集合的基本关系及运算

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1、集合的基本关系及运算集合的基本关系及运算 编稿：丁会敏 审稿：王静伟 【学习目标学习目标】 1.理解集合之间包含与相等的含义，能识别一些给定集合的子集在具体情境中，了解空集和全集的 含义 2.理解两个集合的交集和并集的含义，会求两个简单集合的交集与并集理解在给定集合中一个子集 的补集的含义，会求给定子集的补集 【要点梳理要点梳理】 要点一、集合之间的关系要点一、集合之间的关系 1.1.集合与集合之间的集合与集合之间的“包含包含”关系关系 集合 A 是集合 B 的部分元素构成的集合，我们说集合 B 包含集合 A； 子集：如果集合 A 的任何一个元素都是集合 B 的元素，我们说这两个集合有包含关系

2、，称集合 A 是集合 B 的子集(subset).记作：，当集合 A 不包含于集合 B 时，记作 AB，用 Venn 图表AB(BA)或示两个集合间的“包含”关系：AB(BA)或要点诠释：要点诠释：（1） “是的子集”的含义是：的任何一个元素都是的元素，即由任意的，能推出ABABxA xB（2）当不是的子集时，我们记作“(或)” ，读作：“不包含于” （或“不包ABABB AABB含” ） A真子集：若集合，存在元素 xB 且，则称集合 A 是集合 B 的真子集(proper subset).ABxA记作：AB(或 BA) 规定：空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集. 2.2.集合与集

3、合之间的集合与集合之间的“相等相等”关系关系，则 A 与 B 中的元素是一样的，因此 A=BABBA且要点诠释：要点诠释：任何一个集合是它本身的子集，记作AA要点二、集合的运算要点二、集合的运算 1.1.并集并集 一般地，由所有属于集合 A 或属于集合 B 的元素所组成的集合，称为集合 A 与 B 的并集，记作：AB 读作：“A 并 B” ，即：AB=x|xA，或 xB Venn 图表示：要点诠释：要点诠释：（1） “xA，或 xB”包含三种情况：“” ；“” ；,xAxB但,xBxA但“” ,xAxB且（2）两个集合求并集，结果还是一个集合，是由集合 A 与 B 的所有元素组成的集合(重复元

4、素只出现 一次). 2.2.交集交集 一般地，由属于集合 A 且属于集合 B 的元素所组成的集合，叫做集合 A 与 B 的交集；记作：AB，读 作：“A 交 B” ，即 AB=x|xA，且 xB；交集的 Venn 图表示：要点诠释：要点诠释： （1）并不是任何两个集合都有公共元素，当集合 A 与 B 没有公共元素时，不能说 A 与 B 没有交集，而是AB I（2）概念中的“所有”两字的含义是，不仅“AB 中的任意元素都是 A 与 B 的公共元素” ，同时“A 与 B 的公共元素都属于 AB” （3）两个集合求交集，结果还是一个集合，是由集合 A 与 B 的所有公共元素组成的集合. 3.3.补集

5、补集 全集：一般地，如果一个集合含有我们所研究问题中所涉及的所有元素，那么就称这个集合为全集， 通常记作 U. 补集：对于全集 U 的一个子集 A，由全集 U 中所有不属于集合 A 的所有元素组成的集合称为集合 A 相 对于全集 U 的补集(complementary set)，简称为集合 A 的补集，记作：补集的 Venn 图表示：UUAA=x|xUxA；即且；要点诠释：要点诠释：（1）理解补集概念时，应注意补集是对给定的集合和相对而言的一个概念，一个UAA()U AU确定的集合，对于不同的集合 U，补集不同A （2）全集是相对于研究的问题而言的，如我们只在整数范围内研究问题，则为全集；而当

6、问题扩Z 展到实数集时，则为全集，这时就不是全集RZ（3）表示 U 为全集时的补集，如果全集换成其他集合（如）时，则记号中“U”也必须换UAAR成相应的集合（即） RA4.4.集合基本运算的一些结论集合基本运算的一些结论 ABAABBAA=AA=AB=BA ， AABBABAA=AA=AAB=BA，UU(A)A=U (A)A=，若 AB=A，则，反之也成立AB若 AB=B，则，反之也成立AB若 x(AB)，则 xA 且 xB 若 x(AB)，则 xA，或 xB 求集合的并、交、补是集合间的基本运算，运算结果仍然还是集合，区分交集与并集的关键是“且” 与“或” ，在处理有关交集与并集的问题时，常

7、常从这两个字眼出发去揭示、挖掘题设条件，结合 Venn 图或数轴进而用集合语言表达，增强数形结合的思想方法. 【典型例题典型例题】 类型一、集合间的关系类型一、集合间的关系例 1. 集合，集合，那么间的|2 ,Aa ak kN21|1 ( 1)(1),8nBb bnnN ,A B关系是（ ）. A. B. C. = D.以上都不对 ABBAA B 【答案】B 【解析】先用列举法表示集合、，再判断它们之间的关系.由题意可知，集合是非负偶数集，ABA即.集合中的元素.而0,2,4,6,8,A B211 ( 1)(1)8nbn 0() 1(1)(1)()4nnnn为非负偶数时，为正奇数时（为正奇数时

