《名校之门2011届高三数学精品复习之(24)导数的定义及几何意义》由会员分享，可在线阅读，更多相关《名校之门2011届高三数学精品复习之(24)导数的定义及几何意义（5页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、20112011 届高三数学精品复习之导数的定义及几何意义届高三数学精品复习之导数的定义及几何意义1xxfxxfxf x )()(lim)(0000/叫函数)(xfy 在0xx 处的导数，记作 0|/ xxy。注：函数应在点0x的附近有定义，否则导数不存在。在定义导数的极限式中，x趋近于 0 可正、可负、但不为 0，而y可能为 0。xy 是函数)(xfy 对自变量x在x范围内的平均变化率，它的几何意义是过曲线)(xfy 上点（0x，)(0xf）及点（0x+x，)(00xxf）的割线斜率。导数xxfxxfxf x )()(lim)(0000/是函数)(xfy 在点0x的处瞬时变化率，它反映的函数
2、)(xfy 在0x点处变化的快慢程度，它的几何意义是曲线)(xfy 上点（0x，)(0xf）处的切线的斜率。若极限xxfxxfx)()(lim000不存在，则称函数)(xfy 在点0x处不可导。如果函数)(xfy 在开区间),(ba内每一点都有导数，则称函数)(xfy 在开区间),(ba内可导；此时对于每一个x),(ba，都对应着一个确定的导数)(/xf，从而构成了一个新的函数)(/xf，称这个函数)(/xf为函数)(xfy 在开区间),(ba内的导函数，简称导数；导数与导函数都称为导数，这要加以区分：求一个函数的导数，就是求导函数；求一个函数在给定点的导数，就是求导函数值。举例 1若2)(0
3、/xf，则kxfkxfk2)()(lim000等于：(A) -1 (B) -2 (C) 1 (D) 1/2解析：2)(0/xf，即kxfkxfk)()(lim000=2kxfkxfk2)()(lim000=-1。举例 2 已知0,an为正整数奎屯王新敞新疆设()nyxa，证明1()nyn xa解析：本题可以对()nyxa展开后“逐项”求导证明；这里用导数的定义证明：xaxaxxynnx )()(lim 0/=xaxxCxaxCxaxCaxnnn nn nn nnx)()()()()()(lim222110L=xxCxaxCxaxnnn nn nnx)()()()(lim22210L=)()()
4、()()(lim12332210nn nn nn nnxxCxaxCxaxCaxnL=1)(naxn。来源:学_科_网 Z_X_X_K巩固 1一质点作曲线运动，它的位移 S 与时间t的关系为：2 221tttS ，试用导数的定义求t =3 时的速度。来源:学#科#网来源:学科网 ZXXK巩固 2设 C 是成本，q 是产量，成本与产量的函数关系式为 CC（q） ，当产量为0q时，产量变化q对成本的影响可用增量比qqCqqC qC )()(00刻划. 如果q无限趋近于 0 时，qC 无限趋近于常数 A，经济学上称 A 为边际成本. 它表明当产量为0q时，增加单位产量需付出成本 A（这是实际付出成本
5、的一个近似值） 。设生产 x 个单位产品的总成本函数是 C(x)882x，则生产 8 个单位产品时，边际成本是： （ ） 来源:Zxxk.ComA2B8C10D162常用导数公式：0c,1)(nnnxx,xxee/)(，xx1)(ln/；导数的运算法则：若函数)(xf与)(xg的导数存在，则)( )( )()(xgxfxgxf,来源:学科网)( )(xfcxcf，)()()()()()(/xgxfxgxfxgxf；)()()()()()()(2/ / xgxgxfxgxf xgxf（这个公式很容易记错，注意和“积的导数”对比）；复合函数的导数：由)(ufy 与u=)(x得到复合函数fy )(x
6、，则 xy= uy. xu。举例 1已知xfxxxf) 1 ()(/23，则)2(/f= 。解析：) 1 (/f是常数，1) 1 (23)(/2/xfxxf) 1 (/f=3+2) 1 (/f-1) 1 (/f= -2143)(2/xxxf，故)2(/f=3。举例 2 Nn，n nnnnnCCCCL32132= 。解析：本题可以用“倒序相加”法，也可以用“通项变化”法（kk nC= n1 1 k nC） ；这里，我们观察nn nnnnnnxCxCxCxCCxL332210)1 ( ，不难发现其通项kk nxC求导后的系数正是所求“项” ；故考虑对式两边同求导数，得：1232132)1 (nn
