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1、2011 高教社杯全国大学生数学建模竞赛承 诺 书我们仔细阅读了中国大学生数学建模竞赛的竞赛规则.我们完全明白，在竞赛开始后参赛队员不能以任何方式（包括电话、电子邮件、网上咨询等）与队外的任何人（包括指导教师）研究、讨论与赛题有关的问题。我们知道，抄袭别人的成果是违反竞赛规则的, 如果引用别人的成果或其他公开的资料（包括网上查到的资料） ，必须按照规定的参考文献的表述方式在正文引用处和参考文献中明确列出。我们郑重承诺，严格遵守竞赛规则，以保证竞赛的公正、公平性。如有违反竞赛规则的行为，我们将受到严肃处理。我们参赛选择的题号是（从 A/B/C/D 中选择一项填写）： 我们的参赛报名号为（如果赛区
2、设置报名号的话）： 所属学校（请填写完整的全名）： 参赛队员 (打印并签名) ：1. 2. 3. 指导教师或指导教师组负责人 (打印并签名)： 日期： 年 月 日赛区评阅编号（由赛区组委会评阅前进行编号）：22011 高教社杯全国大学生数学建模竞赛编 号 专 用 页赛区评阅编号（由赛区组委会评阅前进行编号）：赛区评阅记录（可供赛区评阅时使用）：评 阅 人评 分备 注全国统一编号（由赛区组委会送交全国前编号）：全国评阅编号（由全国组委会评阅前进行编号）：3降落伞的选购模型摘要本模型研究的是空投物资所用降落伞的选购问题，在满足降落伞落地时速度不超过的前提条件下将物资全部安全空投到救灾区，要求所购买
3、的降落伞20m s2000kg的费用最少。 为方便研究，我们将伞面、绳索、物资看成整体，忽略伞和绳索的质量。首先确 定不同半径的降落伞的价格，运用勾股定理计算单根绳长，根据已知伞面费用、半径、 绳索单价以及固定费用得出不同半径伞的价格。分析物体的运动状态，根据假设降落 伞竖直向上只受空气阻力和自身的重力作用，水平方向不受力。通过对降落伞受力分析建立起了高度与时间的方程，根据（高度）和 （时间）的一阶导得出的图像ht v t可知，物体做向下加速度减小的加速运动，到开始向下做匀速运动，根据牛顿第二10s定律计算空气阻力系数，首先得出（高度）和 （时间）的二阶导22mgkv rmaht函数，利用加速
4、度以及结合表二运用 Matlab 软件拟合出空气阻力系数值，根据已ak知物资在落地时速度必须小于，研究图像可知物资在空气阻力和自身重力20m s v t的作用下在落地之前达到平衡状态，根据牛顿第二定律得知即就是，mgfmgkvs不同 不同，这样就可以根据得出对应不同半径伞的最大载重量。下面就是rsmgkvs解决最优解的问题，通过已知，空投物资必须大于等于以及降落伞的个数必须2000kg是正整数，得出目标函数的约束条件，根据每种伞的价格和个数列出目标函数。 最后运用 Lingo 软件求解得: .即购买半径为的降落22.533.540,0,6,0,0nnnnn3m伞所需费用最少，最大载重量为，最低
5、费用为。4 .203406.33960 .49295 .8216关键字：关键字：空气阻力 、勾股定理、线性规划、数据拟合4一、问题重述为向灾区空投救灾物资共 2000kg，需选购一些降落伞。已知空投高度为 500m，要 求降落伞落地时的速度不能超过 20m/s。降落伞面为半径 r 的半球面，用每根长 L, 共 16 根绳索连接的载重 m 的物体位于球心正下方球面处，每个降落伞的价格由三部分 组成。伞面费用 C1 由伞的半径 r 决定，见表 1；绳索费用 C2 由绳索总长度及单价 4 元 /米决定；固定费用 C3 为 200 元。 r m2 2.5 3 3.5 4 费用（元） 65 170 35
