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1、1复变函数与积分变换课程简介及教学大纲课程代码：112000531 课程名称：复变函数与积分变换 /Function of a Complex Variable and interal transformation 课程类别：公共基础课 总学时/学分：48/3 开课学期：第三或四学期 适用对象：非数学专业本科生 先修课程：高等数学 内容简介：本课程包括复数与复变函数、解析函数、复变函数的积分、级数、留数、傅里 叶变换、拉普拉斯等内容。一、课程性质、目的和任务本课程是理工科学生继高等数学后的又一门数学基础课。本课程主要讲授复变函数与积 分变换的基本理论和方法。通过本课程的学习，学生不仅能够学到复
2、变函数与积分变换的基 本理论和数学物理及工程技术中常用的数学方法，同时还可以巩固和复习高等数学的基础知 识，提高数学素养，为学习有关的后续课程和进一步扩大数学知识面奠定必要的数学基础。 在培养学生的抽象思维能力、逻辑推理能力、空间想象能力和科学计算能力等方面起着特殊 重要的作用。二、课程教学内容及要求本课程包括复数与复变函数、解析函数、复变函数的积分、级数、留数、傅里叶变换、 拉普拉斯共七章。 第 1 章 复数与复变函数 主要内容：1 复数的概念、运算及几何表示。2 复平面上区域、曲线的概念及它们的复数表示。3 复变函数的概念及其复变函数的极限与连续性。 基本要求：1 熟悉复数概念及各种几何表
3、示。 2 掌握复数的四则运算、乘幂方根共轭等运算并能简单应用。 3 了解复平面上区域、曲线的概念，掌握用复数表示它们的方法。 4 了解复变函数与实二元函数的关系及复变函数的极限与连续性，熟悉复变 函数极限与连续性的运算法则及性质，熟悉复变函数与实变函数的极限与连续性之间的联系 与区别。 重点：复数的运算及各种几何表示法，复变函数的概念。 难点：用复数方法表示平面区域、曲线。 第 2 章解析函数 主要内容：1 复变函数的导数及解析函数的概念。 2 复变函数可导与解析的充要条件，柯西-黎曼方程及解析函数的性质。3 初等函数。 基本要求：1 理解复变函数的导数及解析函数的概念，掌握复变函数连续、可导
4、、解析 之间的关系及求导法则。 2 熟练掌握复变函数可导与解析的判别法，掌握并灵活运用柯西-黎曼方程，2能利用柯西-黎曼方程判定复变函数的解析性及证明解析函数的一些基本性质。 3 熟悉基本初等函数的定义，了解它们的性质，尤其是指数函数的定义、性 质及与其它基本初等函数的关系。 4 掌握由初等函数构成的方程求根的方法，会判定初等函数的奇点及解析性 区域。 重点：解析函数的概念及函数解析性的判别。 难点：解析函数的概念及初等函数中多值函数及其单值解析分支的概念。 第 3 章 复变函数的积分 主要内容：1 复积分的概念、性质与计算方法。 2 柯西-古萨基本定理及推广。3 柯西积分公式及推论。4 解析
5、函数与调和函数的关系。 基本要求：1 熟悉复积分的概念及基本性质，理解复积分的曲线积分法，掌握并熟练运 用复积分计算的参数方程法和积分估值公式。 2 理解柯西-古萨基本定理及推广复合闭路定理，了解复变函数的原函数存 在定理及牛顿-莱布尼兹公式。 3 熟练掌握柯西积分公式及高阶导数公式，了解解析函数的平均值定理、无 穷可微性等性质，掌握并能灵活运用柯西积分理论计算沿闭曲线的复积分。4 理解调和函数概念，掌握解析函数与调和函数的关系及由已知调和函数 求以其为实部或虚部的解析函数的方法。 重点：柯西-古萨基本定理及推广，柯西积分公式及高阶导数公式。 难点：复合闭路定理与复积分的计算。 第 4 章 级
6、数 主要内容：1 复数项级数。 2 幂级数。3 泰勒级数。4 洛朗级数。 基本要求：1 了解复数列极限、复级数收敛、发散概念，与高等数学中相应内容的关系。2 熟悉幂级数概念，理解 Abel 定理，掌握幂级数收敛半径求法、幂级数的 运算及性质。3 理解泰勒展开定理，熟练掌握等函数的)1 (),1ln(,cos,sin,zzzzez泰勒展式，掌握函数展开成幂级数（泰勒级数）的直接展开法和间接展开法，能比较熟练地 将一些解析函数在指定点展开成幂级数（泰勒级数） ，并会确定收敛半径。 4 熟悉双边幂级数概念和性质，理解洛朗展开定理，掌握函数展开成洛朗级 数的间接展开法，能比较熟练地将一些解析函数在不同
