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1、分形理论在农业水土工程中的应用丁邵宇1，佟长福2，周慧1，毕利格1（1.内蒙古鄂托克旗水务和水土保持局，内蒙古鄂尔多斯016100；2.水利部牧区水利科学研究所，内蒙古呼和浩特010010）摘要：本文介绍了分形与分维数的基本概念以及分维数的几何意义，并重点论述了分形理论在农业水土工程研究中的应用情况。分形理论作为一个研究性非线性问题的数学手段已经开始在各学科中广泛应用，并显示了其强大的生命力。关键词：分形分维数 农业水土工程1.引言引言农业水土工程主要研究合理利用水土资源为农业服务。水资源和土壤的特性随时间、气候和地理位置等因素而变化，因而表现出一定的随机性，其属性也具有非周期性和不规则性的特
2、点。由于发生在土体内的物理、化学、生物等过程相互影响、同时进行，再加上外部的各种地质过程与现代人为措施的影响，导致形成了土壤这一形态与演化过程都十分复杂的自然体。土壤属性、各过程的复杂性和水资源在时空分布上的不均匀性使得研究者们对其定量化描述和模拟的精确性得到了限制。分形理论是非线性科学研究中一个十分活跃的分支，它的研究对象是非线性系统中不光滑、不可微和极不规则的几何形体，揭示了非线性系统中有序和无序的统一、确定性和随机性的统一。分形理论经过几十年的发展，已经成为一门重要的新学科，被广泛应用于生物学、物理学、化学、计算机图形学、地震学、材料学、经济学等自然科学和社会科学研究中，成为当今国际上许
3、多学科的前沿研究学科之一。2.分形理论概述分形理论概述分形理论最初是 Mandelbrot 提出来的，后来 Burough 将 Mandelbrot 提出的分形(Fracta1)和分维(Fractal dimension)概念应用到自然生态和环境科学领域。分形是指组成部分以某种方式与整体相似的几何形态，或是指在很宽的尺度范围内，无特征尺度却有自相似性和自仿射性的一种现象。所谓自相似性是指物体局部结构放大与整体相似的特征，即无论怎样变换尺度来观察一物体，总是存在更精细的结构并且其结构总是相似的。级别愈接近，相似程度愈大；反之，则愈小。当超出某一范围(无标度区)时，相似性消失。分形理论中判断某物体
4、是否分形，主要基于下述假设：用某种尺度 r 对其某特征进行空间度量，则相应于这个尺度有一个测度 M(r)；改变尺度 r，测度 M(r)也会随之改变。如果尺度、测度之间服从标度不变规律：，式中， 为尺度比，D 为标度指数（即分维） ，那么认为物体形态具有分形性质：其空间结构特征不随尺度改变而变化。分形维数(简称分维数)是分形理论中最核心的概念与内容它是度量不规则物体或分形体最主要的指标。分维数不同，物体的复杂程度或它的动态演化过程就不同。Mandelbrot 最先提出分数维(Fractal Dimension)的概念,建立了分形几何学。经典的几何方法和计算方法已经不适合用来研究分形，需要采用一种
5、新的方法。分形几何的主要工具是它的许多形式的维数，即分形维数。人们已经习惯于这样的思想，一条光滑的曲线是一维的，而一个曲面是二维的。一般地，一个集由 m 个与它相似、相似比为 r 的部分组成，可以认为具有维数：用这种方法得到的数学一般称为集的相似维数。但是相似维数只对严格自相似这一小类的集有意义。然而还存在能更广泛应用的维数的其他定义，例如拓朴维数、豪斯道夫维数、盒计维数、相似维数、信息维数和关联维数。通过分维数,我们可以度量和刻画研究对象的几何复杂程度和充斥空间的能力,对不规则但又具自相似特性的几何形体的复杂程度进行定量的比较，为人们认识复杂事物提供了一种新途径。3.分形理论在农业水土工程中
6、的应用分形理论在农业水土工程中的应用分形原理最初是由 Mandelbrot 于1977年引入地理水文学的，作为分形现象的一个例子，他通过河流的分形特征给出了河长与流域面积的关系。1992年美国纽约州立大学地质系的学术年会上首次提出了“分形地貌学(Fractal Geomorpho1ogy)一词。分形理论作为一门年轻的科学，其理论研究和应用研究都有待于进一步发展，特别是在我国，分形原理及其应用在国内才刚刚起步不久。3.1 水文水资源中应用分形理论在水文水资源中应用主要包括以下几个方面：河流、渠网排水网；降雨时空分布；土壤水与地下水等方面。3.1.1河流、渠网和排水网分形特征河流形态、流域水系分形
7、是分形特征研究最为成熟的领域。包括流域水系分形，河道形态分形、河网分维数确定等。对水系河网结构分形特征的研究最早追溯到1932年 Horton 对河网级次划分的研究，研究表明河网级次是一个自相似的分形集。60年代以来，水系定量研究十分活跃，研究取得了长足进展，新成果和新方法不断出现。Gupta（1989）证明在一定尺度上可能存在自相似性。Babera 等（1989）提出理论上的河道分为公式。Rosso 等（1991）推出主河道与流域面积的分形关系。Rodriguez-Iturbe 等（1994）运用矩形法研究了意大利北部一个2200km2流域，计算了其多重分形谱。罗文峰等人研究了分枝结构分分形
