《(no.1)2013年高中数学教学论文 一类递推数列问题的解决与延伸》由会员分享，可在线阅读，更多相关《(no.1)2013年高中数学教学论文 一类递推数列问题的解决与延伸（4页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、知识改变命运 百度提升自我用心 爱心 专心1本文为自本人珍藏 版权所有 仅供参考一类递推数列问题的解决与延伸一类递推数列问题的解决与延伸已知数列an,a1=a,an+1=pan+q(p1,q0 是常数),求数列an的通项公式 an,是高中 常见的递推数列问题.这类数列通常可转化为，或消去常数转化为二阶递推式1()nnap a，或归纳猜想证明.211()nnnnaaq aa例.已知数列中，,求的通项公式na11121(1)nnaaan，na解析:解法一 （待定系数法）转化为型递推数列1()nnap a又，故数列121(1)nnaan ，112(1)(1)nnaan ，112a 1na 是首项为，
2、公比为的等比数列，即12nna 21n na 解法二 （差分法形成差数列）转化为型递推数列211()nnnnaap aa=2an+1(n1) =2an +1+1 1na2na，得(n1)，故是首项为 a2-a1=2，公2112()nnnnaaaa1nnaa比为的等比数列，即，再用累加法得1 12 22nn nnaa g21n na 解法三用迭代法2123 1221212(21) 122 12222 121nnnn nnnnaaaaa LL解法四.归纳猜想证明法,11121(1)nnaaan，猜想：.用数学归纳法证明(证明略).2343715a,a,a,L21n na 这类递推数列解决后, 其他
3、类型的递推可以转化并解决.类型一: 1(,1,1)n n+na= qa +dp,dqd为非零常数这类数列可变换成，令，则转化为型.1 11nn nnaaq dd dd gn nnabd1nnbpbq例 2.设数列求数列的通项公式11132 (*)n nnnaaaanN满足：，.na解 析:，两边同除以，得令，则有132nnnaa12n1 131 22 22nn nnaa g2n nnab 于是，得，数列是以首项为，公131 22nnbbg131(1)2nnbb 1nb 37144 知识改变命运 百度提升自我用心 爱心 专心2比为的等比数列，故，即，从3 21731( )42n nb g173(
4、 )142n nbg而2117 323nn nagg类型二: 1( ,n n ncaac dad为非零常数）；若取倒数,得，令，从而转化为型.1111nnd ac acg1n nba1nnbpbq例 3. 已知数列中满足，求数列的通项. na11a 131n n naaana解：数列 中， ，Q na11a 131n n naaa，即1113nnaa1113nnaa数列是以公差为 3 的等差数列.1na111,a111 (1) 3,32nnnnaa 即1 32nan()nN类型三: 1(00,0,1)p n+nna= caa,cpp这类数列可取对数得，从而转化为数列.1lglglgnnapac
5、1nnbpbq例 4. 已知数列中满足，求数列的通项. na11a 5 110,nnaa nana解: ， Q11a 5 110,nnaa151nnlg alg a.111544nnlg alg a.是以为首项,5 为公比的等比数列.1 4nlg a1 41151141151044n n nnlg aa.类型四:可转化为21nnnapaqa1 nnap aq例.设数列求数列的通12215521(*)333nnnnaaaaaa nN满足：，.na项公式知识改变命运 百度提升自我用心 爱心 专心3分析: 设法把分给.转化为1na1na2na1 nnap aq解:由可得2152(*)33nnnaaa
6、 nN，2111222()(*)333nnnnnnaaaaaanN.设11212521333nnnnbaabbaa ，则是公比为的等比数列，且，故即用累加法得2(*)3nbnNn（）12(2)3nnaann-1（）12 111221222()()()( )( )333nn nnnnnaaaaaaaa LL，11221112()()()222( )( )1333nnnnnnnaaaaaaaaLL21 ( )2331 ( ) 2313nn ) .解决这类问题,还可使用下面的定理 定理:在数列中， ，为初始值它的特征方 naNnqapaannn1221,aa程的两根为，则（）当时，；（）当qptt2
7、,11nn nBAa时 （证明略）1n nBAna解法 2: 递推关系对应的特征方程为:22352013,.则 11 122133nn nnaABAB. 由得:12513，aa12132522333aABABA aABBAB 122323333nnna.例:在数列求数列的通12211(*)nnnnaaaaaa nN中，已知，na项公式解:令使数列是以 为公比的等比数列(待定)1nnnbaa，nb, 即对照已给递推式， 有211()，nnnnaaaa21()nnnaaa知识改变命运 百度提升自我用心 爱心 专心4即的两个实根11 ，210axx 、是方程从而15151515 2222，；或， 211151515(222nnnnaaaa)或 211151515(222nnnnaaaa)由式得；由式得11515()22n nnaa11515()22n nnaa消去11515()()22nn nnaa，得
