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1、1含有一个量词的命题的否定含有一个量词的命题的否定要想对含有量词的命题进行否定，应首先判断此命题是全称命题还是存在性命题，也就是要找出 语句中的全称量词或存在性量词。 一、全称命题与存在性命题的判断 全称量词一般包括短语“所有” 、 “任意一个” 。常见的全称量词还有：“一切的” 、 “每一个” 、 “任 给” 、 “全体” 、 “全部”等等。全称量词在陈述中表示所述事物的“全体”或“全部” 。全称量词的特定符 号是“” 。含有全称量词的命题叫做全称命题。也就是说，全称命题一般都含有全称量词。 存在性量词一般包括短语“存在一个” 、 “至少有一个” 。常见的存在性量词还有：“有一个” 、 “有
2、 的” 、 “有些” 、 “某些” 、 “某一个”等等。存在性量词在陈述中表示所述事物的“个体”或“部分” 。存在 性量词的特定符号是“” 。含有存在性量词的命题叫做存在性命题。也就是说，存在性命题一般都含有 存在性量词。 二、全称命题与存在性命题的否定 1全称命题的否定一般地，设( )p x是某集合M的所有元素都具有的性质，那么全称命题就是形如“对M中的所有x，( )p x”的命题。用符号记为“xM ，( )p x” ，其否定命题为“xM ，( )p x” 。例 1：写出下列命题的否定：（1）对任意的实数x，y都有222xyxy；（2）每一个四边形的四个顶点共圆；（3）xZ ，2x的个位数不
3、等于 3。解析：每个命题都含有全称量词，所以都为全称命题，首先将全称量词“任意的” 、 “每一个” 、 “ xZ ”改为存在性量词“存在” 、 “存在一个” 、 “ xZ ” ，然后否定性质即可。（1）存在实数x，y有222xyxy；（2）存在一个四边形的四个顶点不共圆；（3）xZ ，2x的个位数等于 3。评注：从命题形式看，全称命题的否定是存在性命题 2存在性命题的否定一般地，设( )q x是某集合M的有些元素具有的某种性质，那么存在性命题就是形如“存在集合M中的元素x，( )q x”的命题。用符号记为“xM ，( )q x” ，其否定命题为“xM ，( )q x” 。例 2：写出下列命题的
4、否定： （1）有些实数的绝对值是正数； （2）某些平行四边形是菱形；（3）xR ，210x 。解析：每个命题都含有存在性量词，所以都为存在性命题，首先将存在性量词 “有些” 、 “某些” 、“ xR ”改为全称量词“所有” 、 “每一个” 、 “xR ” ，然后否定性质即可。 （1）所有实数的绝对值都不是正数；2（2）每一个平行四边形都不是菱形；（3）xR ，210x 。评注：从命题形式看，存在性命题的否定是全称命题。在具体的解题过程中，对于全称命题就是把全称量词改成存在性量词，即把“xM ”改成“xM ” ，并把量词所具有的性质进行否定，即( )p x改成( )p x，最后得到结论“xM ，
5、( )p x” 。对于存在性命题就是把存在性量词改成全称量词，即把“xM ” 改成“xM ” ，然后把量词所具有的性质进行否定，即( )q x改成( )q x，最后得到结论“xM ，( )q x” 。例 3：写出下列命题的否定，并指出原命题及其的真假（1）存在一个xZ，使 246x；（2）|xx x 是无理数，2x是无理数。解析：首先弄清楚是全称命题存在性命题，再针对不同形式加以否定，最后作出真假判断。（1）否定：对任意一个xZ，都有246x。 由于存在1x ，使 246x，成立，所以“存在一个xZ，使 246x ”是真命题。 原命题与其否定真假相反，所以其否命题是假命题。（2）否定：|xx
6、x 是无理数，2x是有理数。由于存在2x ，使22x 是有理数，所以命题的否定是真命题。原命题为假命题。跟踪训练：1、已知命题:px R，sin1x，则（ ）:px R，sin1x :px R，sin1x:px R，sin1x :px R，sin1x 【答案答案】：C C【分析分析】：p是对p的否定，先否定量词，再否定性质。故有：,x Rsin1x 。2、命题“xR，3210xx ”的否定是（ ）不存在xR，3210xx 存在xR，3210xx 存在xR，3210xx 对任意的xR，3210xx 【答案答案】:D 【分析分析】：注意两点：1）存在性量词变为全称量词；2）只对结论进行否定。 3、
7、下列命题中真命题的个数是（ ）（1）xR ，0x ；（2）至少有一个整数，它既不是合数，也不是素数；（3）实数的平方大于或等于零；（4）对所有的045oo，都有sincos。1 个 2 个 3 个 4 个 【答案答案】:D3【分析分析】：（1）存在1x ，使0x ，故为真命题；（2）1 既不是合数，也不是素数，故为真命题；（3）显然为真命题；（4）对所有的045oo，sincos，故为真命题。当原命题不好判断真假时，可从其否定入手。 4、写出下列命题的否定，并判断其真假。（1）p：x R，2104xx；（2）q：所有的正方形都是矩形；（3）r：xR ，2220xx；（4）s：至少有一个实数x，使310x 。解析：这四个命题中，p、q是全称命题，r、s是存在性命题，全称命题“xM ，( )p x” ，其否定命题为“xM ，( )p x” 。存在性命题“xM ，( )q x” ，其否定命题为“xM ，( )q x” 。（1）p：xR ，2104xx，这是假命题，因为x R，2211()042xxx恒成立。 （2）q：至少存在一个正方形不是矩形，假命题。（3）r：x R，2220xx，真命题，这是由于x R，2222(1)1 10xxx 成立。（4）s：x R，310x ，假命题，这是由于1x 时，310x 。
