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1、指数函数、对数函数习题精讲指数函数、对数函数习题精讲一、指数及对数运算例 1 （1）已知 x +x=3,求的值21 21322223 23xxxx（2）已知 lg(x+y)+lg(2x+3y)lg3=lg4+lgx+lgy,求值.yx（1） 【分析】 由分数指数幂运算性质可求得 x +x和 x2+x2的值.23 23【解】 x +x=321 21x +x=(x +x)33(x +x)=3333=1823 2321 2121 21x2+x2=(x+x1)22=(x +x)222221 21=(322)22=47原式=347218 52（2） 【分析】 注意 x、y 取值范围，去掉对数符号，找到
2、x、y 关系式. 【解】 由题意可得 x0,y0,由对数运算法则得 lg(x+y)(2x+3y)=lg(12xy) 则(x+y)(2x+3y)=12xy (2xy)(x3y)=0 即 2x=y 或 x=3y故=或=3yx 21 yx二、指数函数、对数函数的性质应用例 2已知函数 y=log(a2x)log()(2x4)的最大值为 0，最小值为，求a12aax1 81a 的值.【解】 y=log(a2x)log()=loga(a2x)loga(ax)a12aax1 21=(2+logax)(1+logax)=(logax+)221 21 23 812x4 且y081logax+=0,即 x=a时
3、，ymin=232381x21,a10a123又y 的最大值为 0 时，logax+2=0 或 logax+1=0即 x=或 x=21 aa1=4 或=221 aa1又0a1,a=21【点拨】 （1）若不注意发现隐含条件“0a1”则会造成不必要的分类讨论. （2）在最值问题中以二次函数为内容的最值最常见，而且许多表面上非二次函数最值 问题通过适当变形都可以转化为二次函数最值. 三、指数函数、对数函数图象的应用 例 3若 x1是方程 x+2x=2 的实数解，x2是方程 x+log2x=2 的实数根，则 x1+x2=_. 【解】 x+2x=2,x+log2x=22x=2x,log2x=2x 令 y
4、1=2x,y2=2x,y3=log2x，图象如图x1是 x+2x=2 的解，x2是 y=log2x 的解 x1、x2分别对应图中 A、B 两点横坐标 又y=2x与 y=log2x 关于直线 y=x 对称 线段 AB 的中点应在直线 y=x 上 又直线 y=x 与 y=2x 垂直（倾斜角145,2135)P 为直线 y=x 与 y=2x 的交点（1，1） x1+x2=2 【评注】 适当构造函数，利用函数图象性质揭示了问题的本质. 四、函数应用举例 例 4某企业实行裁员增效，已知现有员工 a 人，每人每年可创纯利润 1 万元，据 评估在生产条件不变的条件下，每裁员一人，则留岗员工每人每年可多创收
5、0.01 万元，但每年需付给下岗工人 0.4 万元生活费，并且企业正常运行所需人数不得少于现有员工的，43设该企业裁员 x 人后纯收益为 y 万元. （1）写出 y 关于 x 的函数关系式，并指出 x 的取值范围. （2）当 140a280 时，问该企业应裁员多少人，才能获得最大的经济效益（注：在 保证能获得最大经济效益的情况下，能少裁员，应尽量少裁）. 【解】 （1）由题意可得：y=(ax)(1+0.01x)0.4x=x2+()x+a1001 100a 100140axax434a即 x 的取值范围是（0,中的自然数 4a（2）y=x(70)2+(70)2+a 且 140a2801001 2a 1001 2a70(0,2a 4a当 a 为偶数时，x=70,y 取最大值2a当 a 为奇数时，x=70 或 x=7021a 21a因尽可能少裁人，x=7021a【评注】 应用题的解题过程
