如何求函数的值域

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1、自用解题方法技巧集1如何求函数的值域如何求函数的值域 一一 相关概念相关概念1、值域:函数、值域:函数,我们把函数值的集合,我们把函数值的集合称为函数称为函数Axxfy,)(/)(Axxf的值域。的值域。 2、最值:求函数最值常用方法和函数值域的方法基本相同。事实上,如果在函、最值:求函数最值常用方法和函数值域的方法基本相同。事实上,如果在函 数的值域中存在一个最小数的值域中存在一个最小(大大)数,这个数就是函数的最小数,这个数就是函数的最小(大大)值。因此,求函数值。因此,求函数 的最值和值域,其实质是相同的,只是提问不同而已。的最值和值域,其实质是相同的,只是提问不同而已。 3、值域与最值

2、的联系与区别:、值域与最值的联系与区别: 联系:若函数同时具有最大值联系:若函数同时具有最大值 b 和最小值和最小值 a,则值域为,则值域为a, b; 区别:凡函数都有值域区别:凡函数都有值域,但不一定有最值但不一定有最值. 4、与最值有关的、与最值有关的“恒成立恒成立”的意义:的意义: f(x)a 恒成立恒成立 f(x)mina,f(x)b 恒成立恒成立 f(x)maxb.二二 确定函数值域的原则确定函数值域的原则 1、当函数、当函数用表格给出时,函数的值域指表格中实数用表格给出时,函数的值域指表格中实数 y 的集合;的集合;)(xfy x0123 y=f(x)1234 则值域为则值域为1,

3、2,3,4 2、的图像给出时,函数的值域是指图像在的图像给出时,函数的值域是指图像在 y 轴上的投影所覆盖的实数轴上的投影所覆盖的实数)(xfy y 的集合;的集合; 3、用解析式给出时函数的值域由函数的定义域及其对应法则唯一确定;用解析式给出时函数的值域由函数的定义域及其对应法则唯一确定;)(xfy 4、由实际问题给出时,函数的值域由问题的实际意义决定。、由实际问题给出时,函数的值域由问题的实际意义决定。 三三 基本函数的值域基本函数的值域1、一次函数、一次函数的值域为的值域为 R;)(0abkxy2、二次函数、二次函数 )(02acbxaxy44(0);44022abac,a,abac,a

4、值域是时值域是时3、反比例函数、反比例函数的值域为的值域为;)0(kxky0/yy4、数函数、数函数的值域为的值域为;) 10(aaayx且0/yy5、对数函数、对数函数的值域为的值域为 R。) 10(logaaxya且6,函数,函数 y=sinx、y=cosx 的值域是的值域是 1 , 1四四 求函数值域的方法求函数值域的方法 1、观察法:、观察法: “直线类,反比例函数类直线类,反比例函数类”用此方法;用此方法; 自用解题方法技巧集22、配方法、配方法.:“二次函数二次函数”用配方法求值域;用配方法求值域;例例 1. 的值域;的值域;53(232,求函数xxxy解:解:画出图像(图略)画出

5、图像(图略)从图可知从图可知1223)61(32322xxxy求函数所以值域为所以值域为.721223)615(35;1223 612 maxmin,yx,yx时时721223,例例 2. 求求 的值域;的值域;562xxy函数解:设解:设 ; 0562,则xx; 44) 3(5622xxx. 400,又.2, 0,2, 0值域为、换元法:、换元法:;)()(1txfxfy 的的函函数数,可可令令形形如如;)0(dcxtacdcxbaxy 的的函函数数,可可令令形形如如.2,2,sin, 0,cos,22等等或或令令可可令令的的函函数数形形如如 axaxxay例例 3. 求函数求函数的值域的值

6、域xxy142解:设解:设, .2101txxt则44) 1( 224222ttty4,值域为4、判别式法:形如、判别式法:形如;域的函数用判别式法求值不同时为零,)(21 222 2112 1aacxbxacxbxay例例 4 求函数求函数的值域;的值域;xxy1解:解: 要上面的方程有实数根,要上面的方程有实数根,011122 yxxxx xxy04114)(22yy求出求出,所以函数的值域为所以函数的值域为12yy或)., 22,(U、反函数法:直接求函数的值域困难时,可以通过求其原函数的定义域来确定原函数的值、反函数法:直接求函数的值域困难时,可以通过求其原函数的定义域来确定原函数的值

7、 域。域。形如形如的函数用反函数法求值域;例的函数用反函数法求值域;例 求函数求函数 y=y=值域。值域。)0(abaxdcxy6543 xx、分离常数法:形如、分离常数法:形如的函数也可用此法求值域;的函数也可用此法求值域;)0( abaxdcxy自用解题方法技巧集3例例 5 求函数求函数的值域;的值域;213 xxy解:方法一:(反函数法)求出函数解:方法一:(反函数法)求出函数的反函数为的反函数为,其定义,其定义213 xxy312 xxy域为域为,所以原函数的值域为,所以原函数的值域为3/xRxx且3/yRyy且方法二:(分离常数法)方法二:(分离常数法),27327)2(3 213

