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1、cd63c30edabba88d06464813cefe86e5.pdf1【title】 Act3 Cramers Rule【Content Arrangement】: 1）Cramers Rule 2）Some methods to compute determinant Act3-1 Some methods to compute the determinant（行列式的特殊解法）【Content Arrangement】: 1、化为三角形 2、降阶法 3、 Vandermonde 4、递推法 *5、拆项法 *6、析因子法 *7、拉普拉斯定理的特例1 化为三角形（加边法）例 1：2、降阶法
2、 例： 解 ： cd63c30edabba88d06464813cefe86e5.pdf2请计算当 a=1,b=2,c=3,d=0 时，D 的值？(不要套公式) 3Vandermonde 例例: Vandermonde 行列式证明证明 用数学归纳法。当 n=2 时， 成立。 假设该结论对 n-1 阶成立，现证明 n 阶也成立。 在 中，第 n 行减去 n-1 行的 倍，n-1 行减去 n-2 行的倍，依次类推，得 4。递推法： cd63c30edabba88d06464813cefe86e5.pdf3例：解：按第一列展开，得： 而： 。 故 5、拆项法：例：计算行列式解：6、析因子法：例：解：
3、很明显， =1，2，3， 都使得 =0,而是的次多项式，首项系数为 1。 且 , , 为互质多项式，故 , , |7拉普拉斯定理的两个特例 cd63c30edabba88d06464813cefe86e5.pdf4Act3-2 Cramers RuleNow we will discuss the system of n linear equations in n unknowns.Theorem1: The system of linear equations（1）The determinantis called the coefficient determinant of the syst
4、em.If the coefficient determinant D of the system is nonzero, then the system (1) has precisely one solution, given by the formulas.（2）whereis the determinant obtained from D by the jth column by the column with the elements b1,.,bn.Proof： 首先证明（2）是方程组的解。为此把 （i=1，2，n）代入方程组的 第 k 个方程左端得， cd63c30edabba8
5、8d06464813cefe86e5.pdf5由行列式性质 7、8 有， 下证解的唯一性： 设有另解 , 只须证 同理可得，证毕。本定理适用条件：1、n 个未知数，n 个方程得方程组；2、系数行列式 D 不为零；3、若 D=0，方程组可能无解或有无穷解。Definition： If b1=0,.,bn=0, we call the system homogeneous. cd63c30edabba88d06464813cefe86e5.pdf6trivial solution： （ ） Corollary1: A homogeneous system of n linear equations
6、 in n unknowns with nonvanishing determinant has only the trivial solution. Corollary2: If a homogeneous system of n linear equations in n unknowns has nontrivial solution, then D= 0.Example1：Solve the following system of linear equations . Solve:系数行列式为：解的分子行列式为： cd63c30edabba88d06464813cefe86e5.pdf7所以解为： Example2：Solve the following system Solve: 系数行列式为：所以方程组只有零解，即 x=0,y=0,z=0 【随堂练习】1.方程组 有非零解， 。Answer: 2.设多项式 ，证明：若有 个互异零点，则恒等 于零。Proof:设 的 个互异的零点为 ，则有 ，即 这可视为以 为未知量的 齐次线性方程组，其系数行列式为 n+1 阶范德蒙行列式的转置，故于是由 Cramer 法则上述方程组只有零解，即 也即.【Homework】1-2 8（1）（3），9（2），10 1-3 1
