《15-16-1《数学分析(一)》期末考试试卷及参考答案》由会员分享，可在线阅读，更多相关《15-16-1《数学分析(一)》期末考试试卷及参考答案（4页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、XXXX 学 院15 16 学年 第 1 学期 数学分析（一）期末考试试卷参考答案二 题号一 12345三四五六七总 分核分人分值257777788888100得分一、填空题（共一、填空题（共 5 5 个小题，每小题个小题，每小题 5 5 分，共分，共 2525 分）分）1、验证拉格朗日中值定理对函数在区间上的正确性： lnf xx 1,e（填正确或不正确） ，若正确，则 解解 因为在区间上可导（且连续） ，所以拉格朗日中 lnf xx 1,e值定理对函数在区间上是正确正确的。由中值公式得 lnf xx 1,e即故( )(1)( )(1),f effe11(1),e1.e2、函数的严格递增区间
2、为 lnyxx解解 令得故函数的严格递增区间为ln10yx 1.xelnyxx1 ,).e3、曲线在其拐点处的切线方程为 321yxx解解 因所以易判断是曲232,yx6 ,yx(0)0,y(0, (0)(0,1)y线的拐点。因故所求切线方程为(0)2,y 21.yx 4、已知,则 21()dfxxCx( )f x 解解 在两边求导得令得21()dfxxCx1()2 .fxx1, tx故即21,xt22( ),f tt22( ).f xx5、 .31dxxx21lnln12xxC解解 原式 222(1)d(1)xxxx x21dd1xxxxx2211d(1)d21xxxx21lnln12xxC
3、二、基本题（共二、基本题（共 5 5 个小题，每小题个小题，每小题 7 7 分，共分，共 3535 分）分）1() 0lim x1csc1xxe解解 原式 01 sinlimsin (1)xxxex x e 201 sinlimxxex x 0coslim2xL Hxex x0sinlim2xL Hxex1 22、求曲线的所有渐近线。2(3) 4(1)xyx解解 因为所以直线是曲线的垂直渐近线。211(3)limlim,4(1)xxxyx 1x 又因为 2(3)1limlim,4 (1)4xxyxkxx x2(3)595lim()limlim.4(1)44(1)4xxxxxxbykxxx 所以
4、直线是曲线的斜渐近线。15 44yx3、求函数在区间上的最大值和最小值。4225yxx0,2解解 令得函数在内有一个驻点3444 (1)(1)0yxxx xx(0,2)1.x 因为所以函数在上的最大值(0)5, (1)4, (2)13,yyy0,2最小值(2)13,My(1)4.my4、求不定积分3d1xx x解解 原式3(1) 1d (1)xxx23(1) d(1)1d(1)xxxx121112xxC 5、求不定积分arctan d .xx x解解 2 22 2111arctan darctan d()arctand222 1xxx xxxxxxx2 2 211(1) 1arctand221
5、xxxxx2111arctanarctan222xxxxC211(1)arctan.22xxxC三、证明题（三、证明题（8 8 分）分）证明：当时， 0x 2 ln 1.2xxx证证 令令则在上连续，在2 ( )ln 1,2xf xxx( )f x0,)内可导，且(0,)21( )10 (0),11xfxxxxx 所以在上严格单调增。于是当时，有( )f x0,)0x ( )(0)0,f xf即 2 ln 1.2xxx四、应用题（四、应用题（8 8 分）分）如图,有三个生活小区(均可看成点)分别位 于三点处, ,到线段的距离, ,A B CABACABC40AO (参考数据: ). 今计划建一
6、个生活垃圾中转站2 7ABO22tan373,为方便运输, 准备建在线段(不含端点)上. 设PPAO,试将到三个小区的距离之和表示为的函数,并2(0,)7PBOPy确定当取何值时,可使最小?y解解 tanABO20 3,BOAOQcos20 3 cos,PCBPBOtan20 3tan,POBO2()yBPAOPO2sin4020 3,cos 2(0,).7易求得 ,22sin120 3cosy 令,即,得内惟一驻点.0y 1sin22(0,)76因为该问题的最小值必存在，故当时，可使最小.6y五、计算题（五、计算题（8 8 分）分）设的一个原函数为,求.( )f xln x x(2 )dxf
7、xx解解 依题意可得 2ln1 lnln( )(),( ).xxxf xf xxCxxxd故 111(2 )dd(2 )(2 )(2 )d222xfxxxfxxfxfxx11(2 )(2 )d(2 )24xfxfxx211 ln(2 )1 ln(2 ) 2(2 )42xxxCxx1 2ln(2 ).8xCx六、综合题（本题共六、综合题（本题共 2 2 个小题，考生任选一题做，满分个小题，考生任选一题做，满分 8 8分。若两题全做，则按得分最高的计分）分。若两题全做，则按得分最高的计分）1. 讨论方程的实根个数，并指出每个根所在的326930xxx区间。 解解 令，则 32693f xxxx，
8、23129313fxxxxx令，得驻点. 0fx 1,3xx列表讨论如下：x(,1)1(1,3)3(3,) fx00 f xZ极大极小Z可见该函数在处取极大值，在处取得极小值1x 11f3x 33.f 因为所以由lim( ), xf x 110,f 330,f lim( ), xf x 零点定理（也叫方程根的存在性定理）和函数的单调性知，方程有三个实根，分别在区间内。(,1) (1,3) (3,)、2. 设且求1(ln ),1fxx(0)0,f( ).f x解解 令则由得这样ln,xt1(ln )1fxx1( ),1tfte1(1)d(1)( )ddln(1),111xxx x xxxeeef
9、 xxxxxeCeee由可得故(0)0fln2,C 2( )ln.1xf xxe七、证明题（本题共七、证明题（本题共 2 2 个小题，考生任选一题做，满分个小题，考生任选一题做，满分 8 8分。若两题全做，则按得分最高的计分）分。若两题全做，则按得分最高的计分）1. 设在上连续，在内可导，证明：至少存在一)(xf , a b( , )a b，使得( , )a b( )( )( )( ).bf baf affba 证证 令则由题设条件易知，在上连续，在( )( ),xxf x( )x , a b内可导，这样由拉格朗日中值定理得，至少存在一，使得( , )a b( , )a b ( )( )( ),ba ba 因为故上式即( )( )( ),xf xxfx( )( )( )( ).bf baf affba2. 设在上连续，在内可导，且证明：)(xf2 , 1 )2 , 1 (, 0)2() 1 ( ff至少存在一，使得)2 , 1 (. 0)( )(3ff证证 令则由题设条件易知，在上连续，在3( )( ),xx f x( )x2 , 1 内可导，且这样由罗尔日中值定理得，至少存在一)2 , 1 (1)(2)0, ，使得(1,2) ( )0, 因为故上式即又因23( )3( )( ),xx f xx fx233( )( )0,ff所以1,. 0)( )(3ff
