难点专题 推理与新定义问题

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1、1难难点点专题专题 推理与新定推理与新定义问题义问题随着新课标的深入实施，素质教育要求不断提高，全国各地的高考试卷都相继推出了以能力立意为目标，以增大思维容量为特色，具有相当浓度和明确导向的创新题型脱颖而出，为高考试题增添了活力纵观近年各地高考的创新题型，不难发现，推理与“新定义”型这种题目是高考试题的一大热点所谓“新定义”型问题，主要是指在问题中定义了中学数学中没有学过的一些新概念、新运算、新符号，要求学生读懂题意并结合已有的知识、能力进行理解，并根据新的定义进行运算、推理、迁移的一种题型这类题目具有启发性、思考性、挑战性和隐蔽性等特点，由于它构思巧妙，题意新颖，是考察学生综合素质和能力、挖

2、掘学生潜力的较佳题型，因而它受到命题者的青睐一新定义一新定义1 1 以新课标内容为背景以新课标内容为背景以新课标内容为背景，这种类型的问题很多，一般是以新课标教材内容为背景，给出某种新概念、新运算（符号） 、新法则（公式）等，学生在理解相关新概念、新运算（符号） 、新法则（公式）之后，运用新课标学过的知识，结合已掌握的技能，通过推理、运算等寻求问题解决纵观这几年的高考试题，可以发现，“新定义”型问题按其命题背景可分为三种类型：以新课标内容为背景、以高等数学为背景、以跨学科为背景现就相关类型作探讨：1 11 1 定义新概念型定义新概念型分析近几年的高考真题及模拟题，定义新概念型题目，按内容大致可

3、分为新定义集合、新定义函数、新定义数列等一、新定义集合一、新定义集合所谓“新定义集合” ，给出集合元素满足的性质，探讨集合中的元素属性，要求有较高的抽象思维和逻辑推理能力由于此类题目编制角度新颖，突出能力立意，突出学生数学素质的考查，特别能够考查学生“现场做题”的能力，并且在近几年高考模拟试题和高考试题中出现频繁出现下面选取几例进行分类归纳，解题时应时刻牢记集合元素的三要素：确定性，互异性，无序性来源:学科网例1 【2014高考天津】已知q和n均为给定的大于1的自然数，设集合12 , 1 , 0qML，集合 niMxqxqxxxxAin nLL, 2 , 1,1 21，(1)当3, 2nq时，

4、用列举法表示集合 A；(2)设,1 211 21n nn nqbqbbtqaqaasAtsLL其中, 2 , 1,niMbaiiL证明：若,nnba 则ts .2二、新定义函数二、新定义函数例 2 【惠安一中、养正中学、安溪一中 2015 届高三上学期期中联合考试】定义在实数集R上的函数 xfy 的图像是连续不断的，若对任意的实数x，存在常数t使得 xtfxtf恒成立，则称 xf是一个“关于t函数” ，下列“关于t函数”的结论正确的是（ ）A 2xf不是 “关于t函数” B xxf是一个“关于t函数” C “关于21函数”至少有一个零点 D xxfsin不是一个“关于t函数”例 3 【吉林市普

5、通高中吉林市普通高中 2014201420152015 学年度高三毕业年级摸底考试学年度高三毕业年级摸底考试】一个 函数( )f x ，如 果对任 意一 个三 角形 ，只要 它的 三边 长, ,a b c 都在( )f x 的定 义域内 ，就 有( ),( ),( )f af bf c也 是某个 三角 形的 三边长 ，则 称( )f x为 “三 角保 型函 数” ，给 出下 列函 数： ( )f xx，2( )f xx；( )2f xxf ( x)=2x；( )lgf xx ，其中是“三角 保型函 数”的是（ ）A. B. C. D. 三、新定义数列三、新定义数列例 4. 【朝阳区 2014-

6、2015 学年度高三年级第一学期期中】对于项数为m的有穷数列na，记123max ,(1,2,3,)kkba a aakmLL，即kb为123,ka a aaL中的最大值，则称 nb是na的“控制数列” ， nb各项中不同数值的个数称为na的“控制阶数”.（）若各项均为正整数的数列na的控制数列 nb为1,3,3,5，写出所有的na； （）若100m ，2 natnn，其中1 1( , )4 2t， nb是na的控制数列，试用t表示112233100100()()()()babababaL的值；（）在1,2,3,4,5的所有全排列中，将每种排列视为一个数列，对于其中控制阶数为 2 的所有数列，

7、求3它们的首项之和.例 5 【江西省新余市 2014 届高三第二次模拟考试数学】若数列 nA满足2 1nnAA，则称数列 nA为“平方递推数列” 已知数列 na中，19a ，点1(,)nna a在函数2( )2f xxx的图象上，其中n为正整数（1）证明数列1na 是“平方递推数列” ，且数列lg(1)na 为等比数列；（2）设（1）中“平方递推数列”的前n项积为nT，即12(1)(1)(1)nnTaaaL，求lgnT；（3）在（2）的条件下，记lg lg(1)n n nTba，求数列 nb的前n项和nS，并求使4026nS 的n的最小值1 12 2 定义新运算型定义新运算型例 6 【浙江省杭

