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1、1贝努利不等式的几个推论及应用贝努利不等式的几个推论及应用四川省内江师范学院数学系 赵思林 吴立宝普通高中数学课程标准（实验） （以下简称标准 ）将“不等式选讲”作为选修 系列 4 的第 5 专题，而贝努利不等式就是其中的一个重要不等式 标准所指的贝努利不 等式是： （，为正整数） （1）1nx1nxx1n当为大于 1 的实数时贝努利不等式也成立n 为拓宽贝努利不等式的应用，本文给出了贝努利不等式的几个推论，并通过一些典型 例题探讨了贝努利不等式及其推论的应用推论推论 1 1 设， ， 0，则有nNn1t， （2）nt1ntn或， （）nt11n t2当且仅当时， （2）和（）取等号1t 2（
2、2）的证明可由恒等式1ntntn223412321nnnttttntnL直接推出易见，当且仅当时， （2）和（）取等号，因此，当且仅当时，1t 20x （1）取等号在（1）中令，则（1）可变为（2）或（） 因此，不等式（1）与（2）或1xt 2（）是等价的因此，不等式（1）与（2）或（）都可以称为贝努利不等式2 2推论推论 2 2 设，0， ，则anNn1， （3）na11nnnan当且仅当时， （3）取等号a 证明证明 由（2）得，n nnaa1nann11nnnan由（2）的等号成立的条件易知，当且仅当时（3）取等号a推论推论 3 3 设，0， ，则abnNn1， （4）1nna b1na
3、nb， （5）1nnb a1nn ab2当且仅当时（4）和（5）取等号ab 证明证明 由（2）得，1nnnaabbb1ab nnb1nanb，11nnnbb ab a11bnnba1nn ab由（2）的等号成立的条件易知，当且仅当时（4）和（5）取等号ab推论推论 4 4 设，0， ，则abnNn1， （6）na11nann当且仅当时（6）取等号1a 证明证明 由（2） ，得， nnaa1nn an所以na11nann由（2）的等号成立的条件易知，当且仅当时（6）取等号1a 不等式（1）（6）有广泛的应用，利用贝努利不等式和上面几个推论可以简捷明快 地解决一些数学问题，请看下面几例 例例 1
4、1 （2007 年高考数学湖北卷理科 21 题）已知，为正整数mn（）用数学归纳法证明：当时，；1x 1mx1mx（）对于，已知，求证：，n611132nn1132nmm n；1,2,mnL（）求出满足等式的所有正整数3423nnnnnnLn解：解：（）证明从略 （）证明：当，时，由（1）得，于是n6mn113mn103m n，13nm n113mnn11132mnmn1,2,mnL（）解：由（）知，当时，n612111333nnnn nnnL3，21111112222nn L所以，2131333nnnnn nnnL即，即当时，不存在满足该等式的正整数342nnnnL3nnn6n故只需要讨论的
5、情形逐一检验可得，所求的只有1,2,3,4,5n 1,2,3,4,5n n2,3n 例例 2 2 （算术几何平均值不等式）设，均为正数，1a2aLna， ，则nNn1 （7）12naaa nL12nna aaL证明证明 下面用数学归纳法证明（7）：当时， （2）变为，从而2n 2x21x，22 1211 1aaaaaa2 1112 1212aaaa aa所以（7）成立假设，则当时，由（3）知12kaaaL12kkk a aaL1nk，1 11k kka 111121kk kkkkkaa aaL11 12kk k kka aaL即 ，1ka11211kkkka aa aL12kkk a aaL从
6、而121kkaaaaL12kkk a aaL1ka12kkk a aaL11211kkkka aa aL12kkk a aaL，11211kkka aaL这表明，当时（7）也成立1nk故对一切， ， （7）都成立nNn1由例 2 的证明可以看出，贝努利不等式是算术几何平均值不等式的一个充分条件， 也就是说，凡是能用算术几何平均值不等式解决的问题都可以利用贝努利不等式予以解4决，因此，贝努利不等式的应用是极为广泛的例例 3 3 设，0，求证：xy1xy3311xyxy125 4证明证明 由，并在（3）中取得11 xy2 xy44xy5 23311xyxy25112525112532324848x
7、yxy 7575 11125 442xyxy757512512544424 例例 4 4 （权方和不等式）设，则,0,1,2, ,iia bin kN111 1212kkk n kkk naaa bbb 1 1212() ()k n k naaa bbb 证明证明 令，则原不等式等价于1 12nsaaa1 12ntbbb1 11kn i k iisatb由（2） ，有 11kk ii ik iisasatbtbtb1 (1)1i i isatbktb=(1)i i isatbkktb(1)iiksaktb则， 11kn i k iisatb 1(1)(1)1nii iksaktbkk此即111
8、 1212kkk n kkk naaa bbb 1 1212() ()k n k naaa bbb 注：注：权方和不等式的应用极广，已有多篇文章探讨例例 5 5 （第 36 届 IMO 试题）设为正数，且满足试证, ,a b c1abc 5 （8）333111 abcbcacab3 2证明证明 由知， （8）等价于1abc （9）222222bccaab abcabcabcabc6由（4）及，得1abc 222222bccaab abcabcabcabc2 22 22 2bcabcacabcababcabc ，2 abbcca36 ab bc ca6所以（9）成立，故（8）成立例例 6 6 设
9、，均为正数，1a2aLnaabs1a2aLkas， ，求证：, n kN, n k11k ni iaab1nnkasbk证明证明 由（6） ，及，得1a2aLkas1k ni iaabnasbk k1k inik aab asbk nasbk k111k iik aabn nasbkn1nnkasbk由于贝努利不等式的形式简单、内涵丰富、应用广泛，加之高中课改实验区的大多数 老师对选修系列 4 第 5 专题比较熟悉，愿意讲授“不等式选讲” 因此，应重视对贝努利不 等式的探究作者通讯地址： 邮编：641112四川省内江师范学院数学系 赵思林 电话：0832-2343326（宅） ；13696066869（手机）E-mail：
