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1、1美丽的七桥 抽象的典范江苏省沭阳县教育局教研室 魏良亚（223500） E-mail：， 1、一个真实的故事十八世纪，在波罗的海的南海岸东普鲁士(Prussia)有一座景色迷人的小镇哥尼斯堡(Konigsberg)，现在叫加里宁格勒(now Kaliningrak Rrssia).美丽的普雷格尔（Pregl）河横贯其境，并在这里形成两条支流，把这座城市分成 4 个区域（如图 1）河的两岸 A：北区和C：南区，河中的岛 B：克奈方福(Kneiphof)岛，这个岛上建有著名的大教堂和大哲学家康德（I.Kant）的墓.还有两条支流之间的半岛 D：东区.当时市内有七座各具特色的大桥横跨在鲁雷格尔河及
2、其支流上，把河岸、河心岛和半岛连接起来.有趣的桥和哥尼斯堡 4 区各具特色的景致吸引了很多游客流连忘返.不知从何时起，一个有趣的问题在居民中传开了：“一个人能否从某地出发，穿过所有的桥各一次后再回到出发点？”这个问题似乎不难，谁都想试一试，但谁也没有成功.因此哥尼斯堡“七桥问题”成了当时一道著名的难题.122、面对著名的难题这个问题传到了当时在彼德堡（现改名为列宁格勒）科学院工作的著名数学家欧拉(Euler,1707-1783)那里，欧拉仔细研究了这个问题.凭欧拉的直觉：人们千百次地失败是否预示着这样的迴路根本就不存在？如何证明？他用数学抽象分析法，将其中的四块陆地抽象为四个点 A、 B 、C
3、 、D，陆地之间架设的桥梁用线来表示分别用小写 a 、b 、c 、d、 e、f 、g 表示七座桥，经过抽象之后，哥尼斯堡的“七桥问题”就变成了由点和线所组成的图形（如图 2），这个图形称为欧拉图.从而“七桥问题”就变成了“从图中任一点出发通过每条边的一次而后返回原地，这样的迴路是否存在？”经过研究之后，欧拉得到了存在这样一条迴路的充分必要条件，并由此推出哥尼斯堡七桥问题是没有解的.3、科学家的方法方法一：当一个人从 A 过桥 a 或 b 到达 B 时，我们把这次过桥记作 AB，第一个字母代表他来的地方，第二个字母代表他过桥后所到的地方.如从 B 过桥 f 到 D，这次过桥记为 BD，这样上两次
4、过桥可记为 ABD，中间字母表示第一次过桥进入的地方，又表示第二次过桥离开的进方.如果继续从 D 过桥 g 到 c，我们把这三次过桥用ABCD 表示.过四座桥用五个字母CABD图 23A 区表示，而且过任意多座桥，表示他的线路的字母个数比桥数多一.例如过七座桥要用八个字母表示.这样，我们不管是哪座桥，即从一地过河到另一地有几座桥时，不管他走的是哪一座.这样，如果有一条路线走过哥尼斯堡七座桥每座恰好一次，我们就可以用八个字母来表示这条路线，而且在这串字母里，AB 或 BA 这个组合要出现两次，因为有两座桥连接 A B 两地区，类似地，BC 这组要出现两次，AD，BD，CD 这几个组合各出现一次.
