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1、数学与应用数学（师范）专业本科插班生考试大纲1高等代数高等代数考试大纲考试大纲考试对象数学与应用数学专升本学生考试目的考生应该理解和掌握高等代数中的映射、数域、一元多项式、n 阶行列式、线性 方程组、矩阵、向量空间、线性变换、欧氏空间、二次型等基本概念、基本知识。要求考生具备逻辑推理、抽象思维与综合分析问题的能力。能运用高等代数中的基本 知识、基本理论进行推理和论证。考生还应熟练掌握高等代数中常用的计算方法，掌握基本运算中的技能、技巧，提高 综合计算和解决问题的能力。考试方法1、考试方法：（闭卷 笔试）2、记分方式：百分制，满分为 100 分3、命题的指导思想和原则命题的总的指导思想是：全面考
2、查学生对本课程的基本原理、基本概念和主要知识点学习、理解和掌握的情况，特别是灵活解决问题的能力。命题的原则是：题目数量多、份量小，范围广，最基本的知识一般要占 60%左右，稍微灵活一点的题目要占 20%左右，较难的题目要占 20%左右。客观性的题目应占比较重的份量。4、题目类型 选择题 填空题 计算题 综合应用题 证明题考试内容及要求一、基本概念(一)知识范围（1）. 映射 映射的定义 满射、单射与双射 映射的相等 映射的合成 逆映射2数域 数域的定义 最小的数域(二)要求1熟记映射、满射、单射、双射的定义，理解它们之间的联系与区别。能根据定 义判定所给的法则是否为映射，为何种映射。理解映射的
3、相等与映射的合成概念。2会正确地判定所给的数集是否为数域。二、一元多项式(一)知识范围1一元多项式的概念、运算及整除性 一元多项式的定义及运算 多项式整除的定义 整除的基本性质 带余除法定理2多项式的最大公因式 数学与应用数学（师范）专业本科插班生考试大纲2因式、公因式、最大公因式的定义 辗转相除法 多项式互素的判别方法多项式互素 的性质3多项式的因式分解 不可约多项式的性质 因式分解存在唯一性定理 多项式的典型分解式4多项式的重因式与根 多项式有无重因式的判断 多项式的值与根 余式定理 综合除法5复数域、实数域、有理数域上的多项式 代数基本定理 复数域上多项式的典型分解式 实数域上多项式的典
4、型分解式 有理 数域上多项式的可约性 艾森斯坦因判别法 有理数域上多项式的有理根 整系数多项式的有 理根(二)要求1理解一元多项式的基本概念，熟记整除的定义，掌握整除的基本性质并会运用 这些性质证明有关的基本问题。熟练掌握带余除法的方法，会用带余除法解决有关的基本问 题。2掌握多项式的最大公因式的定义，熟练应用辗转相除法求最大公因式。理解多 项式互素的概念及性质，初步掌握运用互素的定义及性质证明有关问题的基本方法。3掌握不可约多项式的定义及性质。正确理解多项式因式分解存在唯一性定理， 了解典型分解式的形式及其意义。4正确理解重因式的概念，熟练掌握有无重因式的判定方法。掌握多项式值与根 的定义及
5、余式定理。5理解代数基本定理 掌握复数域、实数域上多项式的典型分解式的特征。熟练掌 握有理系数多项式有理根的求法。三、行列式(一)知识范围1排列 排列的定义 排列的反序数 排列的奇偶性2n 阶行列式 n 阶行列式的定义 子式与代数余子式的概念 行列式的性质 行列式的依行依列展开 范德蒙行列式3克莱姆法则(二)要求1理解排列的有关概念，会计算排列的反序数，确定排列的奇偶性。2深刻理解 n 阶行列式的定义并能利用定义计算行列式。熟练掌握行列式的性质， 能正确地依行依列展开行列式，并能灵活运用行列式的性质和展开定理计算行列式。四、线性方程组(一)知识范围1矩阵的初等变换与矩阵的秩 矩阵的 k 阶子式
6、 用初等变换解线性方程组2齐次线性方程组 齐次线性方程组的定义 齐次线性方程组的零解与非零解 齐次线性方程组有非零解 的条件 齐次线性方程组的基础解系的定义、存在条件及求法3一般线性方程组有解的判别方法及解的求法 一般线性方程组解的结构(二)要求1理解矩阵的 k 阶子式、矩阵的秩与矩阵初等变换的定义。熟练运用矩阵的初等 变换求矩阵的秩和解线性方程组。2准确判定所给的齐次线性方程组有无非零解。在有非零解时，能熟练地求出齐 次线性方程组的基础解系。数学与应用数学（师范）专业本科插班生考试大纲33牢固掌握一般线性方程组可解的判别定理和线性方程组有唯一解及无穷多解的 条件，会用导出齐次线性方程组的基础
