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1、第 1 页 共 17 页专题三：二次函数存在性问题专题三：二次函数存在性问题1. （10 广东深圳）如图，抛物线 yax2c（a0）经过梯形 ABCD 的四个顶点，梯形的 底 AD 在 x 轴上，其中 A（2,0） ，B（1, 3） (1）求抛物线的解析式； (2）点 M 为 y 轴上任意一点，当点 M 到 A、B 两点的距离之和为最小时，求此时点 M 的坐标； (3）在第（2）问的结论下，抛物线上的点 P 使 SPAD4SABM成立，求点 P 的坐标答案：（1） 、因为点 A、B 均在抛物线上，故点 A、B 的坐标适合抛物线方程40 3ac ac 解之得：1 4a c ；故24yx为所求(2
2、）如图）如图 2，连接 BD，交 y 轴于点 M，则点 M 就是所求作的点设 BD 的解析式为ykxb，则有20 3kb kb ，1 2k b ，故 BD 的解析式为2yx；令0,x 则2y ，故(0, 2)M(3)、如图 3，连接 AM，BC 交 y 轴于点 N，由（2）知，OM=OA=OD=2，90AMB易知易知 BN=MN=1，易求2 2,2AMBM12 2222ABMSV；设2( ,4)P x x ，依题意有：2144 22AD x g，即：21444 22xg解之得：2 2x ，0x ，故 符合条件的 P 点有三个：123(2 2,4),( 2 2,4),(0, 4)PPP2. (1
3、0 北京）在平面直角坐标系 xOy 中，抛物线 y= x2xm23m241m 45m与 x 轴的交点分别为原点 O 和点 A，点 B(2，n)在这条抛物线上。(1) 求点 B 的坐标；(2) 点 P 在线段 OA 上，从 O 点出发向点运动，过 P 点作 x 轴的xyMCBDA O图图 2xyCB_ D_ A OxyNMOP2P1BDAP3C图图 3第 2 页 共 17 页垂线，与直线 OB 交于点 E。延长 PE 到点 D。使得 ED=PE。以 PD 为斜边在 PD 右侧作等腰直角三角形 PCD(当 P 点运动时，C 点、D 点也随之运动) 当等腰直角三角形 PCD 的顶点 C 落在此抛物线
4、上时，求OP 的长； 若 P 点从 O 点出发向 A 点作匀速运动，速度为每秒 1 个单位，同时线段 OA 上 另一点 Q 从 A 点出发向 O 点作匀速运动，速度为每秒 2 个单位(当 Q 点到达 O 点时停止运 动，P 点也同时停止运动)。过 Q 点作 x 轴的垂线，与直线 AB 交于点 F。延长 QF 到点 M，使得 FM=QF，以 QM 为斜边，在 QM 的左侧作等腰直角三角形 QMN(当 Q 点运动时， M 点，N 点也随之运动)。若 P 点运动到 t 秒时，两个等腰直角三角形分 别有一条直角边恰好落在同一条直线上，求此刻 t 的值。答案：解：(1) 拋物线 y= x2xm23m2
5、经过原点，m23m2=0，解得41m 45mm1=1，m2=2，由题意知 m1，m=2，拋物线的解析式为 y= x2x，点 B(2，n)在拋41 25物线y= x2x 上，n=4，B 点的坐标为(2，4)。41 25(2) 设直线 OB 的解析式为 y=k1x，求得直线 OB 的解析式为y=2x，A 点是拋物线与 x 轴的一个交点，可求得 A 点的坐标为(10，0)，设 P 点的坐标为(a，0)，则 E 点的坐标为(a，2a)，根据题意作等腰直角三角形 PCD，如图 1。可求得点 C 的坐标为(3a，2a)，由 C 点在拋物线上，得2a= (3a)23a，即a2a=0，解得 a1=，a2=04
6、1 25 49 211 922(舍去)，OP=。922 依题意作等腰直角三角形 QMN，设直线 AB 的解析式为 y=k2xb，由点 A(10，0)，点 B(2，4)，求得直线 AB 的解析式为 y= x5，当 P 点运动到 t 秒时，两个21等腰直角三角形分别有一条边恰好落在同一条直线上，有以下三种情况：第一种情况：CD 与 NQ 在同一条直线上。如图 2 所示。可证DPQ 为等腰直 角三角形。此时 OP、DP、AQ 的长可依次表示为 t、4t、2t 个单位。PQ=DP=4t，t4t2t=10，t=。710第二种情况：PC 与 MN 在同一条直线上。如图 3 所示。可证PQM 为等腰直角 三
7、角形。此时 OP、AQ 的长可依次表示为 t、2t 个单位。OQ=102t，F 点在直线 AB 上， FQ=t，MQ=2t，PQ=MQ=CQ=2t，t2t2t=10，t=2。第三种情况：点 P、Q 重合时，PD、QM 在同一条直线上，如图 4 所示。此时 OP、AQ 的长可依次表示为 t、2t 个单位。t2t=10，t=。综上，符合310xyO11OABCDEPyx图 1第 3 页 共 17 页题意的t 值分别为，2， 。710 3103. （10 贵州遵义）如图，已知抛物线)0(2acbxaxy的顶点坐标为 Q1, 2 ，且与y轴交于点 C3 , 0，与x轴交于 A、B 两 点（点 A 在点
8、 B 的右侧） ，点 P 是该抛物线上一动点，从点 C 沿抛物线向点 A 运动（点 P 与 A 不重合） ，过点 P 作 PDy轴， 交 AC 于点 D (1)求该抛物线的函数关系式； (2)当ADP 是直角三角形时，求点 P 的坐标； (3)在问题(2)的结论下，若点 E 在x轴上，点 F 在抛物线上， 问是否存在以 A、P、E、F 为顶点的平行四边形？若存在， 求点 F 的坐标；若不存在，请说明理由 答案：解：（1） 抛物线的顶点为 Q（2，-1）设122xay将 C（0，3）代入上式，得 12032 a 1a122 xy， 即342xxy(2）分两种情况：当点 P1为直角顶点时,点 P1