7、圆环内展开成洛朗级数。 重点：函数展开成泰勒级数、洛朗级数。 难点：函数展开成洛朗级数。 第 5 章 留数 主要内容：1 孤立奇点的定义及分类。 2 留数的定义及计算。3 留数定理及应用。 基本要求：1 了解孤立奇点的定义、分类及特征，熟悉零点与极点的关系。 2 理解留数概念，掌握计算留数的一般方法，熟练掌握极点处留数的求法。 3 掌握利用留数定理计算闭路复积分的方法，了解应用留数定理计算定积分3的围道积分法，能熟练利用留数计算下面三种类型的定积分：。dxexRdxxRdRiax)(,)(,)sin,(cos20重点：留数的计算、留数定理及应用 。 难点：留数在定积分计算上的应用。 第 6 章
8、 Fourier 变换 主要内容：1 Fourier 积分与 Fourier 积分定理。 2 Fourier 变换与 Fourier 逆变换。3 单位脉冲函数及广义 Fourier 变换。4 Fourier 变换的性质及卷积。 基本要求：1 了解周期函数的 Fourier 级数形式，熟悉 Fourier 积分定理，了解 Fourier 积分公式的三角形式，Fourier 正弦、余弦积分公式。 2 理解 Fourier 变换及其逆变换的概念，理解单位脉冲函数的概念及性质， 掌握一些常用函数的 Fourier 变换及其逆变换的求法。 3 了解 Fourier 变换的性质及卷积定理，能利用 Four
9、ier 变换的性质求函数的 Fourier 变换及其逆变换，并能应用 Fourier 变换解某些积分方程。 重点：求函数的 Fourier 变换及 Fourier 变换的简单应用。 难点：求函数的 Fourier 变换。 第七章 Laplace 变换 主要内容：1 Laplace 变换的概念。 2 Laplace 变换的性质及卷积3 Laplace 逆变换。4 Laplace 变换的应用 基本要求：1 了解 Laplace 变换的概念及与 Fourier 变换的联系与区别，理解 Laplace 变 换及其逆变换的概念，熟悉 Laplace 变换存在定理，掌握一些基本函数的 Laplace 变换
10、。 2 掌握 Laplace 变换的性质及卷积定理，熟练运用 Laplace 变换的性质求函 数的 Laplace 变换及逆变换。 3 了解反演积分公式，熟练掌握用留数求 Laplace 逆变换的方法。 4 熟练掌握应用 Laplace 变换解常系数线性微分方程的方法，掌握某些积分 方程的 Laplace 变换解法。 重点：求函数的 Laplace 变换及逆变换，Laplace 变换的简单应用。 难点：求函数的 Laplace 变换及逆变换。三、课外习题及自学要求为了使学生较好掌握并能灵活运用所学内容，提高学生的基本素质及分析问题解决问题 的能力，每章都配置适当的习题，以巩固和加深对基本理论、
11、方法的理解和应用。每次课后 结合所授内容布置相关的课外习题。 自学要求：在理解和掌握教材内容的基础上，可以再适当读一些教学参考书，增加对复 变函数与积分变换的基本理论及方法的理解，拓宽知识面。四、课程教学基本要求课堂教学： 本课程以课堂讲授为主，由于内容、概念、理论较多，课时紧，要求学生课前要预习， 课后要认真复习和完成相应作业以保证教学效果和质量。 作业：4为使学生更好地消化和理解课堂上所讲授的内容，每次课后布置一定数量习题，教师要 认真、及时地批改作业和答疑。 成绩考核： 本课程为考试课。期末命题考试成绩占 80%左右，平时成绩占 20%左右。总评成绩及 格，方可获得本门课程的学分。五、学时分配学学 时时 分分 配配章节章节讲课讲课习题课习题课实验课实验课上机课上机课讨论课讨论课其他其他合计合计第 1 章 4第 2 章42第 3 章6 2第 4 章62 第 5 章82第 6 章4第 7 章8 合计合计408六、推荐教材和教学参考书教材：1复变函数（第四版） 西安交通大学高等数学教研室 编， 高等教育出版社。2 积分变换（第四版） 东南大学数学系 张元林 编 高等教育出版社。 教学参考书：1复变函数论 钟玉泉编 编 高等教育出版社。2复变函数与积分变换 哈尔滨工业大学数学系 组编 盖云英 包革军 编 科学出版社。制订日期：2007 年 5 月
