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1、高考题中复合函数的单调性问题高考题中复合函数的单调性问题函数单调性是函数的核心内容之一，也是高考中重点考查的知识，又多以 考查复合函数的单调性居多. 复合函数的单调性的复合规律为：若函数 y=f(u) 与 u=g(x)的增减性相同(相反)，则 y=fg(x)是增(减)函数，可概括为“同增 异减” .为了帮助考生对复合函数的单调性进一步有一个全面的认识，本文结 合高考题，对复合函数的单调区间的求法及单调性的应用加以归纳总结，供考 生在复习中参考. 一、外函数与内函数只有一种单调性的复合型：一、外函数与内函数只有一种单调性的复合型： 例例 1 (95全国理)已知函数 y=loga(2-ax)在0,
2、1上是 x 的减函数，则 a 的取 值范围是( )(A).(0,1) (B).(1,2) (C).(0,2) (D). 2，+)解解：设 y= logau，u=2-ax，a 是底数，所以 a0， 函数 y=loga u 在 u0,1上是减函数，而 u=2-ax 在区间 x0,1上 是减函数， y= logau 是 u(0, +)上的增函数，故 a1，还要使 2-ax0 在区间上总成立，令 g(x)= 2-ax，由 ，解得 a0 知函数的定义域为 x0，因 y= log0.5u在 u(0,+)上是减函数，而u= x2+4x+4 在 x(-，-2)上是减函数， 在(-2，+ )上是增函数，根据复合
3、规律知， 函数 y=log0.5(x2+4x+4) 在 x(-，-2)上是增函数. 三、外函数有两种单调性，而内涵数只有一种单调性的复合型：三、外函数有两种单调性，而内涵数只有一种单调性的复合型：例例 3 (96全国理)在下列各区间中，函数 y=sin(x+)的单调递增区间是( )4(A).， (B).0， (C).-，0 (D). ，244 2解解：令 y=sinu，u=x+，y=sinu在 u 2k- ，2k+ (kZ)上单422调递增，在 u 2k+ ，2k+ (kZ)上单调递增，而u=x+在 R 上是2324增函数，根据函数单调性的复合规律，由 2k- x+2k+ 得2422k- x2
4、k+，当 k=0 时，- x，而0，- 3443444，344故选(B) .四、外函数与内函数都有两种单调性的复合型：四、外函数与内函数都有两种单调性的复合型： 例例 3 (89全国理)已知函数 f(x)=8+2x-x2，如果 g(x)=f(2-x2)，那么 g(x) ( )(A).在区间(-1，0)上是减函数； (B).在区间(0， 1)上是减函数；(C).在区间(-2，0)上是增函数； (D).在区间(0， 2)上是增函数.解解：令 g(x)=f(u)=-(u-1) 2+9，u=2-x2，则(1) g(x) =-(u-1) 2+9 在 u-，1上是增函数，与 u=2-x2具有相同的增减性， 由 2-x21 得 x-1 或 x1，而 u 在 x-，-1上是增函数， u 在 x1,+上是减函数，g(x)在区间-，-1上是增函数, 在区间1，+上是减函数.(2) g(x) =-(u-1) 2+9 在 u1,+上是减函数，与 u=2-x2具有相反的增减性， 由 2-x21 得 -1x1，而 u=2-x2在 x -1,0 上是增函数， 在 x(0， 1)上是减函数，g(x) =-(u-1) 2+9 在区间-1，0上是减函数, 在区间(0，1)上是增函数. 故选(A).