9、与点 B 重合(如图)令y=0, 得0342 xx 解之得11x, 32x 点 A 在点 B 的右边, B(1,0), A(3,0) P1(1,0) 解:当点 A 为APD2的直角顶点是(如图) OA=OC, AOC=o90, OAD2=o45 当D2AP2=o90时, OAP2=o45, AO 平分D2AP2 又P2D2y轴, P2D2AO, P2、D2关于x轴对称. 设直线 AC 的函数关系式为bkxy 将 A(3,0), C(0,3)代入上式得 bbk330, 31bk3xyD2在3xy上, P2在342xxy上,设 D2(x,3 x), P2(x,342 xx)(3 x)+(342 x
10、x)=0Ex OABCyPMQNFD图 2xyOAM(C)B(E)DPQFN图 3图 4yxBOQ(P)NCDMEF第 4 页 共 17 页0652 xx, 21x, 32x(舍)当x=2 时, 342xxy=32422=-1P2的坐标为 P2(2,-1)(即为抛物线顶点) P 点坐标为 P1(1,0), P2(2,-1)(3)解: 由题(2)知,当点 P 的坐标为 P1(1,0)时,不能构成平行四边形 当点 P 的坐标为 P2(2,-1)(即顶点 Q)时, 平移直线 AP(如图)交x轴于点 E,交抛物线于点 F. 当 AP=FE 时,四边形 PAFE 是平行四边形 P(2,-1), 可令 F
11、(x,1) 1342 xx解之得: 221x, 222xF 点有两点,即 F1(22,1), F2(22,1)4. （10 湖北黄冈）已知抛物线顶点为 C（1，1）且过原点 O.过抛2(0)yaxbxc a物线上一点 P（x，y）向直线作垂线，垂足为 M，连 FM（如图）.5 4y (1）求字母 a，b，c 的值；(2）在直线 x1 上有一点，求以 PM 为底边的等腰三角形 PFM 的 P 点的坐标，并3(1, )4F证明此时PFM 为正三角形； (3）对抛物线上任意一点 P，是否总存在一点 N（1，t） ，使 PMPN 恒成立，若存在请求 出 t 值，若不存在请说明理由.答案：（1）a1，b
12、2，c0(2）过 P 作直线 x=1 的垂线，可求 P 的纵坐标为，横坐标为.此时，1 41132MPMFPF1，故MPF 为正三角形.(3）不存在.因为当 t，x1 时，PM 与 PN 不可能相等，同理，当 t，x1 时，5 45 4第 5 页 共 17 页PM 与 PN 不可能相等.5. （10 辽宁丹东）如图，平面直角坐标系中有一直角梯形OMNH，点H的坐标为（8，0） ， 点N的坐标为（6，4） (1）画出直角梯形OMNH绕点O旋转 180的图形OABC，并写出顶点A，B，C的坐标 （点M的对应点为A， 点N的对应点为B， 点H的对应点为C） ； (2）求出过A，B，C三点的抛物线的表
13、达式； (3）截取CE=OF=AG=m，且E，F，G分别在线段CO，OA，AB上，求四边形BEFG的面积 S与m之间的函数关系式，并写出自变量m的取值范围；面积S是否存在最小值? 若存在，请求出这个最小值；若不存在，请说明理由；(4）在（3）的情况下，四边形BEFG是否存在邻边相等的情况，若存在，请直接写出 此时m的值，并指出相等的邻边；若不存在，说明理由答案：（1） 利用中心对称性质，画出梯形OABC A，B，C三点与M，N，H分别关于点O中心对称，A（0，4） ，B（6，4） ，C（8，0） (写错一个点的坐标扣 1 分）OMNHACEFDB8(6，4)xy(2）设过A，B，C三点的抛物线
14、关系式为，2yaxbxc抛物线过点A（0，4） ， 则抛物线关系式为 4c 24yaxbx将B（6，4） ， C（8，0）两点坐标代入关系式，得36644 64840ab ab ， 解得1 4 3 2ab ，所求抛物线关系式为：213442yxx (3）OA=4，OC=8，AF=4m，OE=8m 第 6 页 共 17 页 AGFEOFBECEFGBABCOSSSSS四边形梯形OA（AB+OC）AFAGOEOFCEOA211 21 21 2mmmmm421)8(21)4(2186421）（( 04） 2882mmm 当时，S的取最小值2(4)12Sm4m 又0m4，不存在m值，使S的取得最小值
15、(4）当时，GB=GF，当时，BE=BG22 6m 2m 6.已知：函数 y=ax2+x+1 的图象与 x 轴只有一个公共点 (1）求这个函数关系式； (2）如图所示，设二次函数 y=ax2+x+1 图象的顶点为 B，与 y 轴的交点为 A，P 为图象 上的一点，若以线段 PB 为直径的圆与直线 AB 相切于点 B，求 P 点的坐标； (3）在(2)中，若圆与 x 轴另一交点关于直线 PB 的对称点为 M，试探索点 M 是否在抛 物线 y=ax2+x+1 上，若在抛物线上，求出 M 点的坐标；若不在，请说明理由答案：解：（ 1）当a = 0时， y = x+1，图象 与x轴只有一个公共点当a0时， =1- 4a=0，a = ，此时，图象 与x轴只有一个公共点1 4函数的解析式为：y=x+1 或y= x2+x