8、州外国语学校 2015 届高三上学期期中考试】在实数集R中定义一种运算“” ，对任意,Ra b，a b为唯一确定的实数，且具有性质：（1）对任意Ra，0aa； （2）对任意,Ra b，(0)(0)a babab.则函数1( )()x xf xee的最小值为 （ ）A2 B3 C6 D8例 7对于直角坐标平面内的任意两点A(x1，y1)，B(x2，y2)，定义它们之间的一种“距离”：AB=x1x2+y1y2给出下列三个命题：若点C在线段AB上，则AC+CB=AB;在ABC中，若C=90，则AC2+CB2=AB2；在ABC中，AC+CBAB其中真命题的个数为 （ ）A0 B1 C2 D341 13

9、 3 定义新法则型定义新法则型例 8为确保信息安全，信息需加密传输，发送方由明文密文(加密)，接收方由密文明文(解密)，已知加密规则为:明文a，b，c，d对应密文a+2b，2b+c，2c+3d，4d，例如，明文 1，2，3，4 对应密文5，7，18，16当接收方收到密文 14，9，23，28 时，则解密得到的明文为( )A4，6，1，7 B7，6，1，4 C6，4，1，7 D1，6，4，7例 9 【2014 高考北京理第 20 题】对于数对序列1122:(,),(,),(,)nnPa ba ba bL，记111( )T Pab，112( )( ),(2)kkkkT PbMax TP aaakn

10、L，其中112( ),kkMax TP aaaL表示1( )kTP和12kaaaL两个数中最大的数.（1）对于数对序列:(2,5),(4,1)P，求12( ),( )T P T P的值；（2）记m为a，b，c，d四个数中最小的数，对于由两个数对( , ),( , )a bc d组成的数对序列:( , ),( , )Pa bc d和:( , ),( , )Pc da b，试分别对ma和md两种情况比较2( )T P和2()T P的大小；（3）在由五个数对(11,8),(5,2),(16,11),(11,11),(4,6)组成的所有数对序列中，写出一个数对序列P使5( )T P最小，并写出5( )

11、T P的值.(只需写出结论).2 2 以高等数学为背景以高等数学为背景本类型的题目通常是以高等数学符号、概念直接出现或以高等数学概念、定理作为依托融于初等数学知识中此类问题的设计虽来源于高等数学，但一般是起点高，落点低，它的解决的方法还是运用中学数学的基本知识和基本技能这要求学生认真阅读相关定义或方法，在充分理解题意的基础上，结合已有的知识进行解题例 10 【山东省潍坊市重点中学 2015 届高三上学期期中考试】已知Rx，符号 x表示不超过x的最大整数，若函数 0xaxxxf有且仅有 3 个零点，则a的取值范围是（ ）5A. 23,34 54,43U B. 23,34 54,43U C. 23

12、,45 32,21U D. 23,45 32,21U例 11 【九江市都昌一中 湖口中学 彭泽一中 瑞昌一中 修水一中 永修一中 德安一中 2014 届高三七校联考】对于使Mxx 22成立的所有常数 M 中，我们把 M 的最大值1，称为函数xx22的“下确界” ，若xzyzyxRzyx2 , 02,的“下确界”为A、8 B、6 C、 4 D、13 3 以跨学科为背景以跨学科为背景本类型的题目，主要是介绍数学知识在其他学科或领域的运用，一般都会介绍运用时的知识背景、数学模型，因而题中文字、信息较多学生必须准确地把握题意、理顺线索、分析相应数学模型与数学知识的内在联系，结合学生已有的知识和能力进行

13、推理、运算例 12品酒师需定期接受酒味鉴别功能测试，一种通常采用的测试方法如下：拿出n瓶外观相同但品质不同的酒让其品尝，要求其按品质优劣为它们排序；经过一段时间，等其记忆淡忘之后，再让其品尝这n瓶酒，并重新按品质优劣为它们排序，这称为一轮测试根据一轮测试中的两次排序的偏离程度的高低为其评分现设4n ，分别以1234,a a a a表示第一次排序时被排为 1，2，3，4 的四种酒在第二次排序时的序号，并令12341234Xaaaa，则X是对两次排序的偏离程度的一种描述()写出X的可能值集合； ()假设1234,a a a a等可能地为 1，2，3，4 的各种排列，求X的分布列；()某品酒师在相继

14、进行的三轮测试中，都有2X ，来源:学。科。网(i)试按()中的结果，计算出现这种现象的概率（假定各轮测试相互独立） ；(ii)你认为该品酒师的酒味鉴别功能如何？说明理由6例 13对 1 个单位质量的含污物体进行清洗，清洗前其清洁度(含污物体的清洁度定义为:1()污物质量 物体质量含污物)为 08，要求洗完后的清洁度是 099有两种方案可供选择，方案甲:一次清洗;方案乙:两次清洗该物体初次清洗后受残留水等因素影响，其质量变为a(1a3)设用x单位质量的水初次清洗后的清洁度是0.8 1x x (1xa)，用y质量的水第二次清洗后的清洁度是yac ya ，其中(0.80.99)cc是该物体初次清洗后的清洁度()分别求出方案甲以及0.95c 时方案乙的用水量，并比较哪一种方案用水量较少;()若采用方案乙，当a为某定值时，如何安排初次与第二次清洗的用水量，使总用水量最少?并讨论a取不同数值时对最少总用水量多少的影响由上各例可见， “新定义”型的问题，通常是选取合适的数学背景，把新定义、新运算、新符号等巧妙的融入高考试题中来，虽然它的构思