5、这样，原来的问题已经可以化成怎样用 ABCD 四个字母排成八个字母的串，使得上面提到的各种组合在其中出现需要的次数.下面我们要寻求一个法则，对于这个问题或所有类似问题用该法则能简易地判断所要求的字母排法是否行得通.先看下的情形：情形 1，取一个地区 A，设有任意多座桥通到 A，如 a,b,c, .如图 3:图 3先考虑桥 a，如果某人通过桥 a，他必定过桥前或过桥后到桥 A，所以按前的记录方法，字母 A 字出现 1 次.如果有三座桥 a,b,c 通到 A，而某人三座桥都要过一次，那么不管他是否从 A 出发，字母 A 在线路里将出现 2 次，有五座桥通到 A，字母在线路里将出现 3 次，如果桥的
6、座数是奇数 2n+1，那么字母 A 出现连线路里的次数为桥数加一的一半（即 n+1）.我们再回到哥尼斯堡“七桥问题”，因为有三座桥通向 A，在线路，字母 A 要出现两次，同样，字母 C 各出现两次，而因为有五座桥向 B，因此，在线路的adcb4字母串里，应该有三个 B，这样通这七座桥的字母串必有 9 个字母，这说明代表过七座桥的线路的那八个字母串是不可能存在的，这就是说，要按要求的方式走遍哥尼斯堡的七座桥是不能实现的.用这种方法我们总能判断当通到各地的桥数都是奇数时，能否在一次散步时通每座桥恰好一次.如果桥数加一等于各字母应出现的次数和，这样的线路就存在，若这个和数大于桥数加一，象我们的例子那
7、样，希望的线路就不存在.另外，当通过 A 的桥数是偶数时，我们必须考虑线路是不是从A 开始的.如果有两座桥通到 A，且线路从 A 开始，那么字母 A 出现两次，第一次是从 A 经过一桥出去，第二次则是过另一桥回到 A；若不从 A 开始，那么字母 A 出现一次，它即表示从一座桥来到 A，又表示从另一座桥离开 A.如果有四座桥通到 A，且线路从 A 开始，那么字母 A 在线路里出现三次，如果线路从别处开始，A 只出现两次.对于有六从桥的 A，当 A 在起点时，字母 A 出现四次，否则出现三次.一般地说，如果桥是偶数（如 2n），那么当起点在 A 时，A 在线路中出现的次数是桥数的一半加一（即 n+
8、1）；当起点不在 A 时，A 点线路中出现的次数是桥数的一半（即 n+1）.因为每条线路必须从某一地区开始.因此根据通到各地区的桥数，我们按下面的办法来定各相应的字母在整个线路中出现的次数：当桥数是奇数，字母出现的次数是桥数加一再除以二；当桥数是偶数，字母出现的次数等于桥数除以二，这时如果所得各数的和等于实有桥数加一，这线路是存在的，不过必须从通过奇数座桥的地区出发；如果这和数比桥数加一少一，这5线路也可以实现，只要它的出发点是通过偶数座桥的地区，因此这时那和数又该加一.这样我们就可以判定任意经过的河一桥系统是不是可以走过每座桥恰一次，程序如下：（1）光把被河隔开的各地区用 A、B、C 等表示
9、.（2）取桥的总数加上一，所得数写在表格上端.（3）表格第一列列出字母 A、B等，第二列写下通往各个该地区的桥数.（4）在对应着偶数的字母上打上星号.（5）把第二列各偶数的一半，奇数加一的一半对应地写在第三列.（6）把第三列各数加起来.如果这和数比顶上的数少一或相等，我们断定，要求的线路是可以作得出的；但要注意，当和数比顶上的数少一时，线路必须从带星号的地区出发，而这两数相等时，必须从没带星号的地区的出发.让我们看一个四河两岛十五座桥的例子.如图 4，十五座桥用a,b,c.等表示，一共有六个区分别用 A、B、C、D、E、F 表示.地区桥数 77+1=8A32B53C32D3298地区桥数 15
10、15116*A84 *B42 *C42 D326按上面的程序得到第三列的和为 16 正好等于顶数，所以这条线路存在，但它必须从不带星号地区开始，如其中一条线路为：EaFbBcFdAeFfCgAhCiDkAmEnApBoElD方法二：如果图 2 能够笔不离纸地一笔画成，当然每条线只画一次，则七桥问题可迎刃而解.那么一笔画成的图形应该具备什么性质呢？为此欧拉引入了“奇点”与“偶点”的概念，通过某点的线数为奇数时，该点为奇点，通过某点的线数为偶数时该点为“偶点”.如果一图形能一笔画出，则该图一定存在一个始点和一个终点，而图中的其它点均为“路过点”，所有“路过点”必定有一条线进入该点，同时又从该点出去
