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1、北京市东城区普通高中示范校上学期高三年级综合能力测试北京市东城区普通高中示范校上学期高三年级综合能力测试数学试卷（文科）数学试卷（文科）本试卷分第 I 卷和第 II 卷两部分，共 150 分。考试时长 120 分钟。第 I 卷（选择题 共 40 分）一、选择题。 （本大题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项）1. 已知集合，则（ ）22|xRxA034|2xxRxB BAA. B. C. D. 1, 2(1, 22, 2), 32,2. 已知复数，若是纯虚数，则实数的值为（ ）iaz21iz21221 zzaA. B. 1C. 2D. 4
2、23. “”是“”成立的（ ）3x21cosxA. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件4. 下图是一算法的程序框图，若此程序运行结果为，则在判断框中应填入关于的判断条55sk件是（ ）A. B. C. D. 11k10k9k8k5. 已知一个棱锥的三视图如下，根据图中标出的尺寸（单位：cm） ，可得这个棱锥的侧面积是（ ）A. B. C. D. 24cm212cm2248cm232244cm6. 已知有唯一的零点，则实数的值为（ ） axxfx2|2aA. -3B. -2C. -1D. 07. 如图，直线与圆及抛物线依次交于 A、B、C、D 四点，2 x
3、y03422xyxxy82则（ ）|CDABA. 13B. 14C. 15D. 168. 已知不等式在上恒成立，则实 , 0, 32, 0, 3422xxxxxxxfxafaxf21,aa数的取值范围是（ ）aA. B. C. D. 2, 0,2, 00, 2第 II 卷（非选择题 共 110 分）二、填空题。 （本大题共 6 小题，每小题 5 分，共 30 分）9. 不等式组表示的平面区域的面积为_。 1, 1, 01xyxyx10. 设平面向量，若，则=_。2, 1ayb, 2ba |2|ba 11. 在等差数列中，则_。 na2, 341aa1374.naaa12. 直线被圆截得的弦长为
4、_。043yx4222yx13. 已知，且，则的值为_。 x02572sinx x4sin14. 已知数集具有性质 P：对任意，54321543210,aaaaaaaaaaAZji,其中，均有属于 A，若，则_。51jiijaa 605a3a三、解答题。 （本大题共 6 小题，共 80 分。解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程）15. （本小题共 13 分）设数列的前项和为，且。 nannS., 2, 112naSnn（I）求数列的通项公式； na（II）若数列满足，求数列的通项公式。 nb2,., 2, 111bnbabnnn nb16. （本小题共 13 分）在ABC 中，分别是角的对边
5、，满足，且cba,CBA,1c。0cossinsincosCBaCB（I）求 C 的大小；（II）求的最大值，并求取得最大值时角 A，B 的值。22ba 17. （本小题共 14 分）如图，将矩形 ABCD 沿对角线 BD 把ABD 折起，使 A 点移到点，且在平面 BCD 上的1A1A射影 O 恰好在 CD 上。（I）求证：BC；DA1（II）求证：平面平面；CDA1BCA1（III）若 AB=10，BC=6，求三棱锥的体积。BCDA 118. （本小题共 13 分）设，已知函数。Ra 233xaxxf（I）当时，求函数的单调区间；1a xf（II）若对任意的，有恒成立，求实数的取值范围。3
6、, 1x 0xfxfa19. （本小题共 13 分）已知椭圆的左焦点为，过点 M（-3，0）作一条斜率大于 012102:222 my mxW0,mF的直线 与 W 交于不同的两点 A、B，延长 BF 交 W 于点 C。l（I）求椭圆 W 的离心率；（II）求证：点 A 与点 C 关于轴对称。x20. （本小题共 14 分）已知定义在上的函数，1 xxxxgxxxfln, 2ln（I）求证：存在唯一的零点，且零点属于（3，4） ； xf（II）若，且对任意的1 恒成立，求的最大值。Zk 1xkxgxk参考答案：一、选择题（本大题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分）1. A2. D3.
