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1、习题精选精讲1透视高考数学试题与三角函数有关的五大热点透视高考数学试题与三角函数有关的五大热点解答三角高考题的一般策略：（1）发现差异：观察角、函数运算间的差异，即进行所谓的“差异分析”。（2）寻找联系：运用相关三角公式，找出差异之间的内在联系。（3）合理转化：选择恰当的三角公式，促使差异的转化。三角函数恒等变形的基本策略：（1）常值代换：特别是用“1”的代换，如 1=cos2+sin2=tanxcotx=tan45等。（2）项的分拆与角的配凑。如分拆项：sin2x+2cos2x=(sin2x+cos2x)+cos2x=1+cos2x；配凑角：=（+），=2等。2（3）降次，即二倍角公式降次。
2、（4）化弦（切）法。将三角函数利用同角三角函数基本关系化成弦（切）。（5）引入辅助角。asin+bcos=sin(+)，这里辅助角所在象限由 a、b 的符号确定，角的值由 tan=确22ba ab定。三、与三角函数有关的五大热点问题三、与三角函数有关的五大热点问题1三角函数的图象问题三角函数的图象问题：这是一类研究三角函数的奇偶性、对称性、单调性与函数图像的交点坐标及图像变换问题，解此类问题一定要注意三角函数的周期在解题中决定作用，千万不可忽视。例例 1.(06 重庆卷重庆卷)设函数 f(x)=cos2cos+sinrcosx+a(其中0,aR),且 f(x)的图象在 y 轴右侧的第一个高点的
3、横坐标为.36（）求 的值；（）如果 f(x)在区间上的最小值为，求 a 的值. 65,33313( )cos 2sin 2222 3sin2322,6321.2fxxxx 解：（I ）依题意得解之得3)2 57,0,3636 1sin()1,23 513( ),3622 133.22xxxfx （I I ) 由（I ）知, f ( x) =si n( x+3 又当时，故从而在上取得最小值因此，由题设知故31 2例例 2.2.（0606 山东卷）山东卷）已知函数 f(x)=A(A0,0,00，又的最大值为，(1)( )sincos ()f xabxcx xR(01)(1)2AB且且且( )f
4、x2 21求函数 的解析式；(2)由函数 y=图像经过平移是否能得到一个奇函数 y=的图像？若能，请写出平移的过程；若不( )f x( )f x( )g x能，请说明理由。解：(1)，由题意，可得，解得22( )sincossin()(tan)cf xabxcxabcxb22112 21acababc ，所以；1 22a bc ( )12sin2cosf xxx (2) ，将的图像向上平移 1 个单位得到函数的( )12sin2cos2 2sin() 14f xxxx ( )f x2 2sin()4yx图像，再向右平移单位得到的图像，故将的图像先向上平移 1 个单位，再向右平移单位就可以得到奇
5、函42 2sinyx( )f x4数 y=的图像。( )g x注本题考查的是三角函数的图象和性质等基础知识，其是高考命题的重点内容，应于以重视。例 3、为使方程在内有解，则的取值范围是（ ）0sincos2axx 2, 0aAaBa.1111CaD a. 105 4分析一：分析一：由方程形式，可把该方程采取换元法，转化为二次函数：设 sinx=t，则原方程化为，且，于0=1-a-t+t210t，习题精选精讲8t 1 2f(t) O 1 t 是问题转化为：若关于 的一元二次方程在区间上有解，求的取值范围，解法如下： t012att10，a设由已知条件f ttta( ) 21有f fa aa( )
6、 ( )00 1010 1011 aaB的取值范围为，故选（ ）11分析二：分析二：20sincos0sincos22，得由方程xxxaaxx于是问题转化为：求函数在，上的值域，axx cossin202解法如下：axxxxx cossinsinsin(sin)22211 25 4Q x 02，sinx01， ，从而当时， 无限逼近；sinxa01当时， 取最大值sinxa 11aaB的取值范围为，故选（ ）11注换元法或方程思想也是高考考查的重点，尤其是计算型试题。例 4、已知向量，2 5(cossin )(cossin) |5ababrrrr且且=且且(1)求的值；(2)若的值。cos()
7、500sinsin2213 且且且且且解解：(1)因为(cossin )(cossin)abrr且且=且且所以(coscossinsin)abrr且且又因为，所以，2 5|5abrr222 5(coscos )(sinsin)5即；4322cos()cos()55且(2) ，00 022且且习题精选精讲9又因为，所以 ，3cos()54sin()5，所以，所以5sin13 12cos13 63sinsin()65L点评点评 本小题主要考查平面向量的概念和计算，三角函数的恒等变换的基本技能，着重考查数学运算能力平面向量与三角函数结合是高考命题的一个新的亮点之一例 5、已知向量，向量与向量的夹角为