11、，这样进、出线的总数应为偶数，即所有“路过点”均为偶点;当始点和终点为同一点时，则该点为偶点，这时图形中所有点均为偶点；当始点和终点不是同一点时，则二者均为奇点,其余各点为偶点.因此，能够一笔画成的图形有两类:其一是图中所有点均为偶点；其二，是恰有两个奇点其余的均为偶点.否则这个图形就不能一笔画成.而图 2 中的四个点均为奇点，所以它不能一笔画出，故按要求走遍哥尼斯堡的七座桥是不能实现的.24、后人的思考53 *F 63 16741 对数学抽象分析法的思考.“数学抽象事实上就是一种建构活动，数学的研究对象是通过这样的活动得到构造的”3欧拉在对哥尼斯堡七桥问题进行数学抽象时，不管桥的内部结构和外
12、表形象有多大差异，一律抽象为线，而四块陆地不管是河岸还是小岛，一律抽象为点，因为问题本身不需要考虑它的度量性质，而只需要体现其组合拓扑性质.正是由于欧拉这样的抽象与构造，摧生了新的数学分支图论与拓扑.其实，一切数学模型都是经过数学抽象之后，用数学符号、数学式子、程序和图形去模拟，从而反映客观事物内在联系和本质.这里映照着数学一般的发展规律和发展史，正如数学家斯蒂恩（L.steen）所说：“数学是模式的科学”.模式的建构过程就是创新、发展的过程.正是由于数学的这种高度的抽象才能带来其应用的广泛性.由于计算机和信息技术的飞速发展，使应用数学和数学应用得到了相应发展，数学渗透到几乎每个学科领域和人们
13、日常生活的每个角落.人们越来越认识到高科技术本质上是数学技术，数学已经从幕后走到前台，在某些方面直接为社会创造价值4.1959 年，我国山东把欧拉的“一笔画”方法运用到“最短邮递线路问题”中，发明了一种求最短邮递线路的数学方法奇偶点图上作业法，用这个方法改善了投递制度后，邮递的效率大大提高.2正是由于数学模型建构的创造性、过程的艰巨性、思维的挑战性，才彰显出数学独特的魅力和其他学科无法替代的教育价值.数学抽象分析方式和思维特点，在成形成人的理性思维和理性精神中发挥着较为突出的作用.它可以培养人们独立思考，不迷信权威的理性品格，它具有很强的现实性，客观8性，不搀杂个人感情.因而能培养人尊重事实，
14、不感情用事的理性精神，它具有高度的精确性，帮助人进行思辨分析，养成不混淆的理性态度.数学抽象分析的过程，要求人们感受、体验、思考，用心去分析，去创造，通过自已的思考去建立对问题的理解，真实地经历“数学化”的过程， “再创造”的过程.在整个观察、实验、比较、分析、抽象、概括、推理，交流等活动中，在对客观事物中所的数学模式进行思考并作出判断的同时，提高了数学思维能力.数学抽象是从貌似不同的同类事物中抽出共同的东西，舍弃了事物的外本质特征，事物的本质.如“七桥问题”研究就舍弃了图形的距离与角度、面积等量性质，而保留了问题中反应本质的“连通性”.数学中的抽象化也是步形成的,数学抽象往往是理想化抽象,如
15、“点”没有大小,“线”没有粗细， “面”没有厚薄，这些“东西”谁也没有摸过，但谁也没有怀疑过.“没有抽象就没有数学”，抽象就是数学的本质特征.42 数学抽象概念教学应注意的几个问题抽象概念的学习要从典型的真实事物引发.任何概念的建立，都要有“生长点”，即背景知识，背景越清淅，概念越牢固.学生头脑中概念的建立好比“盖房子”，概念背景知识就是“地基”.如果只是从概念到概念，那就相当于“空中楼阁”.学生在数学学习过程中出现的绝大多数问题都可以归结为概念问题.抽象概念的教学要重视其内在联系，德国数学家希尔伯特（D.Hilbert.1862-1943）说过：一个9新的问题，特别是当它来源于外部经验世界时
16、，很像一株幼嫩的新枝，只要我们小心地、按照园艺学规则将它移植到已有数学成就粗实的老干上去，就会茁壮成长、开花结果.5由于数学抽象概念之间的相互联系，必然导致数学中不同分支和不同领域的相互结合与渗透，这正是数学理论的统一性（如数系的扩充、数形的结合等）.讲授抽象概念要充分考虑学生的认知水平，不能超越学生抽象思维的接受能力.让学生用自己的语言“转述”概念是检验学生对概念理解与否的有效方法.参考文献1、魏良亚.谈数学抽象分析法.数学通讯.1998，112、姜伯驹.一笔画和邮电线路问题.北京：人民教育出版社.19643、郑疏信.数学教育哲学.成都：四川教育出版社.19954、数学课程标准研制组编写.普通高中数学课程标准（实验）解读. 南京：江苏教育出版社，20045、C.瑞德（Reid）.希尔伯特.上海：上海科技出版社，1982