7、A4. B5. D6. C7. B8. A二、填空题（本大题共 6 小题，每小题 5 分，共 30 分）9. 110. 511. 12. 13. 14. 30 25nn3254三、解答题（本大题共 6 小题，共 80 分）15. （共 13 分）解：（I）因为，., 2, 112naSnn则，., 3, 21211naSnn所以当时，2n1122nnnnnaaSSa整理得，12nnaa由，令，得，解得。12nnaS1n1211 aa11a所以是首项为 1，公比为 2 的等比数列，可得（6 分） na12n na（II）因为，12n na由，得，., 2, 11nbabnnn1 12 n nnb
8、b由累加得 123121.nnnbbbbbbbb，2, 122121211 nnn当时也满足，所以。 （13 分）1n121n nb16. （共 13 分）解：（I）由，得0cossinsincosCBaCB，CaAcossin又，所以1cCaAccossin由正弦定理得。CAACcossinsinsin因为，所以，从而，即。 （6 分） A00sinACCcossin4C（II）由余弦定理，得，222cos2cCabba1222abba又，所以，于是。222baab122122 ba2222ba当时，取得最大值（13 分）83 BA22ba 2217. （共 14 分）解：（I）因为在平面上
9、的射影 O 在 CD 上，1ABCD所以平面 BCD。OA1又 BC平面 BCD，所以 BC。OA1又 BCCO，CO，OOA1平面，平面，COCDA1OA1CDA1所以 BC平面。CDA1又平面，DA1CDA1所以。 （5 分）DABC1（II）因为矩形 ABCD，所以。DA1BA1由（I）知 BC。DA1又平面，BCBBABC,1BCABABCA111,平面所以。BCADA11平面又，CDADA11平面所以平面。 （10 分）CDABCA11平面（III）因为，BCADA11平面所以。CADA11因为 CD=10，所以。61DA81CA所以。 （14 分）4868621 3111BCADB
10、CDAVV18. （共 13 分）解：（I）当时，1a 233xxxf则， xxxf632由，得，或， 0 xf0x2x由，得， 0 xf20 x所以的单调递增区间为，单调递减区间为（0，2） 。 （6 分） xf , 2,0,（II）依题意，对，3, 1x0633223xaxxax这等价于，不等式对恒成立。xxx xxxxa363 36322323, 1x令， 3, 13632xxxxxh则， 0 32233643222222 xxxxxxxxh所以在区间上是减函数， xh3, 1所以的最小值为。 xh 653 h所以，即实数的取值范围为。 （13 分）65aa65,(19. （共 13 分
11、）解：（I）由题意，0210222mmmm解得。2m所以椭圆。126:22 yxW离心率。 （5 分）3662ace（II）设直线 的方程为。l3xky联立126,322yxxky得。062718312222kxkxk由直线 与椭圆 W 交于 A、B 两点，可知l，解得。0627314182222kkk322k设点 A，B 的坐标分别为（） ，11, yx22, yx则，22213118 kkxx222131627 kkxx。3,32211xkyxky因为 F（-2，0） ，设点 A 关于轴的对称点为 C，则 C（） ，x11,yx所以，。11, 2yxFC22, 2yxFB又因为122122
12、yxyx 32321221xkxxkx12522121xxxxk 123190 3112542222kk kkk，03136129012542222 kkkkk所以 B，F，C共线，从而 C 与 C重合，故点 A 与点 C 关于轴对称。 （13 分）x20. （共 14 分）解：（I）由，可得， 2lnxxxf 0111xx xxf故在上单调递增， xf, 1而， 03ln13f 04ln24f所以存在唯一的零点。 （7 分） xf430，x（II）由（I）存在唯一的零点显然满足：，且当时， xf0x02ln00xx0, 1 xx；当时，。 00xfxf,0xx 00xfxf当时，等价于。1x 1xkxgkxxxx 1ln设， 1ln xxxxxh则，故与同号， 22112lnxxfxxxxh xh xf因此当时，；当时，。0, 1 xx 0 xh,0xx 0 xh所以在上单调递减，在上单调递增， xh0, 1 x,0x故。 0 000000 0min11 11lnxxxx xxxxhxh由题意有，又，而，故的最大值是 3。 （14 分） 0minxxhkZk 4, 30xk欢迎访问“高中试卷网”http:/sj.fjjy.org
