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1、命题与证明的知识点总结（湘教版）命题与证明的知识点总结（湘教版）一、一、知识结构梳理知识结构梳理1定义： （1）概念 ；（2）分类 2命题 假命题（可通过 来说明） （3）形式：命题都可写成 的形式。命题与证明（4）互逆命题 （1）公理： 3. 公理与定理 （2）定理： （1）概念： 4. 证明 理解题意，画出 （2）证明命题的一般步骤 写出已知， 写出 （3）反证法二、知识点归类二、知识点归类 知识点知识点 定义的概念定义的概念 对于一个概念特征性质的描述叫做这个概念的定义。如：“两点 之间线段的长度，叫做这两点之间的距离”是“两点之间的距离”的定义。 注意注意：定义必须严密的，一般避免使用
2、含糊不清的语言，例如“一些” 、 “大概” 、 “差不多” 等不能在定义中出现。 例例 1 在下列横线上，填写适当的概念： （1）连结三角形两边中点的线段叫作三角形的 ； （2）能够完全重合的两个图形叫做 ； （3）两组对边分别平行的四边形叫做 ； 例例 2 叙述概念的定义 （1）数轴； （2）等腰三角形知识点知识点 命题命题 知识点一知识点一 命题的概念命题的概念 叙述一件事情的句子（陈述句） ，要么是真的，要么是假的，那么称这个陈述句是一个 命 如“你是一个学生” 、 “我们所使用是教科书是湘教版的”等。 注意：注意：（1）命题必须是一个完整的句子。（2）这个句子必须对某事情作出肯定或者否
3、定的判断，二者缺一不可。 例例 下列句子中不是命题的是( )A 明天可能下雨 B 台湾是中国不可分割的部分 C 直角都相等 D 中国是 2008 年奥运会的举办国 知识点二知识点二 真命题与假命题真命题与假命题如果一个命题叙述的事情是真的，那么称它是真命题；如果一个命题叙述的事情是假的， 那么称它是假命题 注意注意：真、假命题的区别就在于其是否是正确的，在判断命题的真假时，要注意把握这点。例例 下列命题中的真命题是（ ） A 锐角大于它的余角 B 锐角大于它的补角 C 钝角大于它的补角 D 锐角与钝角等于平角 知识点三知识点三 命题的结构命题的结构 每个命题都有条件和结论两部分组成。条件是已知
4、的事项，结论是由已知事项推断出的 事项。一般地，命题都可以写出“如果-，那么-”的形式。有的命题表面上看不具 有“如果-，那么-”的形式，但可以写成这种形式。如：“对顶角相等” ，改写成 “如果两个角是对顶角，那么这两个角相等” 。 例例 把下列命题改写成“如果-，那么-”的形式，并指出条件与结论。 1、同角的余角相等 2、两点确定一条直线知识点四知识点四 证明及互逆命题的定义证明及互逆命题的定义 1、 从一个命题的条件出发，通过讲道理（推理） ，得出它的结论成立，这个过程叫作证明。注意注意：证明一个命题是假命题的方法是举反例，即找出一个例子，它符合命题条件，但它 不满足命题的结论，从而判断这
5、个命题是假命题。 2、 一个命题的条件和结论分别是另一个命题的结论和条件，这两个命题称为互逆的命题， 其中的一个命题叫作另一个命题的逆命题。 注意注意：一个命题为真不能保证它的逆命题为真，逆命题是否为真，需要具体问题具体分析。例例 说出下列命题的逆命题，并指出它们的真假。 （1）直角三角形的两锐角互余； （2）全等三角形的对应角相等。公理与定理公理与定理知识点一知识点一 公理与定理公理与定理 数学中有些命题的正确性是人们在长期实践中总结出来的，并把它们作为判断其它命 题真假的原始依据，这样的真命题叫做公理。 以基本定义和公理作为推理的出发点，去判断其他命题的真假，已经判断为真的命题 称为定理。
