旋转变换问题

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1、- 1 -旋转变换问题旋转变换问题 1 11.平面内，如图，在ABCD 中，AB=10，AD=15，tanA=43，点 P 为 AD 边上任意一点，连接 PB，将 PB 绕点 P 逆时针旋转 900得到线段 PQ当DPQ=100时，求APB 的大小；当 tanABP : tanA =3:2 时，求点 Q 与 点 B 间的距离（结果保留根号） ；若点 Q 恰好落在ABCD 的边所在的直线上，直接写出 BP 旋转到 PQ 所扫过 的面积（结果保留 ）2.已知直线 MN 是线段 BC 的垂直平分线，垂足为 O，点 P 为射线 OM 上的一点，连接 BP、PC将线段 PB 绕点 P 逆时针旋转，得到线

2、段 PQ（PQ 与 PC 不重合） ，旋转角为 （0180）直线 CQ 交 MN 与点 D 连接 ED （1）如图 1，当 =30，且点 P 与点 O 重合时，CDM 的度数是 ；（2）如图 2，当 =120，且 点 P 与点 O 不重合时，CDM 的度数是 ；（3）点 P 在射线 OM 上运动时，CDM 的度数是 （用含 的代数式表示）3.在ABCD 中，ABC=60，AB=4，BC=8，将ABCD 绕 AD 边上任意一点 P 逆时针旋转（点 P 不与 A、D 重合） ， 得到ABCD，且点 C落在 CD（或其延长线上） ，如图所示 （1）如图 1，当旋转角为 30时，求 PD 的长 （2）

3、当旋转角度数为 n（0n120）时，PD= （用含 n 的式子表示）- 2 -4.如图 1，已知ABC=90，ABE 是等边三角形，点 P 为射线 BC 上任意一点（点 P 与点 B 不重合） ，连接 AP，将线段 AP 绕点 A 逆时针旋转 60得到线段 AQ，连接 QE 并延长交射线 BC 于点 F （1）如图 2，当 BP=BA 时， EBF= ，猜想QFC= ；（2）如图 1，当点 P 为射线 BC 上任意一点时，猜想QFC 的 度数，并加以证明；（3）已知线段 AB=2，设 BP=x，点 Q 到射线 BC 的距离为 y，求 y 关于 x 的函数关系式5.如图，在ABCD 中，过点 C

4、 作 CECD 交 AD 于点 E，将线段 EC 绕点 E 逆时针旋转 90得到线段 EF，点 P 为 直线 CD 上一点（不与点 C 重合） （1）在图 1 中画图探究：当点 P 在 CD 延长线上时，连结 EP 并把 EP 绕点 E 逆 时针旋转 90得到线段 EQ作直线 QF 交直线 CD 于 H，求证：QFCD （2）探究：结合（1）中的画图步骤， 分析线段 QH、PH 与 CE 之间是否存在一种特定的数量关系？请在下面的空格中写出你的结论；若存在，直接填 写这个关系式当点 P 在 CD 延长线上且位于 H 点右边时， ；当点 P 在边 CD 上时， （3）若 AD=2AB=6，AE=

5、1，连接 DF，过 P、F 两点作M，使M 同时与直线 CD、DF 相切，求M 的半径是多少？6.如图 1，ABCD 为正方形，直线 MN 分别过 AD 边与 BC 边的中点，点 P 为直线 MN 上任意一点，连接 PB、PC 分别 与 AD 边交于 E、F 两点，PC 与 BD 交于点 K，连接 AK 与 PB 交于点 G 探索发现 当点 P 落在 AD 边上时，如图 2，试探究 PB 与 AK 的位置关系以及 PB、PK、AK 三者的数量关系 （直接写出无需证明） ； 延伸拓展 当点 P 落在正方形外，如图 1，以上两个结论是否仍然成立？如果成立请给出证明，如果不成立 请说明你的理由； 应

6、用推广 如图 3，在等腰 RtABD 中，其中BAD=90，腰长为 3，M、N 分别为 AD 边与 BD 边的中点，K 为 线段 DN 中点，F 为 AD 边上靠近于 D 的三等分点连接 KF 并延长与直线 MN 交于点 P，连接 PB 分别与 AD、AK 交 于点 E、G试求四边形 EFKG 的周长及面积- 3 -旋转变换问题旋转变换问题 1 1 答案答案 1.解：（1）如图 1 中，当点 Q 在平行四边形 ABCD 内时，APB=180QPBQPD=1809010=80， 当点 Q 在平行四边形 ABCD 外时，APB=180（QPBQPD）=180（9010）=100， 综上所述，当DP

7、Q=10时，APB 的值为 80或 100（2）如图 2 中，连接 BQ，作 PEAB 于 EtanABP：tanA=3：2，tanA=，tanABP=2，在 RtAPE 中，tanA=，设 PE=4k，则 AE=3k，在 RtPBE 中，tanABP=2，EB=2k，AB=5k=10，k=2，PE=8，EB=4，PB=4，BPQ 是等腰直角三角形，BQ=PB=4 （3）如图 3 中，当点 Q 落在直线 BC 上时，作 BEAD 于 E，PFBC 于 F则四边形 BEPF 是矩形在 RtAEB中，tanA=，AB=10，BE=8，AE=6，PF=BE=8，BPQ 是等腰直角三角形，PFBQ，P