7、nnnnnxnCxCxCCxnL，令x=1 得：n nnnnnCCCCL32132=nn 2 来源:学科网 ZXXK巩固 1 已知2( )1ln2 ln (0)f xxxax x 令( )( )F xxfx，则)(/xF= 。巩固 2已知函数) 1() 13)(12)(1()(nxxxxxfL，则)0(/f的值为：来源:学科网A2 nC B2 1nC C2 nA D2 1nA来源:学科网 ZXXK 3函数)(xf在0xx 处的导数)( 0xf的几何意义：曲线)(:xfyC在其上点0(xP，)0y处的切线的斜率。用导数研究切线问题，切点切点是关键（切点在切线上、切点在曲线上、切点横坐标的导函数值
8、为切线斜率）。举例 1曲线1 2exy 在点2(4e )，处的切线与坐标轴所围三角形的面积为（ ）来源:学。科。网 Z。X。X。K29e224e22e2e （07 高考海南理 10）解析：1 2exy xey21 / 21，则曲线在点2(4e )，处的切线斜率为：2 21e，切线方程为：)4(2122xeey，它与坐标轴的交点分别为：（2，0） ， （0，-2e） ；切线与坐标轴所围三角形的面积为：2e，选 D。举例 2函数)(xfy 的图象在点 P 处的切线方程是：8xy，若点 P 的横坐标为5，则)5()5(/ff= 。解析：本题没有函数表达式，但有切线方程8xy，注意到“切点在切线上”
9、，P（5，3） ；又“切点在曲线上” ，3)5(f；而曲线)(xfy 在点 P 处的切线斜率为)5(/f，即)5(/f=-1，故)5()5(/ff=2。举例 3已知直线10xy 与抛物线2yax相切，则_.a 解析：本题固然可以将直线方程带入抛物线方程中，使得到的一元二次方程的判别式 =0， 从而求出a的值；但这种做法只限于二次曲线，若将抛物线换成其它的非二次曲线，则此路不通。以下用“导数”求解：“切点”是关键，记切点 P（0x，0y） ，axy2/，则有：0100 yx （切点在切线上）；2 00axy （切点在曲线上）02ax=1 （切点横坐标的导函数值为切线斜率）；由解得：41a。巩固
10、1已知函数( )yf x的图象在点(1(1)Mf，处的切线方程是122yx，则(1)(1)ff （07 高考湖北文 13）巩固 2点 P 是曲线323xxy上的动点，设点 P 处切线的倾斜角为，则的取值范围是 A、 2, 0B、 ,43 2, 0 C、 ,43D、 43,2巩固 3若直线 y=x 是曲线 y=x3-3x2+ax 的切线，则 a=_4、注意区分“求曲线)(xfy 上过点 M 的切线”与“求曲线)(xfy 上在点 M 处的切线”；来源:学科网 ZXXK前者只要求切线过 M 点，M 点未必是切点；而后者则很明确，切点就是 M 点。举例求函数 y=x3-3x2+x 的图象上过原点的切线
11、方程 解析：易见 O（0，0）在函数 y=x3-3x2+x 的图象上，y=3x26x+1,但 O 点未必是切点。 设切点 A（x0,y0）y=3x26x+1, 切线斜率为 3x026x0+1,又切线过原点，00 xykAO=3x026x0+1 即：y0=3x036x02+x0 来源:Zxxk.Com又切点 A（x0,y0）y=x3-3x2+x 的图象上y0=x033x02+x0 由得：x0 =0 或 x0 =23，切线方程为：y=x 或 5x+4y=0点评：一般地,过三次曲线的对称中心（不难证明三次曲线一定是中心对称图形，且对称中 心在曲线上）的切线有且仅有一条；而过三次曲线上除对称中心外的任
12、一点的切线有二条。 以下给出简单证明（不要求学生掌握）：由于三次曲线都是中心对称曲线，因此，将其对称中心移至坐标原点便可将三次函数的解析式简化为bxaxxf3)(。若 M（x1，y1）是三次曲线bxaxxf3)(上的任一点，设过 M 的切线与曲线 y=f（x）相切于（x0，y0） ，则切线方程为)(000xxxfyy，因点 M 上此切线上，故)(01001xxxfyy，又13 1103 00,bxaxybxaxy，所以)(3()(012 003 013 1xxbaxbxaxbxax，整理得：0)2()(102 10xxxx，解得，10xx 或21 0xx。 当点 M 是对称中心即1x=来源:学+科+网 Z+X+X+K-21x=0 时，过点 M 作曲线的切线切点是惟一的，且为 M，故只有一条切线；当点 M 不是对称中心即01x时，过点 M 作曲线的切线可产生两个不同的切点，故必有两条切线，其中一条就是以 M 为切点（亦即曲线在点 M 处）的切线。巩固 曲线32242yxxx上过点(13)，的切线方程是 答案答案1巩固 1 27323，巩固 2A，2、巩固 1 22( )10xF xxxx ，；巩固 2B；3、巩固 1 3，巩固 2B，巩固 31 或413；4、巩固025 yx，或09421yx
