两角差的余弦公式教案

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1、两角差的余弦公式教案 共 7 页 第 1 页两角差的余弦公式教案两角差的余弦公式教案海南省 三亚市第一中学 数学组 陈 艳一一 教材分析和目标：教材分析和目标：本节课选自人教版.必修四.第三章第一节,是学习了第一章三角函数和第二章平面向量后的内容,其的中心任务是通过以知的向量和三角恒等变换知识,探索建立两角差的余弦公式，通过简单运用，使学生初步理解公式的结构.功能及其运用，同时本节内容也是第三章其他十个公式的推导基础。1. 知识与技能(1)掌握两角差的余弦公式,并能用之解决简单的问题。(2)通过对公式的推导,对学生渗透探究思想、类比思想以及分类讨论思想。2. 过程与方法目标：通过对公式的推导提

2、高学生研究问题、分析问题、解决问题能力；体会公式探求中从特殊到一般的数学思想，同时渗透如上所说的多种数学思想。 3. 情感与态度目标：通过公式的推导与简单应用，激发学生求知欲，鼓励学生大胆尝试，敢于探索、创新的学习品质。二教学重点、难点：二教学重点、难点：重点：通过探索得到两角差的余弦公式，公式的灵活应用。难点：两角差的余弦公式探索与证明。教法：问题诱思法，探究法，演练结合法。学法：自主探究法三三 教学流程：教学流程：一 用熟 悉的 知识 引出 课题二 明确 探索 的目 标和 途径三 组织 学生 自主 探索 证明四通过例题练习加强对公式的理解六布置 作业五小结两角差的余弦公式教案 共 7 页

3、第 2 页四四 教具教具:多媒体多媒体(幻灯片加几何画板课件演示幻灯片加几何画板课件演示)五五 教学情景设计教学情景设计:1.1.我们先看两个问题：我们先看两个问题：（1） cos( )? （2） cos( 2 )? 大家根据诱导公式很快得出了答案，大家接着思考一个问题，当特殊角 和 2 被一般角 取代，（3） cos( )? 2.2.大家猜想了多种可能，其中有同学猜想大家猜想了多种可能，其中有同学猜想cos()coscos两角差的余弦公式教案 共 7 页 第 3 页cos()sinsincos()sincos cos()cossin那么这些结论是否成立？3.3.我们一起来用计算器验证。我们一

4、起来用计算器验证。( (几何画板课件几何画板课件) ) 在这里我们做与单位圆相交的两个角 ，现在我们来一起模拟计算下大家猜想的几组结论 。首先任意取一组 ， 角，模拟计算出 cos() coscossin- sin cossin 由结果推翻假设（反证法） ， 那么 cos()到底等于什么呢？ 现在我们来借助计算机的强大计算功能 ，由cos()的结果模拟可能的答案。4.4.计算机模拟结论计算机模拟结论cos(cos()coscoscoscos + sinsinsinsin（黑板板书） 。变换不同的 ， 角度，结论仍保持不变。 同学们观察分析该结论的构成，右边与向量夹角的坐标表示一致.5 5证明过

5、程如下：证明过程如下：假设与的夹角为 ，（cos，sin） ，（cos，sin）OAuu u r OBuuu r OAuu u r OBuuu r由向量数量积的概念，有|coscosOAuu u r OBuuu r OAuu u r OBuuu r由向量数量积的坐标表示有coscos + sinsinOAuu u r OBuuu r于是有 coscoscos + sinsin分类讨论如下：（1） 在0，时，（2） 在，2时两向量夹角 2-（） 此时 cos2-（）cos（） （3） 在全体实数范围都可以由诱导公式转换到0，2综合三种情况，cos()coscos + sinsin。得证经过大家的

6、猜想，计算，证明，我们得出两角差的余弦公式，有些同学开始产生疑问，我们最开始的两个诱导公式是否出现了错误，都是两角差的余弦，结论似乎不一致，现在我们一起来探讨，揭开谜底。两角差的余弦公式教案 共 7 页 第 4 页6 6例一例一: : 用两角差的余弦公式证明问题（1）cos ()cos （2）cos (2)cos 证明（1） cos() coscossinsin 1cos +0sincos左边=右边 所以 cos()cos 得证证明（2） cos(2) cos2cos + sin 2sin1cos + 0sincos左边=右边 所以 cos(2)cos 得证前面我们都是用抽象的角度,现用具体角

7、度.7 7例二例二: : 用两角差余弦公式求 cos15.解法一:cos15cos(4530)cos45cos30+sin45sin302321 222262 4解法二: cos15= cos(6045)= cos60cos45sin60sin4562 4（分成 17-2是否可行?）8 8练习：练习：证明: cos()= coscos sinsin思考 : 能否参考两角差的余弦公式进行推导? 我们的新课改提倡“减负” ，从数学的角度，减负就是-“加正” ，所以 =- (- ）证明: cos ()= cos (- ）两角差的余弦公式教案 共 7 页 第 5 页=coscos( -) +sin s

