斐波那挈数列通项公式的推导

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1、斐波那挈数列通项公式的推导斐波那挈数列通项公式的推导 斐波那挈数列：1，1，2，3，5，8，13，21 如果设 F(n)为该数列的第 n 项(nN+)。那么这句话可以写成如下形式： F(1)=F(2)=1,F(n)=F(n-1)+F(n-2) (n3) 显然这是一个线性递推数列。通项公式的推导方法一：利用特征方程 线性递推数列的特征方程为： X2=X+1 解得 X1=(1+5)/2, X2=(1-5)/2. 则 F(n)=C1*X1n + C2*X2nF(1)=F(2)=1C1*X1 + C2*X2C1*X12 + C2*X22 解得 C1=1/5，C2=-1/5F(n)=(1/5)*(1+5

2、)/2n - (1-5)/2n【5 表示根号 5】通项公式的推导方法二：普通方法 设常数 r,s 使得 F(n)-r*F(n-1)=s*F(n-1)-r*F(n-2) 则 r+s=1, -rs=1n3 时，有 F(n)-r*F(n-1)=s*F(n-1)-r*F(n-2) F(n-1)-r*F(n-2)=s*F(n-2)-r*F(n-3) F(n-2)-r*F(n-3)=s*F(n-3)-r*F(n-4) F(3)-r*F(2)=s*F(2)-r*F(1)将以上 n-2 个式子相乘，得： F(n)-r*F(n-1)=s(n-2)*F(2)-r*F(1)s=1-r，F(1)=F(2)=1上式可化

3、简得： F(n)=s(n-1)+r*F(n-1) 那么： F(n)=s(n-1)+r*F(n-1) = s(n-1) + r*s(n-2) + r2*F(n-2) = s(n-1) + r*s(n-2) + r2*s(n-3) + r3*F(n-3) = s(n-1) + r*s(n-2) + r2*s(n-3) + r(n-2)*s + r(n-1)*F(1) = s(n-1) + r*s(n-2) + r2*s(n-3) + r(n-2)*s + r(n-1) （这是一个以 s(n-1)为首项、以 r(n-1)为末项、r/s 为公差的等比数列的各 项的和） =s(n-1)-r(n-1)*r/s/(1-r/s) =(sn - rn)/(s-r)r+s=1, -rs=1 的一解为 s=(1+5)/2, r=(1-5)/2 则 F(n)=(1/5)*(1+5)/2n - (1-5)/2n