圆周角、切线的判定

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1、圆周角、切线的判定圆周角、切线的判定一、学习目标一、学习目标1学习了解圆周角的概念，掌握同圆或等圆中，圆周角和圆心角、弧、弦（包 括弦心距）之间的对应关系2了解直线和圆的位置关系，掌握圆的切线的判定方法和性质定理，并能解决 有关的证明和计算二、教学重点和难点二、教学重点和难点1重点是圆周角和圆心角的关系；圆的切线的判定和性质2难点是用分类思想讨论圆周角和圆心角的关系三、教学内容解析三、教学内容解析（一）知识梳理（一）知识梳理在前面学习的基础上，进一步理解同弧所对圆周角和圆心角的对应关系，在分 析图形的结构时，充分利用“弧”找角，体会曲线型图形的优势要注意培养类比的思维方法体会除了从图形上定义直

2、线和圆的位置关系之外， 从数量关系上也可以反映直线和圆的三种位置关系的特征应该认识到它们反映的 本质相同 1 1圆周角的概念：圆周角的概念：顶点在圆上，并且两边都和圆相交的角叫做圆周角2 2圆周角定理：圆周角定理：一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半3 3圆周角定理的推论：圆周角定理的推论：（1）同弧或等弧所对的圆周角相等；同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧也 相等（2）半圆（或直径）所对的圆周角是直角；90的圆周角所对的弦是直径（3）如果三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角 形4 4定理分析定理分析圆周角定理提示了在同一个圆中，同一条弧所对的圆周角与圆心角之间的数

3、量 关系根据定理的推论（1） ，同弧或等弧所对的圆周角相等，说明了分析问题时可 以借助于“圆弧”证明两个角相等（如图 1，A 和A两个圆周角都对着同一条弧，它们相等） 另一方面，可以将已知的圆周角（如图 1 中的A）沿圆周转移到圆中所需要的位置（如图 1 中的A的位置） 图 1 图 2利用圆周角定理推论（2） ，在解决有关圆的问题中，只要已知中给出直径条件， 可自圆上任意一点分别连结直径的两个端点，从而构造直角（如图 2 所示） ，反过来， 利用已知一个圆周角为直角，可以构造圆的直径推论（3）给出了直角三角形的一个判定方法从圆的高度重新认识一些三角形 的知识，这既是认识的深化，又是方法的更新5

4、 5圆的切线圆的切线（1）当直线和圆有唯一公共点时，叫做直线和圆相切，这时的直线叫做圆的切 线，唯一的公共点叫做切点这里“有唯一公共点”是有一个且只有一个公共点（2）按此定义判定直线和圆相切并不容易，可以据此分析得到“如果设O 的 半径为 r，圆心 O 到直线 的距离为 d，那么直线 与O 相切” （3）切线的判定定理：经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线如图，定理的题设是：一条直线 满足：（1）过半径 OA 的外端点 A；（2）垂直于半 径 OA；结论是：这条直线 是圆的切线（直线 切圆 O 于点 A） 6 6切线的判定方法切线的判定方法（1）和圆只有一公共点的直线是圆的切线；（2

5、）圆心到直线的距离等于半径的直线是圆的切线；（3）经过半径的外端且与半径垂直的直线是圆的切线；判定切线有三种方法，证题中常用后两种方法，且往往需要添加辅助线7 7添加辅助线的方法添加辅助线的方法（1）如果已知直线经过圆上一点，那么连结这点和圆心得到半径再证所作半径 与这条直线垂直即“连半径，证垂直” （2）如果已知条件中不知直线与圆是否有公共点，那么过圆心作直线的垂线段， 再证明垂线段的长等于半径，即“作垂直，证半径” （二）例题分析（二）例题分析1如图所示，AB 为O 的直径，动点 P 在O 的下半圆，定点 Q 在O 的 上半圆，设POA=x，PQB=y，当 P 点在下半圆移动时，试求 y

6、与 x 之间的函 数关系式，并写出自变量的取值范围解：（方法一）AB 为O 的直径，AOP=xPOB=又，（） （方法二）如图所示，连结 AQ，又AB 是O 的直径，AQB=90，（） 小结：在分析有关圆周角的问题时，往往通过同弧或等弧找到圆周角、圆心角 之间的关系当出现直径这个条件时，注意直径所对的圆周角是直角；如果没有直 径所对的圆周角，这时往往需要添加辅助线，构造直径所对的圆周角想一想：若动点 P 与定点 Q 在O 上位于直径 AB 的同侧时，仍设POA=x， PQB=y，这时 y 与 x 之间又会有怎样的函数关系呢？2已知，如图，ABC 内接于O，ACB=60，AB=m，试求O 的直

7、径解：（方法一）如图，作O 的直径 AC，连结 CB，则ACB=C=60AC是O 的直径，ABC=90即O 的直径为（方法二）如图所示，连接 OA，作于 D可以根据垂径定理，解出，从而得出直径为小结：构造直角三角形是常用的求线段长的方法在圆中，可以构造垂径定理 的基本图形，即由半径、半弦和弦心距构成的直角三角形；也可以构造直径所对的 圆周角这一基本图形3如图，ABC 内接于O，D 为 AB 延长线上一点，且DCB=A，求证： CD 是O 的切线证明：（方法一）作直径 CE，连结 BE，则CBE=90，E+OCB=90A=E，DCB=A，DCB+OCB=90，CD半径 OC 于 C，CD 是O

8、的切线（方法二）此题也可采用圆周角定理证明如图，连接 OC、OB，设A=DCB=x，则BOC=2xOB=OC，OCB+DCB=90CD半径 OC 于 C，CD 是O 的切线4如图，ABC 中，AB=AC，以 AB 为直径的O 交 BC 于 D，DEAC 于 E求证：DE 是O 的切线分析：要证 DE 是O 切线，且已知公共点 D，所以连结 OD，只需证 ODDE 即 可，又已知 DEAE，所以需证：ODAC证明：（方法一）连结 OD，OB=OD，B=ODBAB=AC，B=C，ODB=C，ODAC又DEAC，DE半径 OD 于 D，DE 是O 的切线（方法二）连结 OD、AD，AB 是O 直径，

9、ADBCAB=AC，BD=CD又OB=OA，ODAC 又DEAC，DE半径 OD 于 D，DE 是O 的切线5如图，ABC 中，ACB=90，以 AC 为直径的O，交 AB 于 D，E 为 BC 中点求证：DE 是O 切线分析：已知圆和直线的公共点 D，因此要证明 DE 是O 切线，只需连接 OD，并 且证明ODE=OCB=90证明：（方法一）连结 OD、OEOA=OC，E 为 BC 中点，OEAB，DOE=ADO，COE=AOA=OD，A=ADO，DOE=COEOD=OC，OE=OE，DOECOE，ODE=OCEACB=90，ODE=90，DE半径 OD 于 D，DE 是O 的切线（方法二）连结 OD、CDAC 是O 直径，CDAB E 为 BC 中点，ED=EC，EDC=ECD又OD=OC，ODC=OCD，EDC+ODC=ECD+OCD，ODE=OCE=90，DE半径 OD 于 D，DE 是O 的切线6如图，P 点是AOB 的平分线 OC 上一点，PEOA 于 E，以 P 为圆心， PE 为半径作P 求证：P 与 OB 相切分析：因为不知道圆和直线是否有公共点，所以要证 OB 是P 的切线，需要作 PFOB 于 F，再证 PF=PE 即可证明：作 PFOB 于 F，OP 平分AOB，且 PEOA，PF=PE，即 PF 为P 的半径，OB 是P 的切线