6、 注意：注意：（1）公理是不需要证明的，它是判断其他命题真假的依据，定理是需要证明；(2 ) 定理都是真命题，但真命题不一定都是定理。 例 填空：（1）同位角相等，则两直线 ；（2）平面内两条不重合的直线的 位置关系是 ；（3） 四边形是平行四边形。 知识点二知识点二 互逆定理互逆定理如果一个定理的逆命题也是定理，那么称它是原来定理的逆定理，这两个定理称为互逆定理。 注意：每个命题都有逆命题，但并非所有的定理都有逆定理。如：“对顶角相等”就没逆 定理。证明证明知识点一知识点一 证明的含义证明的含义 从一个命题的条件出发，通过讲道理（推理） ，得出它的结论成立，从而判定该命题 为真，这个过程叫做
7、证明。 注意注意：（1）证明一个命题时，首先要分清命题条件和结论，其次要从已知条件出发，运用 定义、公理、定理进行推理，得出结论。（2）证明的过程必须做到步步有据。例. 已知：如图正方形 ABCD 中，E 为 CD 边上一点，F 为 BC 延长线上一点，且 CECF （1）求证：BCEDCF （2）若FDC30，求BEF 的度数。A D E B C F 知识点二知识点二 反证法反证法 从命题结论的反面出发，引出矛盾，从而证明原命题成立，这样的证明方法叫做反 证法。 反证法的关键在于反设所证命题的结论。适用范围：证明一些命题，且正面证明有 困难，情况多或复杂，而否定则比较简单。 反证法证题步骤：
8、（1）假设命题的结论不成立，即假设命题结论的反面成立； （2）从假设出发，经过推理，得出矛盾；（3）由矛盾判断假设不正确，从而肯定命题的 结论成立。 例例 在 ABC 中，A 、B 、C 是它的三个内角。 求证：在A 、B、 C 中不可能有两个直角。三、巩固训练一、填空1.把命题“三边对应相等的两个三角形全等”写成“如果,那么”的形式是_.2.命题“如果22ab ,那么ab”的逆命题是_.3.命题“三个角对应相等的两个三角形全等”是一个_命题(填“真”或“假”).4.如图,已知梯形 ABCD 中, ADBC, AD3,ABCD4, BC7,则B_.5.用反证法证明“b1b2”时,应先假设_.二
9、、选择题1.下列语句中,不是命题的是（ ）A.直角都等于 90 B.面积相等的两个三角形全等C.互补的两个角不相等 D.作线段 AB2.下列命题是真命题的是（ ）A.两个等腰三角形全等 B.等腰三角形底边中点到两腰距离相等C.同位角相等 D.两边和一角对应相等的两个三角形全等3.下列条件中能得到平行线的是（ ）邻补角的角平分线；平行线内错角的角平分线；平行线同位角的平分线；平行线同旁内角的角平分线.A. B. C. D. 4.下列命题的逆命题是真命题的是（ ）A.两直线平行同位角相等 B.对顶角相等C.若ab,则22abD.若(1)1axa,则1x 5.三角形中,到三边距离相等的点是（ ）A.
10、三条高的交点 B.三边的中垂线的交点C.三条角平分线的交点 D.三条中线的交点6.下列条件中，不能判定两个直角三角形全等的是（ ）A.两条直角边对应相等 B.斜边和一锐角对应相等C.斜边和一条直角边对应相等 D.面积相等7.ABC 的三边长, ,a b c满足关系式()()()0ab bc ca，则这个三角形一定是（ ）A.等腰三角形 B.等边三角形C.等腰直角三角形 D.无法确定8.如图，点 E 在正方形 ABCD 的边 AB 上，若 EB 的长为 1，EC 的长为 2，那么正方形 ABCD 的面积是（ ） A.3 B.5 C.3 D.5三、判断下列命题是真命题还是假命题,若是假命题,请举一个反例说明.（1）有一个角是 60的等腰三角形是等边三角形.（2）有两个角是锐角的三角形是锐角三角形.