8、，且，1 , 1mnm431nm（1）求向量；n（2）若向量与向量的夹角为，向量，其中为的内角，且n0, 1q22cos2,cos2CApCBA、ABC依次成等差数列，求的取值范围。CBA、pn 分析分析：本题的特色是将向量与三角知识综合，体现了知识的交汇性，这是高考命题的一个创新，也是高考命题的新趋势，关联三角形的三角解答题是高考命题又一个热点。解答本题应先翻译向量语言，脱去向量语言的外衣，这时问题（1）就转化为解方程组问题了，而问题（2）就化归为三角形中的三角函数问题了。解解：（1）设，由，有 yxn,1nm1 yx向量与向量的夹角为，有，Qnm43143cosnmnm，则 1 n122
9、yx由、解得： 10 01 yx yx或1,00, 1nn或（2）由与垂直知，nq1,0 n由,320,32,3,2ACABCAB知若，则，1,0 nCACApncos,cos12cos2,cos2 22cos1 22cos1coscos222CACApn， 32cos211234cos2cos211AAA，35 323,320AAQ21 32cos1 A习题精选精讲10 25,22,45,21,45 32cos211212 pnpnA即例 6 如图，某园林单位准备绿化一块直径为 BC 的半圆形空地，ABC 外的地方种草，ABC 的内接正方形 PQRS 为一水池，其余的地方种花.若 BC=a，
10、ABC=，设ABC 的面积为 S1，正方形的面积为 S2（）用 a，表示 S1和 S2；（）当 a 固定，变化时，求取最小值时的角21 SS解：解：（1）22 111sin ,cossincossin224ACaABaSaaQ设正方形边长为，则xcot ,tancottanBQxRCxxxxa2sincossin2 cottan11 sincos2sin2aaax 22222sin2sin 2 2sin24sin 24sin2aaS （2）当固定，变化时，a1214sin244 sin2S S令 ，用导数知识可以证明：函数1211sin2,44SttSt则 10,01.2tf ttt Q令在是
11、减函数，于是当时，取最小值，此时。 1f ttt 0,11t 12S S4注三角函数有着广泛的应用，本题就是一个典型的范例。通过引入角度，将图形的语言转化为三角的符号语言，再将其转化为我们熟知的函数。三角函数的应用性问题是历年高考命题的一个冷点，但在复习中应引起足够的关注。tttf1三角高考数学题的常规解题途径三角高考数学题的常规解题途径由于三角问题公式繁、题型杂、技巧多，学生在做这类题时，往往盲目探索，超时失分现象较为严重。若将各种题型技巧全部强 化训练，又会陷入题海。如何解决这一矛盾？笔者认为：三角高考题都有比较明确的解题方向，只要在复习中让学生从整体上加以把 握，掌握其常规的解题途径，就
12、能获得事半功倍的效果。 途径途径 1：化成：化成“三个一三个一”“三个一”是指一个角的一种三角函数一次方的形式。这种方法的解题步骤是：运用三角公式，把所求函数变换成“三个一”的形式，即等形式，再根据已知条件及其性质深入求解。一般求三角函数的性质问题，如对称性、单调性、周期性、yAxsin()最值、值域、作图象等问题均可用此法。这类题在高考中每年都作重点考查。例 1. （2004 年全国）求的最小正周期、最大值和最小值。f xxxxxx( )(sincossincos) / (sin)442222分析：本题属于求三角函数性质问题，故使用途径 1。简解：f xxx xx( )sincos (sin
13、 cos ) 1 2 1221 21 44sin x习题精选精讲11所以Tyy/maxmin23 41 4，评注：由于解题思路方向明确，避免了盲目探索，使解题过程简明流畅。途径途径 2：化成：化成“两个一两个一”若某些问题化不成“三个一”，也可只化成一个角一种三角函数 n 次方的形式，或一个角的两种三角函数一次方的形式，即只能 达到“两个一”的要求。此时可通过配方、求导、解方程、设辅助角等手段进一步求解。例 2. （2004 年广东）当时，函数的最值为（ ）04x/f xxxxx( )cos/ (cos sinsin)22A. B. C. 2D. 41 41 2分析 1：本题为求最值问题，则考
14、虑用途径 1，根据函数的齐次特征，化成，却无法变成一次方形式，则走yxx12tantan 途径 2。，选（D）。yx1 050252(tan. ).分析 2：本题若用降幂公式变形为，也只能实现“两个一”。此时可将函数进一步变形为yx xx 12 221cos sincos，利用辅助角，得函数yxyxysin()cos2121 ，变成了“三个一”的形式。再利用其有界性，求得。sin()212212xyyyymin 4途径途径 3： ：边边角角转换转换若已知三角形的某些边或角的关系，而求另一些边或角或判断三角形形状时，可运用正（余）弦定理或面积公式，把边都化为角， 或把角都化为边，然后通过解方程求之。例 3.
