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1、高中立体几何典型习题及解析高中立体几何典型习题及解析(二二)26. 在空间四边形 ABCD 中，E，H 分别是 AB，AD 的中点，F，G 分别是 CB，CD 的中点，若 AC + BD = a ，AC BD =b，求.22EGFH解析：解析：四边形 EFGH 是平行四边形，（4 分）=2=22EGFH22()EFFG22211()(2 )22ACBDab27. 如图，在三角形ABC 中，ACB=90，AC=b,BC=a,P 是ABC 所在平面外一 点，PBAB，M 是 PA 的中点，ABMC，求异面 直 MC 与 PB 间的距离.解析：解析：作 MN/AB 交 PB 于点 N（2 分） PB
2、AB，PBMN。（4 分）又 ABMC，MNMC（8 分）MN 即为异面直线 MC 与 PB 的公垂线段，（10 分）其长度就是 MC 与 PB 之间的距离，则得 MN=AB=1 2221.2ab28. 已知长方体 ABCDA1B1C1D1中, A1A=AB， E、F 分别是 BD1和 AD 中点.（1）求异面直线 CD1、EF 所成的角；（2）证明 EF 是异面直线 AD 和 BD1的公垂线.（1）解析：解析：在平行四边形中，E 也是的中点，（2 分）11BADC1AC1/EFC D两相交直线 D1C 与 CD1所成的角即异面直线 CD1与 EF 所成的角.（4 分）又A1A=AB，长方体的
3、侧面都是正方形1111,ABB A CDDC，D1CCD1 异面直线 CD1、EF 所成的角为 90.（7 分）ABCDEGPABCMFB（2）证：设 AB=AA1=a, D1F=EFBD1（9 分）,42 2BFADa.由平行四边形，知 E 也是的中点，且点 E 是长方体 ABCDA1B1C1D1的对称11BADC1AC中心，（12 分）EA=ED，EFAD，又 EFBD1，EF 是 异面直线 BD1与 AD 的公垂线.（14 分）29. ABC 是边长为 2 的正三角形，在ABC 所在平面外有一点 P，PB=PC=，PA=，延长 BP 至7 23 2D，使 BD=，E 是 BC 的中点，求
4、 AE 和 CD 所成7角的大小和这两条直线间的距离.解析：解析：分别连接 PE 和 CD，可证 PE/CD，（2 分）则 PEA 即是 AE 和 CD 所成角（4 分）在 RtPBE 中，PB=，BE=1，PE=。在AEP 中，AE=，=7 23 23cosAEP39344 32321 2AEP=60，即 AE 和 CD 所成角是 60（7 分）AEBC，PEBC，PE/DC，CDBC，CE 为异面直线 AE 和 CD 的公垂线段，（12 分） 它们之间的距离为 1（14 分）30. 在正方体 ABCDA1B1C1D1中，E，F，G，H，M，N 分别是正方体的棱AB，BC，的中点，试证：E，
5、F，G，H，M，N 六点共面1,A A1,CC11,C D11D A解析：解析：EN/MF，EN 与 MF 共面，（2 分）又EF/MH，EF 和 MH 共FE C BADACBD面（4 分）不共线的三点 E，F，M 确定一个平面，（6 分）平面与重合，点 H。（8 分）同理点 G（10 分）故 E，F，G，H，M，N 六点共面31.三个互不重合的平面把空间分成六个部份时，它们的交线有（ ）A1 条B2 条C3 条D1 条 或 2 条D解析：解析：分类：1）当两个平面平行，第三个平面与它们相交时，有两条交线； 2）当三个 平面交于一条直线时，有一条交线，故选 D32两两相交的四条直线确定平面的
6、个数最多的是（ ）A4 个B5 个C6 个D8 个解析：解析：C 如四棱锥的四个侧面，个。2 46C 33.在空间四边形 ABCD 的边 AB、BC、CD、DA 上分别取 E、F、G、H 四点如果 EF 与 HG 交于点 M，则（ ）AM 一定在直线 AC 上BM 一定在直线 BD 上CM 可能在 AC 上，也可能在 BD 上DM 不在 AC 上，也不在 BD 上解析：解析：平面 ABC平面 ACD=AC，先证 M平面 ABC，M平面 ACD，从而 MACA 34. 用一个平面去截正方体。其截面是一个多边形，则这个多边形的边数最多是 .解析：解析：6 条35. 已知：./,aPQbPAbaba
7、)12.(:分求证PQ本题主要考查用平面公理和推论证明共面问题的方法.解析：解析：PQa,PQ 与 a 确定一个平面.,Pa点直线pbbp,QPQa重合与又Q36. 已知ABC三边所在直线分别与平面 交于P、Q、R三点，求证： P、Q、R三点共线。 （12分）本题主要考查用平面公理和推论证明共线问题的方法解析：解析：A、B、C 是不在同一直线上的三点过 A、B、C 有一个平面又ABPAB且,Q.,lplP则设内内又在既在点 .,:三点共线同理可证RQPlRlQ37. 已知：平面,/,accAabba且平面求证：b、c 是异面直线解析：解析：反证法：若 b 与 c 不是异面直线，则 bc 或 b
