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1、 ).1(k高一数学高一数学一、本讲教学内容 两角和与差的三角函数及倍角公式的综合运用 二、典型例题选讲例 1 已知 )tan()tan(k求证：.11 2sin2sin kk 分析 注意到已知条件中的角、与欲证等式中的角、的关系：22 因此可用两角和与差的正弦公式变形，再用已知条件代入进行证),()(2),()(2 明. 证：=)()sin()()sin( 22sin sjin)sin()cos()cos()sin()sin()cos()cos()sin( =)tan()tan()tan()tan( .11 )tan()tan()tan()tan( kk kk 评析 本题也可以由已知得，代入
2、右边，得)tan()tan( k )tan()tan(1)tan()tan(111kk )tan()tan()tan()tan( ,coscos)sin( coscossincoscossin cossin cossintantanBABA BABABA BB AABAQ.2sin2sin )()sin()()sin( 11 kk例 2 已知求的取值范围.,43sinsincoscos分析 难以直接用的式子来表达，因此设，并找出 应满足的等coscossinsintcoscost 式，从而求出的取值范围.coscos 解 令， 由已知，. tcoscos43sinsin2+2 ：,169sin
3、sinsin2sincoscoscos2cos22222t,169)cos(222t).cos(216232t.1655, 0, 1)cos(12tQ即,455,455t.455,455coscos例 3 求函数的值域xxxxxfcossin3cossin)( 分析 的解析式中既有，又有，若由将表示成或将表示)(xfxsinxcos1cossin22xxxcosx2sin1xsin成，都会出现根式，且需要讨论符号，因此这种做法不可取.注意到x2cos1，因此可作代换：则和都可以用 表示，xxxxcossin21)cos(sin2,cossintxxxx cossinxxcossint 就可以变
4、形为 的二次函数，再由二次函数在闭区间上的值域就可以求得的值域.)(xft)(xf解 令 则 ,cossinxxt,cossin212xxt.21cossin2txx.23 61)31(23 23 23 213cossin3cossin)(222 tttttxxxxxf.2,2).4sin(2)4sincos4cos(sin2cossintxxxxxtQ当 当;35 23 61)(,31 maxxft.223 232)2(23)(,22minxft的值域为)(xf.35223yy评析 相应于，还有更一般的情况：)4sin(2cossinxxx可以设),cos(sincossin 222222b
5、abx baaxbaxbxa , 1)()(222222 babbaaQ则，并由此可求出的取值范,sin,cos 2222 babbaa)sin(cossin22xbaxbxaxbxacossin围.如设则若则),54cos53(sin5cos4sin3xxxx,54sin,53cos),sin(5cos4sin3xxx,Rx.5 , 5cos4sin3xx 例 4 已知且、均为钝角，求角的值., 0coscoscos, 0sinsinsin解 由已知， .coscoscos,sinsinsin 2+2： .cossincoscoscos2cossinsinsin2sin222222.21)c
6、os(, 1)cos(22,2,2Q.34,2评析 仅由，不能确定角的值，还必须找出角的范围，才能判断的值. 由21)cos(单位圆中的余弦线可以看出，若使的角为或若则,2021)cos(32;34,R或k232).(234Zkk例 5 已知求的值.,21 2tan,98tantan)cos(分析 因，所以只要求出和的值.由已知，sinsincoscos)cos(coscossinsin，所以如能由求出的值，即可求得coscos98sinsin2tansinsincoscos)cos(的值.)cos(解 .53)21(1)21(12tan12tan12sin2cos2sin2cos )cos(
7、,21 2tan 22222222 Q，,coscos98sinsin,98tantan.53sinsincoscosQ53coscos98coscos.8527coscos.8524 8527 98sinsin.853 8524 8527sinsincoscos)cos(评析 一般地，和之间有关系：或写成)cos(),cos(tantan,tantan)cos()cos()cos()cos(.tantan1tantan1 )cos()cos( 例 6 已知，求的值.,31 2tan2sin2sin)(sin2分析 由可以求出的三角函数，因此需要把欲求值的式子变形为关于的三角函数的2tan式子
8、. 解 ,2sin2sin2cos2cos)22cos(Q,2sin2sin2cos2cos)22cos(,2sin2sin2)22cos()22cos().22cos()22cos(212sin2sin).(sin)22cos(1 21)22cos()22cos(21 2)22cos(12sin2sin)(sin22.53)31(13122tan12tan22sin2cos2cos2sin2 )sin( 2222 Q.259)53(sin2sin)(sin222 评析 与类似，有)cos()cos(21sinsinBABABA).cos()cos(21coscosBABABA例 7 已知求的
9、值.,43coscos2coscos22分析 由例 6 评析，因此希望把也变形为和),cos()cos(21coscos22coscos的三角函数. 解 =)cos()cos(21222cos1 22cos1coscos2coscos22. 43cos)cos(22 22cos2cos1)()cos()()cos(2cos2cosQ= ， =)cos()cos(2coscos2coscos2222)cos(22)cos()cos(1.21 21)cos(22)cos(43cos1评析 若令，则由上述解题过程可知，类似地有2,2BA2cos2cos2coscosBABABA.2sin2sin2c
10、oscosBABABA例 8 求值：（1） （2）;84cos66sin2263cos63sinoooo. 80cos50cos20sin ooo分析 （1）为特殊角，因此有，ooo1508466ooo186684ooooo97521815066;97521815084ooooo（2）为特殊角，因此有ooo302050ooo702050.15352307050,15352307020oooooooooo解 （1）=oooo84cos66sin2263cos63sin)975cos()975sin(22)2263cos2263(sin2oooooo=)9sin75sin9cos75)(cos9s
11、in75cos9cos75(sin22)4563sin(2oooooooooo)9cos9sin75sin9cos9sin75cos9sin75cos75sin9cos75cos75(sin2218sin22222ooooooooooooo=)9cos9sin75cos75(sin2218sin2ooooo.22150sin2)18sin150(sin218sin2oooo（2）=oooooooo80cos)1535cos()1535sin(80cos50cos20sin ooooooooo80cos15sin35sin15cos35cos15sin35cos15cos35sin=. 3 10sin60sin210sin210sin)4515sin(2)4535sin(280cos)15sin15)(cos35cos35(sin ooooooooooooo练练 习习 一、选择题1等于 （ ）24cos1A B C D2cos2cos2sin2sin2已知，且，则的值等于 （ ）),2(),2, 0(135cos,6533)sin(sinA B C D53 54 6513 65363已知，则等于 （ ）41)4tan(,52)tan()4tan(A B C D183 1813 223 22134下列式子中不正确的是 （ ）A Booo20