8、in(-)= coscossinsin cos()=coscossinsin9 9对比两角和与差的余弦公式对比两角和与差的余弦公式: :cos()=coscos+sinsincos()=coscossinsin余 余 异号 正 正1010化简求值：化简求值：（1） cos105cos15sin105sin15=cos90=0（2）cos(+20)cos(40)sin(+20)sin(40)=cos60=1 2（3）cos35cos10sin35sin10=cos45= 2 21111回顾反思：回顾反思： （1）提出问题：由两个熟悉的诱导公式入手，从特殊到一般，提出问题。（2）探究问题 假设猜想

9、反证否定计算机模拟猜想证明肯定结论灵活应用公式对照记忆。1212下节课需要解决的内容，通过已经证明的两角和余弦的思路，思考两角和差的正弦。1313作业布置：作业布置：课本 131 页 第一题 和 第五题。14.14.板书设计板书设计两角差的余弦公式教案 共 7 页 第 6 页模拟结论模拟结论cos(cos()coscos+coscos+ sinsinsinsin证明过程如下：证明过程如下：假设与的夹角为 ，OAuu u rOBuuu r（cos，sin） ，OAuu u r（cos，sin）OBuuu r由向量数量积的概念，有|cosOAuu u rOBuuu rOAuu u rOBuuu r

10、cos由向量数量积的坐标表示有OAuu u rcoscos + sinsinOBuuu r于是有 coscoscos +sinsin分类讨论(1)(2)(3)例一例一: : 用两角差的余弦公式证明问题（1）cos ()cos （2）cos (2)cos 证明（1） cos() coscossinsin 1cos +0sincos左边=右边 所以 cos()cos 得证证明（2） cos(2) cos2cos + sin 2sin1cos + 0sincos左边=右边 所以 cos(2)cos 得证例 2 用两角差余弦公式求 cos15解法一：cos15= cos(45 30)=cos45cos

11、30+sin45sin30解法二： cos15 =cos(60 45)= cos60cos45s sin60sin45证明:cos()=coscossinsin 思考 : 能否参考两角差的余弦公式进行推导?提示： cos ( )= cos (- ）=cos cos( -) +sisin(-)= coscos sin sin 对比:两角和与差的余弦公式:cos()=coscos+sin sincos()=coscossin sin 余 余 异号 正 正化简求值：1）cos105 cos15 sin105 sin15（2）cos(+20)cos(40)sin(+20)sin(40)回顾反思：作业：

12、课本 131 页 第一题 和 第五题两角差的余弦公式两角差的余弦公式教案 共 7 页 第 7 页教学设计附表教学设计附表:问问 题题设计问题设计问题师生活动师生活动备备 注注（1）cos() =?（2）cos(2)=?简单问题入手，激发 学生的学习兴趣引导学生分析结果， 为接下来的内容做准 备。 和 2 都是特殊角，当 特殊角被一般角取代呢？学生自主探究， 得出多种结果计算机模拟演示结果， 否定假设cos()=?本节课的主题借用计算机的运算功能帮我们模拟出可能 的结果再次猜想结果cos()= coscos+sinsin分析结论的结构，思考如何 证明结论怎样联系向量数量 积去探索公式（1）加强新

13、旧知识 的联系 （2）使学生从直观 角度加强对差角 公式的结构认识让学生自主探索向量 的证明过程； 结合几何画板的图形 展示 与向量夹 角的联系与区别动画课件逐步展示： 向量数量积证明 诱导公式进行角度的余弦 变换为什么同样是两角差的余弦， 问题（1） 、 （2）和结论形式 不一致？ 是诱导公式出现了错误吗？ 例一证明让学生带着好奇探索； 激发学生的求知欲用差角余弦公式证 cos()=-coscos(2)=cos得出结论，并不是诱导公 式错误，而是因为特殊角 度起到了化简的作用,诱 导公式本质是特殊的差角 余弦公式.例二（1）理解公式的基 础练习 （2）关注角度的拆 分和拆分的多样 性（1）求解过程可由学 生独立完成 （2）学生得到三角变 换的一般认识教师做适当点评练习：证明 cos()=coscossinsin用已有知识 解决未知问题（ ） 学生在老师引导下完 成引导学生的 发散思维如何记忆 两角和差的余弦公式帮助学生 对公式的理解记忆学生自主探索 老师适当引导两角和差余弦公式总结： 余余 异号 正正课堂练习结合公式口诀 巧用公式学生结合口诀 自主完成教师引导 规范格式回顾反思，小结作业布置：课本 131 页 第一题 和 第五题