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1、自用解题方法技巧集1如何求函数的值域如何求函数的值域 一一 相关概念相关概念1、值域：函数、值域：函数，我们把函数值的集合，我们把函数值的集合称为函数称为函数Axxfy，)(/)(Axxf的值域。的值域。 2、最值：求函数最值常用方法和函数值域的方法基本相同。事实上，如果在函、最值：求函数最值常用方法和函数值域的方法基本相同。事实上，如果在函 数的值域中存在一个最小数的值域中存在一个最小(大大)数，这个数就是函数的最小数，这个数就是函数的最小(大大)值。因此，求函数值。因此，求函数 的最值和值域，其实质是相同的，只是提问不同而已。的最值和值域，其实质是相同的，只是提问不同而已。 3、值域与最值
2、的联系与区别：、值域与最值的联系与区别： 联系：若函数同时具有最大值联系：若函数同时具有最大值 b 和最小值和最小值 a，则值域为，则值域为a, b； 区别：凡函数都有值域区别：凡函数都有值域,但不一定有最值但不一定有最值. 4、与最值有关的、与最值有关的“恒成立恒成立”的意义：的意义： f(x)a 恒成立恒成立 f(x)mina，f(x)b 恒成立恒成立 f(x)maxb.二二 确定函数值域的原则确定函数值域的原则 1、当函数、当函数用表格给出时，函数的值域指表格中实数用表格给出时，函数的值域指表格中实数 y 的集合；的集合；)(xfy x0123 y=f(x)1234 则值域为则值域为1，
3、2，3，4 2、的图像给出时，函数的值域是指图像在的图像给出时，函数的值域是指图像在 y 轴上的投影所覆盖的实数轴上的投影所覆盖的实数)(xfy y 的集合；的集合； 3、用解析式给出时函数的值域由函数的定义域及其对应法则唯一确定；用解析式给出时函数的值域由函数的定义域及其对应法则唯一确定；)(xfy 4、由实际问题给出时，函数的值域由问题的实际意义决定。、由实际问题给出时，函数的值域由问题的实际意义决定。 三三 基本函数的值域基本函数的值域1、一次函数、一次函数的值域为的值域为 R；）（0abkxy2、二次函数、二次函数 ）（02acbxaxy44(0);44022abac，a，abac，a
4、值域是时值域是时3、反比例函数、反比例函数的值域为的值域为；)0(kxky0/yy4、数函数、数函数的值域为的值域为；) 10(aaayx且0/yy5、对数函数、对数函数的值域为的值域为 R。) 10(logaaxya且6，函数，函数 y=sinx、y=cosx 的值域是的值域是 1 , 1四四 求函数值域的方法求函数值域的方法 1、观察法：、观察法： “直线类，反比例函数类直线类，反比例函数类”用此方法；用此方法； 自用解题方法技巧集22、配方法、配方法.：“二次函数二次函数”用配方法求值域；用配方法求值域；例例 1. 的值域；的值域；53(232，求函数xxxy解：解：画出图像（图略）画出
5、图像（图略）从图可知从图可知1223)61(32322xxxy求函数所以值域为所以值域为.721223)615(35;1223 612 maxmin，yx，yx时时721223，例例 2. 求求 的值域；的值域；562xxy函数解：设解：设 ; 0562，则xx; 44) 3(5622xxx. 400，又.2, 0,2, 0值域为、换元法：、换元法：;)()(1txfxfy 的的函函数数，可可令令形形如如;)0(dcxtacdcxbaxy 的的函函数数，可可令令形形如如.2,2,sin, 0,cos,22等等或或令令可可令令的的函函数数形形如如 axaxxay例例 3. 求函数求函数的值域的值
6、域xxy142解：设解：设, .2101txxt则44) 1( 224222ttty4,值域为4、判别式法：形如、判别式法：形如；域的函数用判别式法求值不同时为零，)(21 222 2112 1aacxbxacxbxay例例 4 求函数求函数的值域；的值域；xxy1解：解： 要上面的方程有实数根，要上面的方程有实数根，011122 yxxxx xxy04114)(22yy求出求出,所以函数的值域为所以函数的值域为12yy或)., 22,(U、反函数法：直接求函数的值域困难时，可以通过求其原函数的定义域来确定原函数的值、反函数法：直接求函数的值域困难时，可以通过求其原函数的定义域来确定原函数的值
7、 域。域。形如形如的函数用反函数法求值域；例的函数用反函数法求值域；例 求函数求函数 y=y=值域。值域。)0(abaxdcxy6543 xx、分离常数法：形如、分离常数法：形如的函数也可用此法求值域；的函数也可用此法求值域；)0( abaxdcxy自用解题方法技巧集3例例 5 求函数求函数的值域；的值域；213 xxy解：方法一：（反函数法）求出函数解：方法一：（反函数法）求出函数的反函数为的反函数为，其定义，其定义213 xxy312 xxy域为域为，所以原函数的值域为，所以原函数的值域为3/xRxx且3/yRyy且方法二：（分离常数法）方法二：（分离常数法）,27327)2(3 213