7、解系表示一般线性方程组的全部解。五、矩阵(一)知识范围1矩阵的运算及运算律 矩阵可加的条件与加法法则 矩阵可乘的条件与乘法法则 数与矩阵的乘法法则 方 阵的幂2初等矩阵 初等矩阵的性质 初等矩阵与初等变换的联系3矩阵的逆 可逆矩阵与逆矩阵的定义 可逆矩阵的性质 可逆矩阵的判定 逆矩阵的求法4矩阵乘积的行列式与矩阵乘积的秩(二)要求1熟练掌握矩阵各种运算的法则及运算规律2了解初等矩阵的定义、性质及其与初等变换的关系。3理解可逆矩阵的定义、性质，掌握矩阵可逆的判定法则及应用定义,性质证明有 关问题，能熟练运用公式求逆矩阵及初等变换法求可逆矩阵的逆矩阵。六、向量空间(一)知识范围1向量空间及向量的线
8、性相关性 向量空间的定义 向量空间的性质 向量的线性组合 向量的线性表示 向量的线性相 关与线性无关 向量组的等价 极大线性无关组 向量组的秩2基、维数与坐标 向量空间的基的定义 基的性质 向量空间的维数 维数的求法 向量的坐标 坐标的求法 基的过渡矩阵 过渡矩阵的性质 过渡矩阵的求法 基变换公式 坐标变换公式3子空间 子空间的定义 子空间的判别定理 子空间的交与和 生成子空间 子空间的基与维数 维数公式4欧氏空间内积与欧氏空间的定义 内积的性质 向量的长度 向量的夹角 柯西不等式 向量的 正交 正交向量组 标准正交基 标准正交化方法(二)要求1熟记向量空间的定义、性质，深刻理解向量线性相关性
9、的一系列概念，灵活运 用上述概念、性质判断或证明有关的问题。2掌握常见的向量空间的基、维数、坐标及过渡矩阵的求法。3理解子空间、交子空间和子空间、生成子空间的概念，掌握子空间的判别方法 及维数公式的应用。4熟记内积与欧氏空间的有关概念，会计算内积、向量的长度、夹角和标准正交 基。七、线性变换(一)知识范围1线性变换及其运算线性变换的定义 线性变换的性质 线性变换的和 数与线性变换的乘积 线性变换的 合成(线性变换的乘积) 线性变换的方幂 线性变换运算的运算律2线性变换的矩阵 线性变换的矩阵的定义 线性变换下像向量的坐标 矩阵相似的定义 相似矩阵的性质 数学与应用数学（师范）专业本科插班生考试大
10、纲4线性变换关于不同基的矩阵的相似关系 在一个确定基下线性变换与矩阵间的 11 对应关系 线性变换可逆的条件3线性变换和矩阵的特征值、特征向量 特征值 特征向量 特征多项式的定义 特征多项式的求法 特征值的求法 特征向量 的求法4矩阵的对角化矩阵对角化的定义 矩阵可对角化的条件矩阵对角化的方法(二)要求1掌握线性变换的定义、性质和基本运算，熟练判断所给的变换是否为线性变换。2掌握线性变换矩阵的定义、矩阵相似的定义，会运用线性变换的矩阵计算像的坐 标。深刻理解线性变换关于不同基的矩阵彼此相似。3掌握线性变换和矩阵的特征值、特征向量的概念，注意线性变换的特征值、特征 向量与矩阵的特征值、特征向量的
11、联系和区别。熟练掌握特征值、特征向量的求法。4理解线性变换与矩阵可对角化的含义，熟练掌握可对角化的条件和对角化的方法。 对实对称矩阵 A 会求正交矩阵 U，使得 UAU 为对角形。八、二次型(一)知识范围1二次型及其矩阵表示二次型的矩阵 二次型的秩 变量的线性变换 变量的非退化线性变换 二次型的等价 矩阵合同的定义及性质 等价二次型的矩阵合同 任一对称矩阵必与对角矩阵合同2二次型的标准形化二次型为平方和的方法 二次型的标准型(系数为1 的平方和形式) 化二次型为 标准形的方法 实二次型的正惯性指标、负惯性指标、符号差 复二次型、实二次型标准形的 唯一性3正定二次型正定二次型的定义 正定矩阵的定义 正定二次型的判定 正定矩阵的判定(二)要求1理解二次型及矩阵合同的有关概念，明确施行非退化线性变换前后的两个二次型 是等价的，它们的矩阵是合同的。会利用矩阵的初等变换把对称矩阵化为与之合同的对角矩 阵。2理解二次型的平方和、标准形及实二次型的惯性指标、符号差的概念，掌握化二 次型为平方和及标准形的方法3熟记正定二次型、正定矩阵的定义及性质，掌握正定二次型与正定矩阵的判别方 法。参考书目 1.(第五版) 张禾瑞 郝炳新 高等教育出版社 2.高等代数 ，北京大学数学系几何与代数教研室代数小组，北京：高等教育出版社， 2003，第三版数学与应用数学（师范）专业本科插班生考试大纲5
