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1、1利用四利用四“值值”求解变力做功求解变力做功南京市中华中学（210006） 王高功的计算公式只适用于恒力做功，而我们常常遇到的是变力做功的问cosFSW 题。笔者将变力做功问题进行适当的转化，成为变力的恒定值、平均值、有效值做功以及 通过量度值求功的问题。 一、恒定值一、恒定值求变力做功通常是采用微元法，即：将运动过程无限分小，每一小段就可看成是恒力 做功，然后把各小段恒力做的功求出来，再求出代数和，即为变力所做的功。实质就是将 变力转化为恒力。 例 1 将质量为 m 的物体由离地心 2R 处移到地面，R 为地球半径，已知地球质量为 M，万有引力恒量为 G，求在此过程中万有引力对物体做的功。
2、 解析 此过程中万有引力大小不断改变，是变力做功，因此我们把此过程分成无限多 个小段，如图 1 所示，各分点离地心的距离分别为 r1、r2、rn等。则在第 k 到第 k+1 个 分点间万有引力对物体做的功为 kkkk kkkk kkrrGMmrrrrMmGrrrMmGW1111 112整个过程中万有引力做的功为图 1 若某一变力做的功和某一恒力做的功相等，则可以通过计算该恒力做的功，使问题变 得简单易解。 例 2 人在 A 点拉着绳通过光滑的定滑轮，吊起质量 m50kg 的物体，如图 2 所示，开始绳与水平方向的夹角为，当人匀速地提起物体由 A 点沿水平方向运动而到达 B 点，此时绳与水平方向
3、成角，求人对绳的拉力所做的功。 解析：人对绳的拉力大小虽然始终等于物体的重力，但方向却时 刻在变化，无法利用恒力做功公式直接求出人对绳的拉力所做的功， 若转换研究对象就不难发现，人对绳的拉力所做的功与绳对物体的拉 力所做的功相同，而绳对物体的拉力是恒力，故设滑轮离地面的高度 为 h，则图 2(cot30cot60 )hs 人由 A 走到 B 的过程中，物体 G 上升的高度等于滑轮右侧的绳子增加的长度，即 人对绳子做的功为，代入数据可得：W732J WGh 二、平均值二、平均值 如果做功的力是变力，其方向不变，而大小随位移线性变化，则可用力的平均值等效代入功的公式，即用 W=scos求解.F12
4、213211111112nnnWWWWGMmrrrrrrMmGRLL2例 3 用铁锤将一铁钉击入木块，设木块对铁钉的阻力与铁钉进入 木块内的深度成正比。在铁锤击第一次时，能把铁钉击入木块内 1 cm.，问击第二次时，能击入多少深度？（设铁锤每次打击做的功相等）解析：铁锤每次做功都用来克服铁钉阻力做功，但阻力不是恒力， 其大小与深度成正比， F=-f=kx,可用平均阻力来代替。如图 3，第一次击入深度为 x1,平均阻力=kx1,铁锤做功为 图 31F21W1=x1=kx12. 1F21第二次击入深度为 x1到 x2,平均阻力=k（x2+x1）,位移为 x2-x1,铁锤做功为2F21W2=（x2-
5、x1）= k（x22-x12）. 2F21两次做功相等：W1=W2. 解后有：x2=x1=1.41 cm,2x=x2-x1=0.41 cm.三、量度值三、量度值 功是能量转化的量度。由此，对于大小、方向随时间变化的变力 F 所做的功，可以通 过对物理过程的分析，由其做功的结果动能的变化量求出，即：W=Ek。也可根据功 能原理 W=E,从能量转化多少的角度来求解. 例 4 如图 4 所示，在水平放置的光滑板中心开一个小孔 O，穿过一细绳，绳的一端 系住一个小球，另一端用力 F 拉着使小球在平板上做半径为 r 的匀速圆周运动，在运动过 程中，逐渐增大拉力，当拉力增大为 8F 时，球的运动半径减为
6、r/2， 求在此过程中拉力所做的功。 解析：由于小球运动过程中作用在绳上的拉力是逐渐增大，所以 是一个变力做功问题，这里利用动能定理求解更简单。 由题设条件，绳的拉力提供小球做匀速圆周运动所需要的向心力， 有， 图 4 2vFmr211 22kEmvFr2 18/2vFmr2 11122kEmvFr根据动能定理，拉力所做的功13 2kkWEEFr例 5 （2001 年全国高考题）一个圆柱形的竖直的井里存有一定量的水，井的侧面和底 部是密闭的.在井中固定插着一根两端开口的薄壁圆管，管和井共轴，管下端未触及井底.在 圆管内有一不漏气的活塞，它可沿圆管上下滑动.开始时，管内外水面相齐，且活塞恰好接
7、触水面，如图 5 所示.现用卷扬机通过绳子对活塞施加一个向上的力 F，使活塞缓慢向上移 动.已知管筒半径0.100 m，井的半径 R2，水的密度1.00103kg/m3，大气压 p01.00105 Pa.求活塞上升 H9.00 m 的过程中拉力 F 所做的功.（井和管在水面以上及 水面以下的部分都足够长。不计活塞质量，不计摩擦，重力加速度 g 取 10 m/s2） 解析：从开始提升至管内外水面高度差为 h0=10m 这一过程中拉力逐渐变大，是变力， 要用功能关系求解。以后活塞与水面之间出现真空，拉力 F=p0r2为恒力。可用功的公式 求解。3大气压 p0能够支持的水柱高mgph100 0图 5
8、 图 6 设管内水柱上升 h1时，管外水柱下降 h2,见图 6。因为总体积不变，即 222 12hrRhr解得 3112hh当 h1+h2=h0时，管内液面不再随活塞上升（活塞下出现真空）此时mhh5 . 74301H=9mh1,故活塞下有 9m-7.5m=1.5m 长的真空区 F 做的功一部分转化为水的重力势能，即224 1031.18 108pWEr ghJ 一部分克服大气压力做功JhHprhHFW3 102 121071. 4)()(故拉力 F 所做总功JWWW4 211065. 1四、有效值四、有效值 在交变电流中，电流是随时间按正弦规律变化的，我们在求交变电流做功时应用了等 效的方法
9、，转化为用电流的有效值来求电功。我们把这种“有效值”的思想与方法迁移到 变力做功求解上来，往往事半功倍。 例 6 如图 7 所示，一个被 x 轴与曲线方程 y=0.2 sinl0x3(m)所围的空间中存在着匀强磁场磁场方向垂直纸面 向里，磁感应强度 B=0.2 T正方形金属线框的边长是 0.40 m，电 阻是 0.1，它的一条边与 x 轴重合在拉力 F 的作用下，线框以 10.0 ms 的速度水平向右匀速运动试求： (1) 拉力 F 的最大功率是多少? (2) 拉力 F 要做多少功才能把线框拉过磁场区？ 图 7 解析：拉力 F 的最大功率可以用瞬时功率公式 p=Fv，v 一定，在拉力最大时，有最大 功率。而拉力是按正弦规律变化的变力，我们可以借助有效值的思想来求解拉力做的功。 （1）因为线框水平向右匀速运动，所以 F=F安=BIy=B2y2v/R ym=0.2m22220.20.2100.160.1m mmB y vPF vWWR4（2）任一时刻拉力的大小 222 4yRvyBF而 y=0.2 sinl0x3 是按正弦规律变化的，显然 F 是一个变力，直接用功的公式很难 求解，借助有效值的办法求出正方形的一边通过磁场拉力做的功为22 20.24440.30.02422myWY xxJJ因为要把整个线框拉过磁场区，所以拉力做的功为：W总 = 2W=0.048J