8、xxx xxyQ.3273, 027xxQ.3/213yRyyxxy且的值域为、函数有界性法、函数有界性法 ( (通常和导数结合，是最近高考考的较多的一个内容通常和导数结合，是最近高考考的较多的一个内容) ) 直接求函数的值域困难时，可以利用已学过函数的有界性，来确定函数的值域。我们所直接求函数的值域困难时，可以利用已学过函数的有界性，来确定函数的值域。我们所说的单调性，最常用的就是三角函数的单调性。例说的单调性，最常用的就是三角函数的单调性。例 求函数求函数 y=y=，的值域，的值域 11 xxee2sin1 1siny 、数形结合法。例、数形结合法。例 6 6 求函数求函数 （方法一可用到
9、图象法）（方法一可用到图象法）的值域|4| 1|xxy方法二：（单调性）如果所给函数有明显的几何意义可借助几何法求函数的值方法二：（单调性）如果所给函数有明显的几何意义可借助几何法求函数的值 域域.为减函数时32,4xyx; 53)4(2y为增函数时当32,1xyx; 5312y所以此函数的值域为所以此函数的值域为; 514，yx时当，59、 基本不等式基本不等式(均值不等式均值不等式)法：法： 对于满足对于满足“一正、二定、三相等一正、二定、三相等”的式子，可用此法的式子，可用此法.10、 函数单调性法：函数单调性法： 因为单调函数在定义域端点取最值，所以应用很广，有些用均值不等式等因为单调
10、函数在定义域端点取最值，所以应用很广，有些用均值不等式等号取不到的，如号取不到的，如 f(x)ax可用单调性求解可用单调性求解.),0, 0( baxb11 导数法：导数法： 若若 yf (x)的导函数为的导函数为 yf(x)，令，令 f(x)0，求出极值，再与端点值比较，求，求出极值，再与端点值比较，求 出最值和值域出最值和值域. 导数法：若导数法：若 yf (x)的导函数为的导函数为 yf(x)，令，令 f(x)0，求出极值，求出极值， 再与端点值比较，求出最值和值域再与端点值比较，求出最值和值域.1.2. 分段处理法：分段处理法：自用解题方法技巧集4分段函数求值域先分段求出各段上的值域，
11、再取其并集。分段函数求值域先分段求出各段上的值域，再取其并集。注：不论采用什么方法求函数的值域均应先考虑其定义域。注：不论采用什么方法求函数的值域均应先考虑其定义域。例例 1. (1) 求函数求函数(2) 求函数求函数. 12的的值值域域xxy . 942的的最最值值xxy 2.(1) 求函数求函数(2) 求函数求函数. )1( 82)10( 5)0( 53 的的值值域域 xxxxxx y. |1|3|的的值值域域 xxy例例 3.已知函数已知函数)., 1 ,2)(2 xxaxxxf的的最最小小值值；求求实实数数时时当当)(,21)1(xfa .0)(,), 1 )2(的的取取值值范范围围恒
12、恒成成立立，试试求求实实数数时时若若对对任任意意axfx 练习：练习：1. 函数函数(2)函数函数的值域是的值域是( ).11的的值值域域是是xxy 2211 xxy (3) 函数函数的值域是的值域是( ) 3274222 xxxxy(4 )求函数求函数. )25(42542 的的值值域域 xxxxy(5 求求.cos2sin的的值值域域xxy 课后练习课后练习 1求下列函数的值域：求下列函数的值域：（1） （2）122xxxxyxxy212已知已知 x1、x2是方程是方程 x2-(k-2)x+k2+3k+5=0(kR)的两个实根，求的两个实根，求 x12+x22的最大值。的最大值。3已知函数
13、已知函数的定义域为的定义域为 R.862mmxmxy (1) 求实数求实数 m 的取值范围。的取值范围。 （2）当）当 m 变化时，若变化时，若 y 的最小值为的最小值为 f(m)，求，求 f(m)的值域。的值域。3若函数若函数的值域为的值域为 R，则，则 k 的取值范围是（的取值范围是（ ）)2(log221kkxxy5求下列函数的值域：（求下列函数的值域：（1） （2） 11 xxeeyxxy246若函数若函数的定义域和值域都是的定义域和值域都是1,b(b1)，求，求 b 的值。的值。23 212xxy7已知函数已知函数 f(x)=1-2ax-a2x(a1)。 （1）求）求 f(x)的值域。的值域。 （2）若）若 x-2,1时，函数的最小值为时，函数的最小值为-7，求，求 a 及及 f(x)的最大值。的最大值。Oy x B C 12