8、F=BF=FQ=8，PB=PQ=8，PB 旋转到 PQ 所扫过的面积=32如图 4 中，当点 Q 落在 CD 上时，作 BEAD 于 E，QFAD 交 AD 的延长线于 F设 PE=x易证PBEQPF，PE=QF=x，EB=PF=8，DF=AE+PE+PFAD=x1，CDAB，FDQ=A，tanFDQ=tanA=，=，x=4，PE=4，=4，在 RtPEB 中，PB=，=4，PB 旋转到 PQ 所扫过的面积=20 如图 5 中，当点 Q 落在 AD 上时，易知 PB=PQ=8，PB 旋转到 PQ 所扫过的面积=16，综上所述，PB 旋转到 PQ 所扫过的面积为 32 或 20 或 162.解：

9、（1）直线 MN 是线段 BC 的垂直平分线，BO=CO，COD=90段 PB 绕点 P 逆时针旋转，得到线段 PQPB=PC=PQQ=CQ+C=BPQ=30，C=15，C+CDM=90，CDM=75故答案 为：75 （2）如图 2，直线 MN 是线段 BC 的垂直平分线，PB=PC，BD=CD段 PB 绕点 P 逆时针旋转，得到线段PQPB=PC=PQPQC=PCQ在PBD 和PCD 中，PBDPCD（SSS） ，PBD=PCD，PDB=PDC，PBD=PCD=PQCPQC+PQD=180， PQD+PBD=180PBD+BDQ+DQP+BPQ=360，BPQ+BDC=180BPQ=120，

10、 BDC=60PDB=PDC，PDC=30即CDM=30故答案为：30； （3）直线 MN 是线段 BC 的垂直平分线，PB=PC，BD=CD段 PB 绕点 P 逆时针旋转，得到线段PQPB=PC=PQPQC=PCQ在PBD 和PCD 中，PBDPCD（SSS） ，PBD=PCD，PDB=PDC，PBD=PCD=PQCPQC+PQD=180， PQD+PBD=180PBD+BDQ+DQP+BPQ=360，BPQ+BDC=180BPQ=a，BDC=180aPDB=PDC，PDC=90a即CDM=90a故答案为：90a- 4 -3.解：（1）如图 1 中，连接 PC、PC作 PNCD 于 N，CM

11、AD 于 M，PC=PC，CPC=30， PCC=PCC=75，PCC=PDC+DPC，B=D=60，DPC=15，CPM=45， CMP=90，CPM=PCM=45，PM=CM，在 RTCMD 中，CMD=90，CD=4，D=60，DM=CD=2，CM=PM=2，PD=2+2，（2）如图 1 中，当 C在 CD 上时，由（1）可知，CPC=n，则PCC=90n，DPC=90n60=30n，CPM=30n+n=30+n，PD=PM+DM=+2如图 2 中，当点C在线段 CD 的延长线时，连接 PC、PC作 PNCD 于 N，CMAD 于 M，同理可得CPM=30+n，0n120，CPM90，P

12、D=PM+DM=+2，综上所述PD=+2故答案为+24.证明：（1）ABC=90，BAE=60，EBF=30；则猜想：QFC=60； （2）QFC=60，BAP=BAE+EAP=60+EAP，EAQ=QAP+EAP=60+EAP，BAP=EAQ 在ABP 和AEQ 中，ABPAEQ （SAS） AEQ=ABP=90 BEF=180AEQAEB=1809060=30，QFC=EBF+BEF=30+30=60； （3）在图 1 中，过点 F 作 FGBE 于点 GABE 是等边三角形，BE=AB=2由（1）得EBF=30又QFC=60EBF=BEF，BF=EF，FGBEBG=，BF=2EF=2在

13、RtABP和 RtAEQ 中，ABPAEQ设 QE=BP=x，则 QF=QE+EF=x+2过点 Q 作 QHBC，垂足为 H在RtQHF 中，y=QH=sin60QF=（x+2） （x0）即 y 关于 x 的函数关系式是：y=x+- 5 -5. 解：（1）由旋转的性质得，PE=QE，EF=ED，QEF+FEP=PEQ=90，PEC+FEP=CEF=90，PEC=QEF，在PEC 和QEF 中，PECQEF（SAS） ，QFE=PCE=90，FEC+PCE=90+90=180，EFCD，QHC=QFE=90，QFCD； （2）PECQEF，QF=PC，PCE=CEF=QHC=90，CE=EF，四

14、边形 EFHC 是正方形， CH=FH=CE，如图 1，当点 P 在 CD 延长线上且位于 H 点右边时， QH=QF+FH=PC+FH=PH+CH+FH=PH+2CE，QHPH=2CE；如图 2，当点 P 在边 CD 上时， QH=QF+FH=PC+FH=CHPH+FH=2CEPH，QH+PH=2CE； （3）AD=6，AE=1，DE=5，在 RtCDE 中，CE=4，DH=CHCD=CECD=43=1，在RtDFH 中，FD=，如图，过点 M 作 MNFH 于 N，则四边形 PMNH 是矩形，M 同时与直线 CD、DF 相切，DP=FD=，设M 的半径是 r， 点 P 在点 D 的右边时，在 RtMNF 中，FN=4r，MN=1，由勾股定理得，FN2+MN2=MF2，即（4r）2+（1）2=r2，解得 r=，点 P 在点 D 的左边时，在 RtMNF 中，FN=r4，MN=+1，由