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1、20092009 年清华大学自主招生数学(理科)试题年清华大学自主招生数学(理科)试题1设的整数部分为,小数部分为。51 51 ab(1)求;(2)求;(3)求。, a b22 2abab2limnnbbb L L2 (1)为实数,且,求证:对于任意正整数,。, x y1xyn22 211 2nn nxy(2)为正实数,求证:,其中为的一种排列。, ,a b c3abc xyz, ,x y z, ,a b c3请写出所有三个数均为质数,且公差为 8 的等差数列,并证明你的结论。4已知椭圆,过椭圆左顶点的直线与椭圆交于,与轴交22221xy ab,0AaLQy于,过原点与平行的直线与椭圆交于,求
2、证:,成等比数列。RLPAQ2OPAR5已知,设,求。sincos1ttcossinstit2( )1nf ssss L L6随机挑选一个三位数I(1)求含有因子 5 的概率;(2)求中恰有两个数码相等的概率。II7四面体中,ABCDABCDACBDADBC(1)求证:四面体每个面的三角形为锐角三角形;(2)设三个面与底面所成的角分别为,求证:BCD, 。coscoscos18证明当均为奇数时,曲线与轴的交点横坐标为无理数。, p q222yxpxqx9设均为整数,性质为: 对中任意个数,存1221,na aaL LP1221,na aaL L2n在一种分法可将其分为两组,每组个数,使得两组所有元素的和相等。求证:n全部相等当且仅当具有性质。1221,na aaL L1221,na aaL LP