8、 与 c 相交.,)2(/,/./) 1 (是异面直线矛盾这与即又则相交于若矛盾这与若cbAbbABAAbaBBcbAbabacacbQ38. 在空间四边形 ABCD 中，AD=BC=2，E、F 分别是 AB、CD 的中点，EF=，求 AD3与 BC 所成角的大小（本题考查中位线法求异面二直线所成角）解析：解析：取 BD 中点 M，连结 EM、MF，则ooQ60,12021 2311 2cos, 3, 121/, 121,/222所成角的大小为异面直线由余弦定理得中在且且BCADEMFMFEMEFMFEMEMFEFMEFBCMFBCMFADEMADEM39. 如图，在正方体 ABCDA1B1C
9、1D1中，M、N 分别为棱 AA1和 BB1的中点，求异 面直线 CM 与 D1N 所成角的正弦值.(14 分)（本题考查平移法，补形法等求异面二直线所成角）解析：解析：取 DD1中点 G，连结 BG，MG，MB，GC 得矩形 MBCG，记 MCBG=0则 BG 和 MC 所成的角为异面直线 CM 与 D1N 所成的角.954sin91cos)()23(2222BOCBOCaBCaaACMAMC设正方体的棱长为Q而 CM 与 D1N 所成角的正弦值为 95440. 如图，P 是正角形 ABC 所在平面外一点，M、N 分别是 AB 和 PC 的中点，且 PA=PB=PC=AB=a。（1）求证：M
10、N 是 AB 和 PC 的公垂线（2）求异面二直线 AB 和 PC 之间的距离解析：解析：（1）连结 AN，BN，APC 与BPC 是全等的正三角形，又 N 是 PC 的中点AN=BN又M 是 AB 的中点，MNAB同理可证 MNPC又MNAB=M，MNPC=NMN 是 AB 和 PC 的公垂线。（2）在等腰在角形 ANB 中，aABANMNaABaBNAN22)21(,2322Q即异面二直线 AB 和 PC 之间的距离为.a224141 空间有四个点，如果其中任意三个点都不在同一条直线上，那么经过其中三个点的平面 A可能有 3 个，也可能有 2 个 B可能有 4 个，也可能有 3 个C可能有
11、 3 个，也可能有 1 个 D D可能有可能有 4 4 个，也可能有个，也可能有 1 1 个个解析：解析：分类，第一类，四点共面，则有一个平面，第二类，四点不共面，因为没有任何三 点共线，则任何三点都确定一个平面，共有 4 个。.42.42. 下列命题中正确的个数是 三角形是平面图形 四边形是平面图形四边相等的四边形是平面图形 矩形一定是平面图形A1 个 B B2 2 个个 C3 个 D4 个解析：解析：命题是正确的，因为三角形的三个顶点不共线，所以这三点确定平面。命题是错误，因平面四边形中的一个顶点在平面的上、下方向稍作运动，就形成了空间 四边形。命题也是错误，它是上一个命题中比较特殊的四边
12、形。命题是正确的，因为矩形必须是平行四边形，有一组对边平行，则确定了一个平面。43.43. 如果一条直线上有一个点不在平面上，则这条直线与这个平面的公共点最多有_1 个。解析：解析：如果有两个，则直线就在平面内，那么直线上的所有点都在这个平面内，这就与已 知有一个点不在平面上矛盾，所以这条直线与这个平面的公共点最多有一个。44.44. 空间一条直线及不在这条直线上的两个点，如果连结这两点的直线与已知直线 _，则它们在同一平面内。答案：答案：相交或平行解析：解析：根据推论 2，推论 3 确定平面的条件。45.45. 三角形、四边形、正六边形、圆，其中一定是平面图形的有_3 个。解析：解析：三角形
13、的三个顶点不在一条直线上，故可确定一个平面，三角形在这个平面内；圆 上任取三点一定不在一条直线上，这三点即确定一个平面，也确定了这个圆所在的平面， 所以圆是平面图形；而正六边形内接于圆，故正六边形也是平面图形；而四边形就不一定 是平面图形了，它的四个顶点可以不在同一平面内。46.46. 三条平行直线可以确定平面_个。答案：答案：1 个或 3 个解析：解析：分类、一类三线共面，即确定一个平面，另一类三线不共面，每两条确定一个，可 确定 3 个。47.47. 画出满足下列条件的图形。(1)=1，a ，b ，ab=A(2)=a，b ，ba解析：解析：如图 1-8-甲，1-8-乙48.经过平面外两点
14、A，B 和平面垂直的平面有几个？解析：解析：一个或无数多个。当 A，B 不垂直于平面时，只有一个。当 A，B 垂直于平面时，有无数多个。 49.49. 设空间四边形 ABCD，E、F、G、H 分别是 AC、BC、DB、DA 的中点，若AB12，CD4 ，且四边形 EFGH 的面积为 12 ，求223AB 和 CD 所成的角. 解析：解析： 由三角形中位线的性质知，HGAB，HECD， EHG 就是HGFEDCBA异面直线 AB 和 CD 所成的角. EFGH 是平行四边形，HG AB6，212HE ，CD2，213 SEFGHHGHEsinEHG12 sinEHG, 12 sinEHG12.6
15、63 sinEHG,故EHG45.22 AB 和 CD 所成的角为 45注：本例两异面直线所成角在图中已给，只需指出即可。50.50. 点 A 是 BCD 所在平面外一点，AD=BC，E、F 分别是AB、CD 的中点，且 EF=AD，求异面直线 AD 和 BC 所成22的角。 （如图） 解析：解析：设 G 是 AC 中点，连接 DG、FG。因 D、F 分别是AB、CD 中点，故 EGBC 且 EG=BC，FGAD，且21FG=AD，由异面直线所成角定义可知 EG 与 FG 所成锐角21或直角为异面直线 AD、BC 所成角，即EGF 为所求。由BC=AD 知 EG=GF=AD，又 EF=AD，由余弦定理可得21cosEGF=0，即EGF=90。注：本题的平移点是 AC 中
