《15-16-1《数学分析(一)》期末考试试卷及参考答案》由会员分享,可在线阅读,更多相关《15-16-1《数学分析(一)》期末考试试卷及参考答案(4页珍藏版)》请在金锄头文库上搜索。
1、XXXX 学 院15 16 学年 第 1 学期 数学分析(一)期末考试试卷参考答案二 题号一 12345三四五六七总 分核分人分值257777788888100得分一、填空题(共一、填空题(共 5 5 个小题,每小题个小题,每小题 5 5 分,共分,共 2525 分)分)1、验证拉格朗日中值定理对函数在区间上的正确性: lnf xx 1,e(填正确或不正确) ,若正确,则 解解 因为在区间上可导(且连续) ,所以拉格朗日中 lnf xx 1,e值定理对函数在区间上是正确正确的。由中值公式得 lnf xx 1,e即故( )(1)( )(1),f effe11(1),e1.e2、函数的严格递增区间
2、为 lnyxx解解 令得故函数的严格递增区间为ln10yx 1.xelnyxx1 ,).e3、曲线在其拐点处的切线方程为 321yxx解解 因所以易判断是曲232,yx6 ,yx(0)0,y(0, (0)(0,1)y线的拐点。因故所求切线方程为(0)2,y 21.yx 4、已知,则 21()dfxxCx( )f x 解解 在两边求导得令得21()dfxxCx1()2 .fxx1, tx故即21,xt22( ),f tt22( ).f xx5、 .31dxxx21lnln12xxC解解 原式 222(1)d(1)xxxx x21dd1xxxxx2211d(1)d21xxxx21lnln12xxC
3、二、基本题(共二、基本题(共 5 5 个小题,每小题个小题,每小题 7 7 分,共分,共 3535 分)分)1() 0lim x1csc1xxe解解 原式 01 sinlimsin (1)xxxex x e 201 sinlimxxex x 0coslim2xL Hxex x0sinlim2xL Hxex1 22、求曲线的所有渐近线。2(3) 4(1)xyx解解 因为所以直线是曲线的垂直渐近线。211(3)limlim,4(1)xxxyx 1x 又因为 2(3)1limlim,4 (1)4xxyxkxx x2(3)595lim()limlim.4(1)44(1)4xxxxxxbykxxx 所以
4、直线是曲线的斜渐近线。15 44yx3、求函数在区间上的最大值和最小值。4225yxx0,2解解 令得函数在内有一个驻点3444 (1)(1)0yxxx xx(0,2)1.x 因为所以函数在上的最大值(0)5, (1)4, (2)13,yyy0,2最小值(2)13,My(1)4.my4、求不定积分3d1xx x解解 原式3(1) 1d (1)xxx23(1) d(1)1d(1)xxxx121112xxC 5、求不定积分arctan d .xx x解解 2 22 2111arctan darctan d()arctand222 1xxx xxxxxxx2 2 211(1) 1arctand221
5、xxxxx2111arctanarctan222xxxxC211(1)arctan.22xxxC三、证明题(三、证明题(8 8 分)分)证明:当时, 0x 2 ln 1.2xxx证证 令令则在上连续,在2 ( )ln 1,2xf xxx( )f x0,)内可导,且(0,)21( )10 (0),11xfxxxxx 所以在上严格单调增。于是当时,有( )f x0,)0x ( )(0)0,f xf即 2 ln 1.2xxx四、应用题(四、应用题(8 8 分)分)如图,有三个生活小区(均可看成点)分别位 于三点处, ,到线段的距离, ,A B CABACABC40AO (参考数据: ). 今计划建一
6、个生活垃圾中转站2 7ABO22tan373,为方便运输, 准备建在线段(不含端点)上. 设PPAO,试将到三个小区的距离之和表示为的函数,并2(0,)7PBOPy确定当取何值时,可使最小?y解解 tanABO20 3,BOAOQcos20 3 cos,PCBPBOtan20 3tan,POBO2()yBPAOPO2sin4020 3,cos 2(0,).7易求得 ,22sin120 3cosy 令,即,得内惟一驻点.0y 1sin22(0,)76因为该问题的最小值必存在,故当时,可使最小.6y五、计算题(五、计算题(8 8 分)分)设的一个原函数为,求.( )f xln x x(2 )dxf
7、xx解解 依题意可得 2ln1 lnln( )(),( ).xxxf xf xxCxxxd故 111(2 )dd(2 )(2 )(2 )d222xfxxxfxxfxfxx11(2 )(2 )d(2 )24xfxfxx211 ln(2 )1 ln(2 ) 2(2 )42xxxCxx1 2ln(2 ).8xCx六、综合题(本题共六、综合题(本题共 2 2 个小题,考生任选一题做,满分个小题,考生任选一题做,满分 8 8分。若两题全做,则按得分最高的计分)分。若两题全做,则按得分最高的计分)1. 讨论方程的实根个数,并指出每个根所在的326930xxx区间。 解解 令,则 32693f xxxx,
8、23129313fxxxxx令,得驻点. 0fx 1,3xx列表讨论如下:x(,1)1(1,3)3(3,) fx00 f xZ极大极小Z可见该函数在处取极大值,在处取得极小值1x 11f3x 33.f 因为所以由lim( ), xf x 110,f 330,f lim( ), xf x 零点定理(也叫方程根的存在性定理)和函数的单调性知,方程有三个实根,分别在区间内。(,1) (1,3) (3,)、2. 设且求1(ln ),1fxx(0)0,f( ).f x解解 令则由得这样ln,xt1(ln )1fxx1( ),1tfte1(1)d(1)( )ddln(1),111xxx x xxxeeef
9、 xxxxxeCeee由可得故(0)0fln2,C 2( )ln.1xf xxe七、证明题(本题共七、证明题(本题共 2 2 个小题,考生任选一题做,满分个小题,考生任选一题做,满分 8 8分。若两题全做,则按得分最高的计分)分。若两题全做,则按得分最高的计分)1. 设在上连续,在内可导,证明:至少存在一)(xf , a b( , )a b,使得( , )a b( )( )( )( ).bf baf affba 证证 令则由题设条件易知,在上连续,在( )( ),xxf x( )x , a b内可导,这样由拉格朗日中值定理得,至少存在一,使得( , )a b( , )a b ( )( )( ),ba ba 因为故上式即( )( )( ),xf xxfx( )( )( )( ).bf baf affba2. 设在上连续,在内可导,且证明:)(xf2 , 1 )2 , 1 (, 0)2() 1 ( ff至少存在一,使得)2 , 1 (. 0)( )(3ff证证 令则由题设条件易知,在上连续,在3( )( ),xx f x( )x2 , 1 内可导,且这样由罗尔日中值定理得,至少存在一)2 , 1 (1)(2)0, ,使得(1,2) ( )0, 因为故上式即又因23( )3( )( ),xx f xx fx233( )( )0,ff所以1,. 0)( )(3ff