8、xxx xxyQ.3273, 027xxQ.3/213yRyyxxy且的值域为、函数有界性法、函数有界性法 ( (通常和导数结合,是最近高考考的较多的一个内容通常和导数结合,是最近高考考的较多的一个内容) ) 直接求函数的值域困难时,可以利用已学过函数的有界性,来确定函数的值域。我们所直接求函数的值域困难时,可以利用已学过函数的有界性,来确定函数的值域。我们所说的单调性,最常用的就是三角函数的单调性。例说的单调性,最常用的就是三角函数的单调性。例 求函数求函数 y=y=,的值域,的值域 11 xxee2sin1 1siny 、数形结合法。例、数形结合法。例 6 6 求函数求函数 (方法一可用到

9、图象法)(方法一可用到图象法)的值域|4| 1|xxy方法二:(单调性)如果所给函数有明显的几何意义可借助几何法求函数的值方法二:(单调性)如果所给函数有明显的几何意义可借助几何法求函数的值 域域.为减函数时32,4xyx; 53)4(2y为增函数时当32,1xyx; 5312y所以此函数的值域为所以此函数的值域为; 514,yx时当,59、 基本不等式基本不等式(均值不等式均值不等式)法:法: 对于满足对于满足“一正、二定、三相等一正、二定、三相等”的式子,可用此法的式子,可用此法.10、 函数单调性法:函数单调性法: 因为单调函数在定义域端点取最值,所以应用很广,有些用均值不等式等因为单调

10、函数在定义域端点取最值,所以应用很广,有些用均值不等式等号取不到的,如号取不到的,如 f(x)ax可用单调性求解可用单调性求解.),0, 0( baxb11 导数法:导数法: 若若 yf (x)的导函数为的导函数为 yf(x),令,令 f(x)0,求出极值,再与端点值比较,求,求出极值,再与端点值比较,求 出最值和值域出最值和值域. 导数法:若导数法:若 yf (x)的导函数为的导函数为 yf(x),令,令 f(x)0,求出极值,求出极值, 再与端点值比较,求出最值和值域再与端点值比较,求出最值和值域.1.2. 分段处理法:分段处理法:自用解题方法技巧集4分段函数求值域先分段求出各段上的值域,

11、再取其并集。分段函数求值域先分段求出各段上的值域,再取其并集。注:不论采用什么方法求函数的值域均应先考虑其定义域。注:不论采用什么方法求函数的值域均应先考虑其定义域。例例 1. (1) 求函数求函数(2) 求函数求函数. 12的的值值域域xxy . 942的的最最值值xxy 2.(1) 求函数求函数(2) 求函数求函数. )1( 82)10( 5)0( 53 的的值值域域 xxxxxx y. |1|3|的的值值域域 xxy例例 3.已知函数已知函数)., 1 ,2)(2 xxaxxxf的的最最小小值值;求求实实数数时时当当)(,21)1(xfa .0)(,), 1 )2(的的取取值值范范围围恒

12、恒成成立立,试试求求实实数数时时若若对对任任意意axfx 练习:练习:1. 函数函数(2)函数函数的值域是的值域是( ).11的的值值域域是是xxy 2211 xxy (3) 函数函数的值域是的值域是( ) 3274222 xxxxy(4 )求函数求函数. )25(42542 的的值值域域 xxxxy(5 求求.cos2sin的的值值域域xxy 课后练习课后练习 1求下列函数的值域:求下列函数的值域:(1) (2)122xxxxyxxy212已知已知 x1、x2是方程是方程 x2-(k-2)x+k2+3k+5=0(kR)的两个实根,求的两个实根,求 x12+x22的最大值。的最大值。3已知函数

13、已知函数的定义域为的定义域为 R.862mmxmxy (1) 求实数求实数 m 的取值范围。的取值范围。 (2)当)当 m 变化时,若变化时,若 y 的最小值为的最小值为 f(m),求,求 f(m)的值域。的值域。3若函数若函数的值域为的值域为 R,则,则 k 的取值范围是(的取值范围是( ))2(log221kkxxy5求下列函数的值域:(求下列函数的值域:(1) (2) 11 xxeeyxxy246若函数若函数的定义域和值域都是的定义域和值域都是1,b(b1),求,求 b 的值。的值。23 212xxy7已知函数已知函数 f(x)=1-2ax-a2x(a1)。 (1)求)求 f(x)的值域。的值域。 (2)若)若 x-2,1时,函数的最小值为时,函数的最小值为-7,求,求 a 及及 f(x)的最大值。的最大值。Oy x B C 12

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