6、0 660 1000 表 1降落伞在降落过程中受到重力作用外还受到的空气阻力，可以认为与降落速度和 伞的受力面积的乘积成正比。为了确定阻力系数，用半径 r=3m、载重 m=300kg 的降落 伞从 500m 高度作降落试验，测得各时刻的高度 ，见表 2。时刻 ( )t s0 3 6 9 12 15 18 21 24 27 30 高度 ( )h m500 470 425 372 317 264 215 160 108 55 1 表 2试根据以上条件确定降落伞的选购方案，即共需多少个，每个伞的半径多大（在 表 1 中选择） ，在满足空投要求的条件下，使费用最低。二、模型假设1假设物体下落时初速度为
7、 0； 2假设降落伞在空投的瞬间打开； 3假设伞和绳子的重量忽略不计； 42000kg 的物资可以任意分割； 5假设降落伞水平方向不受力； 6降落伞在下落的过程中只考虑空气阻力对其的影响；三、符号说明: 购买半径为 r 的降落伞数目；rn：空气的阻力；f：空气的阻力系数；k：降落伞的伞面费用；1C5：降落伞悬挂物资的绳索费用；2C：降落伞的固定费用；3C：降落伞所用的总费用；C ：降落伞的半径；r ：降落伞的最大载重量；m ：降落伞离地的高度；h ：降落伞的下落的位移；H ：降落伞每根绳的长度；L ：降落伞下落的加速度；a：重力加速度；g29.8gm s：降落伞的伞面面积；s四、问题分析1分析
8、伞面费用：由题意可知每个伞的价格，有三部分构成：伞面费用、绳索费用、固定费用1C2C，伞面费用由伞的半径 决定，题目中已经给出伞面的具体费用，绳索费用由3C1Cr2C绳索的长度及单价所决定，根据题意“载重 m 的物体位于球心正下方球面处” （如图一所示） ，根据勾股定理得绳索的长度，单价已经得知，每个伞由 16 根绳索构成，2Lr所以绳索费用，费用是题目中给出的固定费用 200。已知题目中已216*4* 2Cr3C经给出每种伞形的半径，所以每种伞的单价为定值。 2分析物体的运动状态： 我们将降落伞、绳索和物资看成一整体，对它进行受力分析（如图二所示） ，根据牛顿第二定律：，是物体的重量，是物体
9、下落时遇到向上的阻力mgfmamgf， 表示降落伞的面积，所以,所以可以得出：fkvss22sr22mgkv rma由于需要降落伞对它的运动速度进行控制，并且降落伞在运动的过程中受到空气 阻力的影响，所以可以得出物资在空中不是自由落体运动，物资在空投的时候它的运 动状态可以分为三种： 2.1：物资在投出的时候阻力大于重力，它的运动状态为向上变速运动； 2.2：物资在投出的时候阻力等于重力，它的运动状态为向上匀速运动或向下匀速 运动或静止不动； 2.3：物资在投出的时候阻力小于重力，它的运动状态为向下变速运动； 根据题意可判断出这三种都有可能，要具体得知是哪种,就需要研究物资从投出到落地一瞬间的
10、运动状态，题意中已给出物资的时间与位移的数据，可由得出它的Hd td 一阶导速度 的图像，根据物资的速度运动状态图像（如图三所示）可得出第一种运动v6状态不可能发生，空投物资是需要将物资从高空向下投到地面，所以，具体就是分析 物资向下运动的状态是向下匀速运动还是向下变加速运动，根据分析可以得出物资先 是做的是向下的加速度减小的加速运动，到差不多快 10 秒的时间的时候，物体开始做 匀速运动。物体下落速度变化图 现在知道了物体的运动状态，可以果断排除前面两种情况，即就是物体在空投后 是做向下加速度减小的变加速运动。 3分析空气阻力系数：k空气阻力系数决定着降落伞的最大载重量，根据牛顿第二定律可以