8、特征，讨论了其在河网中意义。金德生等（1997）对河道纵剖面分形进行了研究。渠网和排水网分形特征研究主要包括：树状渠网的分形分析和地面排水网分形分析。3.1.2降雨时空分布分形特征降雨时空分布分是水文学家门一直关心的一个重要课题，同时也是气象学家关心的问题，因此对它的研究最为活跃。研究降雨时空分布的一个方面是对其进行分形分析，计算分形维数或多重分形谱。对分形维数计算，较河流、城镇布局等研究更为复杂。目前，主要有以下两种类型：一类是将时间序列看作具有自相似的一维点的序列，计算其分形维数，这种分形维数多为容量维数；另一类是根据已知的时间序列重构空间，即先用时间序列数据支撑起一个 m 维空间，后计算
9、其吸引子维数。Lovejoy 和 Schertzer（1987）计算了降雨空间分布的盒子维数。Svensson 等（1987）计算了两个不同条件下日降雨过程的多重分形谱。Deidda 等（1999）建立了基于小波基的串基倍增模型模拟降雨的时空分布。此外，Knmar 等人还将分形方法与小波方法结合起来，分析了降雨场中不同尺度分量的自相似性。张娜等（2006）运用分形理论计算了该区域降雨的分形维数，并分析了所反映的降雨特征3.1.3土壤水与地下水分形特征土壤水和地下水分形特征研究包括湿地的分布、土壤的分形结构和水分在分形介质中的运动等方面。Tchigurinskaia 等（2000）分析湿地的单分
10、形和多分形性质。Loague 等（1997）研究了土壤水、下渗和地下水的尺度问题对汇流过程的影响。Molz 等（1997）对水力传导度空间分布的分形性质进行了研究。陶涛等（2004）在分形理论的基础上提出了基于分形拼贴定理和分形插值函数迭代生成过程对需水量进行了预测。3.2 农业土壤中应用土壤分形特征研究主要包括：土壤水力特性分形特征、土壤粒径分形特征和土壤孔隙结构分形特征。3.2.1土壤水力特性分形特征根据分形参数的预测值和建立土壤水力传导率的分形模型来确定土壤的传导率。研究田间土壤优先流形式的分维特征，评价不同土壤中，分形对土壤水分扩散率的影响以及由此引起的其它问题。根据土壤颗粒粒径分布和
11、分形理论来确定土壤水分保持力的关系。Tyler 等(1988,1990)根据 Mandelbrot 提出的颗粒数目与尺寸标度的关系，研究了土壤颗粒 PSD 分形与土壤持水性的关系。Rawls 等(1993)应用分形原理研究了土壤水分的一些性质。刘云鹏(2002)运用分形理论探讨了土壤质地及结构状况对水分保持及运动的影响。3.2.2土壤粒径分形特征土壤粒径分形特征是研究土壤多孔性变化特征。Turcotte(1986)对连续分布的分散介质的分形特征进行了研究，提出了分散介质颗粒的数量与介质粒径分形关系。杨培岭等(1993)提出了用粒径重量分布资料表征的土壤分形模型并用此模型分析了华北地区四种典型质
12、地的土壤(粗砂、细砂、壤土和粘土)的分形特。佟金等(1994)研究了土壤颗粒尺寸的分布，分析了土壤 PSD 分维和土壤颗粒表面分维对土壤粘附力的影响。詹卫华(2000) 根据粒径的重量分析方法和土壤机械组成，计算出不同地区的10种土壤结构分形维数。3.2.3土壤孔隙结构分形特征应用孔隙分布数据建立土壤分维数模型和土壤孔隙结构分维模型，进行层状土湿峰不稳定性的分形度量。徐永福等(1997)通过分析宁夏膨胀土的颗粒分布，得到了土粒分形分布的分维，并推算出了孔隙分布的分维。王康等（2004）对土壤水分特征曲线进行了分形研究，建立了土壤孔隙和粒径分布的不完全分形模型。现代自然科学和技术的发展，正在改变
13、着传统的学科划分和科学研究的方法，分形理论作为一种崭新的研究手段正渗透到各个学科领域，应用于不同学科中的各个复杂系统，它不仅可以解决用传统方法无法或很难解决的许多问题，而且可以探索新的规律。在土壤溶质运移问题、土壤形态和土壤结构、土壤水分运动与保持、降水与旱涝问题等方面都可以运用分形原理结合其他数学方法(混沌理论、时间序列分析、统计学)进行研究。随着研究的进一步深入，分形理论及其分类(自相似分形、自仿射分形、近似自相似分形、统计自相似分形等)必将细化，多重分形也在深度上有所发展。4.结语结语分形理论在农业水土工程中应用研究最为成熟的领域包括：流域水系、流域地形地貌和水文序列的分形特征研究。随着
14、分形理论的完善和发展，分形理论在农业水土工程的其它领域应用会得到进一步发展。农业水土工程中的时间序列的分维数计算方法，将是今后研究的热点。参考文献1谢和平,薛秀谦.分形应用中的数学基础与方法M.北京:科学出版社,1998,16462徐建华.现代地理学中的数学方法(第二版)M.北京:高等教育出版社，20023陈绍英,王启文.分形理论及其应用J.呼伦贝尔学院学报,2005,13(2):59634Witten T A,Sander L M.Difusion-limited aggregation,a kinetic critical phenomenon.Phys.Rev.Lett.1981，47(
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