8、）表示 0 或正偶数，但不是表示所有的正偶数，即.由1(1)(1)4nnn1,3,5,7,n 依次得 0,2,6,12，即.1(1)(1)4nn0 2 612 20B ，综上知，应选. BAB 【总结升华】判断两个集合间的关系的关键在于：弄清两个集合的元素的构成，也就是弄清楚集合是 由哪些元素组成的.这就需要把较为抽象的集合具体化（如用列举法来表示集合） 、形象化（用 Venn 图， 或数形集合表示）.举一反三：举一反三：【变式 1】若集合，则（ ）.|21,|41,Ax xkkzBx xllzA. B. C. = D. ABBAA BABZU【答案】C 例 2. 写出集合a，b，c的所有不同

9、的子集.【解析】不含任何元素子集为，只含 1 个元素的子集为a，b，c，含有 2 个元素的子集有 a，b，a，c，b，c，含有 3 个元素的子集为a，b，c，即含有 3 个元素的集合共有 23=8 个不同的 子集.如果集合增加第 4 个元素 d，则以上 8 个子集仍是新集合的子集，再将第 4 个元素 d 放入这 8 个子 集中，会得到新的 8 个子集，即含有 4 个元素的集合共有 24=16 个不同子集，由此可推测，含有 n 个元素 的集合共有 2n个不同的子集. 【总结升华】要写出一个集合的所有子集，我们可以按子集的元素个数的多少来分别写出.当元素个 数相同时，应依次将每个元素考虑完后，再写

10、剩下的子集.如本例中要写出 2 个元素的子集时，先从 a 起， a 与每个元素搭配有a，b，a，c，然后不看 a，再看 b 可与哪些元素搭配即可.同时还要注意两个特殊的子集：和它本身. 举一反三：举一反三：【变式 1】已知，则这样的集合有 个., a bA, , , ,a b c d eA【答案】7 个【变式 2】同时满足：；，则的非空集合有（ ）1,2,3,4,5M aM6aMMA. 16 个 B. 15 个 C. 7 个 D. 6 个 【答案】C【解析】时，；时，；时，；时，；3a 63a1a 65a2a 64a4a 62a时，；非空集合可能是：，5a 61aM 3 , 1,5 , 2,4

11、 , 1,3,5 , 2,3,4 , 1,2,4,5共 7 个.故选 C.1,2,3,4,5例 3集合 A=x|y=x2+1，B=y|y=x2+1，C=(x,y)|y=x2+1，D=y=x2+1是否表示同一集合？ 【答案】以上四个集合都不相同 【解析】集合 A=x|y=x2+1的代表元素为 x，故集合 A 表示的是函数 y=x2+1 中自变量 x 的取值范围，即函数的定义域 A=；(,) 集合 B=y|y=x2+1的代表元素为 y，故集合 B 表示的是函数 y=x2+1 中函数值 y 的取值范围，即函数的值域 B=；1,)集合 C=(x,y)|y=x2+1的代表元素为点（x，y） ，故集合 C

12、 表示的是抛物线 y=x2+1 上的所有点组成的 集合； 集合 D=y=x2+1是用列举法表示的集合，该集合中只有一个元素：方程 y=x2+1 【总结升华】认清集合的属性，是突破此类题的关键.首先应当弄清楚集合的表示方法，是列举法还 是描述法；其次对于用描述法表示的集合一定要认准代表元素，准确理解对代表元素的限制条件 举一反三：举一反三：【变式 1】 设集合，则（ ）( , )|34Mx yyx( , )|32Nx yyx MN IA. B. C. D. 1,11,1xy ( 1,1)( 1,1)【答案】D【解析】排除法：集合 M、N 都是点集，因此只能是点集，而选项 A 表示二元数集合，选项

13、MNIB 表示二元等式集合，选项 C 表示区间（无穷数集合）或单独的一个点的坐标（不是集合） ，因此( 1,1)可以判断选 D【变式 2】 设集合，则与的关系是（ |21,Mx yxxZ |21,Ny yxxZMN）A. B. C. D. NMMNNMNM I【答案】A【解析】集合 M 表示函数的定义域，有；21,yxxZM 整数集合 N 表示函数的值域，有，故选 A.21,yxxZN 奇数【高清课堂：集合的概念、表示及关系高清课堂：集合的概念、表示及关系 377430377430 例例 2】 【变式 3】 设 M=x|x=a2+1，aN N+，N=x|x=b2-4b+5，bN N+，则 M

14、与 N 满足( )A. M=N B. MN C. NM D. MN=【答案】B 【解析】 当 aN N+时，元素 x=a2+1，表示正整数的平方加 1 对应的整数，而当 bN N+时，元素 x=b2- 4b+5=(b-2)2+1，其中 b-2 可以是 0，所以集合 N 中元素是自然数的平方加 1 对应的整数，即 M 中元素都 在 N 中，但 N 中至少有一个元素 x=1 不在 M 中，即 MN，故选 B. 【高清课堂：高清课堂：集合的概念、表示及关系集合的概念、表示及关系 377430377430 例例 3】3】例 4已知若 M=N，则= , 0,yxNyxxyxM2()(xyx)()1001002yxyL A200 B200 C100 D0 【思路点拨】解答本题应从集合元素的三大特征入手，本题应侧重考虑集合中元素的互异性 【答案】D【解析】由 M=N，知 M，N 所含元素相同.由 O0，|x|，y可知O x, xy, x-y若 x=0，则 xy=0，即 x 与 xy 是相同元素，破坏了 M 中元素互异性，所以 x0. 若 xy=0，则 x=0 或 y=0，其中 x=0 以上讨论不成立，所以 y=0，即 N 中元素 0，y 是相同元素，破 坏了 N 中元素的互异性