范围的讨论; (3)给值求角:实质上转化为“给值求值”问题,由所得的所求角的函数值结合所求角的范围及函数 的单调性求得角。 5三角等式的证明
3、 (1)三角恒等式的证题思路是根据等式两端的特征,通过三角恒等变换,应用化繁为简、左右同一 等方法,使等式两端化“异”为“同”; (2)三角条件等式的证题思路是通过观察,发现已知条件和待证等式间的关系,采用代入法、消参法或 分析法进行证明。2二、典例解析 【题型题型 1】两角和与差的三角函数两角和与差的三角函数【例 1】已知,求 cos。0coscos1sinsin,)的值(分析:因为既可看成是看作是的倍角,因而可得到下面的两种解)(的和,也可以与 2法。解:由已知 sin+sin=1, cos+cos=0,22得 2+2cos;1 )( cos。 21 )(22得 cos2+cos2+2co
4、s()=1,即 2cos() =1。1cos )(。1cos点评:此题是给出单角的三角函数方程,求复角的余弦值,易犯错误是利用方程组解 sin、cos 、 sin 、 cos,但未知数有四个,显然前景并不乐观,其错误的原因在于没有注意到所求式与已知式的关系头 头头 头 头 头 头 头头 头 头 头 头 头 头http:/ 头 头头 头 头 头头 头 头 头 头 头头 头本题关键在于化和为积促转化, “整体对应”巧应用。【例 2】已知2tantan560xx,是方程的两个实根,求。222sin3sincoscos的值解法一:由韦达定理得 tan,6tantan5tan,所以 tan. 1615
5、tantan1tantan 22222sin3sincoscos sincos 原式 222tan3tan12 1 3113tan11 1 解法二:由韦达定理得 tan,6tantan5tan,所以 tan ,. 1615 tantan1tantan3 4kkZ于是有3。223333312sinsin 2cos13422422kkk 原式点评:(1)本例解法二比解法一要简捷,好的解法来源于熟练地掌握知识的系统结构,从而寻找解 答本题的知识“最近发展区”。 (2)运用两角和与差角三角函数公式的关键是熟记公式,我们不仅要记住公 式,更重要的是抓住公式的特征,如角的关系,次数关系,三角函数名等头 头
6、头 头 头 头 头 头头 头 头 头 头 头 头http:/ 头 头头 头 头 头头 头 头 头 头 头头 头抓住公式的结构特征对提高记忆公式的效率起到至关重要的作用,而且抓住了公式的结构特征,有利于在解题时观察分析题设和结论 等三角函数式中所具有的相似性的结构特征,联想到相应的公式,从而找到解题的切入点。 (3)对公式 的逆用公式,变形式也要熟悉,如 tantantantantantantantantantantantantantantantan1tancossinsincoscos【题型题型 2】二倍角公式二倍角公式 【例 3】化简:, 2232cos21 21 21 21,解:因为,co
7、scos2cos21 21223,所以又因,2sin2sincos21 21 243,所以所以,原式=。2sin点评:(1)在二倍角公式中,两个角的倍数关系,不仅限于 2是的二倍,要熟悉多种形式的两个角的倍数关系,同时还要注意三个角的内在联系的作用,442,是常用的三角变换。 (2)化简题一定要找准解题的突 4cos4sin222sin2cos破口或切入点,其中的降次,消元,切化弦,异名化同名,异角化同角是常用的化简技巧。 (3)公式变形,。,sin22sincos22cos1cos222cos1sin2【例 4】若。的值求,xxxxxtan1cos22sin,47 1217 53 4cos2
8、 解:由,2435 47 1217xx,得34cossin.4545xx 又因,42coscoscoscossinsin44444410xxxx ,7 2sintan7.10xx 从而,227 227 2221010102sin cos2sin28.1tan1 775xxx x 原式点评:此题若将的左边展开成再求的值,就很3cos45x3coscossinsin445xxsin ,cosxx繁琐,把,并注意角的变换 2运用二倍角公式,问题就公难为易,作为整体x4,xx224 化繁为简头 头头 头 头 头 头 头头 头 头 头 头 头 头http:/ 头 头头 头 头 头头 头 头 头 头 头头
9、 头所以在解答有条件限制的求值问题时,要善于发现所求的三角函数的角与已知条件的角的联系,一般方法是拼角与拆角,如,2, 2222,2等。,【题型题型 3】辅助角公式辅助角公式【例 5】已知函数 ycos2xsinxcosx1,xR.21 23(1)当函数 y 取得最大值时,求自变量 x 的集合; (2)该函数的图象可由 ysinx(xR)的图象经过怎样的平移和伸缩变换得到?(1)解:ycos2xsinxcosx121 23(2cos2x1)(2sinxcosx)141 41 43cos2xsin2x41 43 45(cos2xsinsin2xcos)21 6 6 45sin(2x)21 6 4
10、55y 取得最大值必须且只需 2x2k,kZ,即 xk,kZ。6 2 6所以当函数 y 取得最大值时,自变量 x 的集合为x|xk,kZ 。6(2)将函数 ysinx 依次进行如下变换:把函数 ysinx 的图象向左平移,得到函数 ysin(x)的图象;6 6把得到的图象上各点横坐标缩短到原来的倍(纵坐标不变) ,得到函数21ysin(2x)的图象;6把得到的图象上各点纵坐标缩短到原来的倍(横坐标不变) ,得到函数21ysin(2x)的图象;21 6把得到的图象向上平移个单位长度,得到函数 ysin(2x)的图象;45 21 6 45综上得到函数 ycos2xsinxcosx1 的图象。21
11、23点评:引入辅助角,技巧性较强,但辅助角公式,sincossin22baba,或在历年高考中使用频率是相tanba其中sincosab22costanaabb,其中当高的,应加以关注。 【题型题型 4】三角函数式化简三角函数式化简【例 6】已知函数(的第四象限的角)且,求的值。12sin(2)4( )cosx f xx tan4 3 ( )f解:因为,且是第四象限的角, 所以4tan3 43sin,cos,55 故 12sin(2)4( )cosf x 2212(sin2cos2 )22 cos 1 sin2cos2 cos 6。22cos2sincos cos 2(cossin)14 5【
12、题型题型 5】三角函数的值及周期三角函数的值及周期【例 7】设函数 (其中0,aR),且 f(x)的图象在 y 轴右侧2( )3cossincosf xxxxa的第一个高点的横坐标为。6()求 的值;()如果在区间上的最小值为,求 a 的值。( )f x 65,33解:(I)3133( )cos2sin2sin(2)22232f xxxaxa依题意得 126322(II)由(I)知,。3( )sin()32f xx又当时,故,从而在区间上5,36x 70,36x1sin()123x( )f x 5 36,的最小值为,故13322a 31. 2a【题型题型 6】三角函数综合问题三角函数综合问题【例 8】已知向量(sin ,1),(1,cos ),.22abrr(I)若求(II)求的最大值。,abrr;abrr解:(1) ;,abrr0a b r vgsincos04 22(2).(sin1,cos1)(sin1)(cos1