11、得mgfma出，所以要想知道空气阻力系数，就必须得出物资下落的加速度，22mgkv rmaka现在从题目中可以已知 （时间）和 (高度)的对应关系，我们在数学中学习过和thh 的一阶导是 （速度） ，而速度的一阶导就是(加速度)，首先根据和 的对应数据tvaht再结合题目中的实验说明（半径、载重的降落伞从高度作降落试验）3rm300mkg500m利用 Matlab 软件计算出 H=1/2*g/k/pi/r2*m*t+1/4*g/k2/pi2/r4*m2*exp(-2*k*pi*r2/m*t)的函数关系，再得出（高度）和 （时间）的二阶导，利用 Matlab 软件拟合出空气阻力系数的值。htk
12、4：分析降落伞的最大承载重量：根据题目给出的条件（已知空投高度为，要求降落伞落地时的速度不能超过）500m20m s，要想在物资落地的一瞬间速度不超过，就需要降落伞的承载重量不能太大，20m s那么这个就是一个零界状态，根据物体下落速度变化图可以得出物体下落时间20m s在 10s 的时候（加速度）=0，所以说从 10s 开始物体做的是向下的匀速运动，根据a牛顿第二定律，即就是，得出解得，表 1 中已经给出mgfmgkvs240mgk rm7每种降落伞的半径，利用 Matlab 软件解得每种半径的降落伞的最大承重量。 5利用线性规划，使用 lingo 软件得出最优解： 前面已经解出每种降落伞的
13、价格，目标函数最低费用就是每种伞的 (价格)乘以C它的(个数)相加，再根据题目给出的物资共得出，降落伞的个数是正整数且空投总n2000kg物资重量必须大于等于，所以得出约束条件，再使用 Lingo 软件求得最优解。2000kg图一 图二五、建模与求解1首先确定阻力系数 k 为了方便对物资进行受力分析，我们把降落伞和物资看作一个整体如图二。由假 设 5 可知物体 A 只受到竖直向上的空气阻力和竖直向下的重力作用。又由题可知空气 阻力与降落速度 v 和伞的受力面积 S 的乘积成正比。则物体 A 在竖直方向上受到的合 外力为：由运动学方程：得由物体位移 H 和时间(t)的二次微分等于加速度建立方程得
14、:8用 MATLAB 解微分方程得：(程序见附录 1)则题目已经给 t-h 数据为： 时刻 t（s）036912151821242730高度 h（m）500470425372317264215160108551时间高度对应关系表对给定的数据以为拟合函数进行拟合，r=3m,m=300kg,g=9.8,得出k=2.9377 。 （程序见附录 2）2求解最大承载量 用速度对时间的微分等于加速度，且 v0=0 建立方程组得：用 MATLAB 解得(程序见附录 3)因为降落伞在下落过程中其质量是不变的，所以我们把关系式中 t 看做一个定值，则关于 m 的方程为从上式我们可以知道是关于 m 的单调递增函数
15、:证明过程如下： 由数学知识可知：函数的一阶导数大于零，则原函数是单调递增的。一阶导数小 于零，则原函数是单调递减的。对求一阶导数得：9由上式分析可知无法确定其是否大于零，在对其求二阶导数为：则一阶导数为单调递减函数，当 m 趋近于无穷大时对一阶导数求极限可知由此可得：则原函数是单调递增函数，即速度 v 和 m 是成正比关系的。 用 Matlab 画出 V-t 图， （程序见附表 4） 识图可知物资在下过程中：开始的加速度减小的加速运动，随着速度的增大, 由 kvsf 得出阻力不断增大。当kvsmg ，物质做匀速运动。物体下落速度随时间的变化图因此，求最大载重量取伞在下降到地面的瞬间达到最大速度,此时m，由方程调用 MATLAB 分别解得半径为 r 的降落伞在满足空投条件下的最10大载重量如下表：（程序见附录 5）)(rM降落伞在满足空投条件下的最大承重量表 3线性规划求解数量和费用 由分析可知每种伞的单价：由题可
