《2014《步步高》高考数学第一轮复习03 导数的应用(二)》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2014《步步高》高考数学第一轮复习03 导数的应用(二)（17页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、3.3 导数的应用导数的应用(二二)2014 高考会这样考 1.利用导数研究函数的单调性、极值、最值等综合问题；2.利用导数研究方程根的个数，证明不等式或不等式恒成立问题；3.利用导数解决实际问题复习备考要这样做 1.理解数形结合思想、转化思想在导数中的应用；2.会建立函数模型解决不等式问题、实际问题等1 利用导数解决生活中的优化问题的一般步骤(1)分析实际问题中各量之间的关系，列出实际问题的数学模型，写出实际问题中变量之间的函数关系式 yf(x)；(2)求函数的导数 f(x)，解方程 f(x)0；(3)比较函数在区间端点和 f(x)0 的点的函数值的大小，最大(小)者为最大(小)值；(4)回
2、归实际问题作答2 不等式问题(1)证明不等式时，可构造函数，将问题转化为函数的极值或最值问题(2)求解不等式恒成立问题时，可以考虑将参数分离出来，将参数范围问题转化为研究新函数的值域问题难点正本 疑点清源1 实际问题的最值(1)注意函数定义域的确定(2)在实际问题中，如果函数在区间内只有一个极值点，那么只要根据实际意义判定是最大值还是最小值即可，不必再与端点的函数值比较2 判断方程根的个数时，可以利用数形结合思想及函数的单调性1. 如图，水波的半径以 50 cm/s 的速度向外扩张，当半径为 250 cm 时，水波面的圆面积的膨胀率是_ cm2/s.答案 25 000 解析 设时间 t 时，水
3、波圆的半径、面积分别为 r、s，则 r50t，Sr2(50t)22 500t2，则 S5 000t，而 r250 时，t5，故 S(5)25 000(cm2/s)2 若函数 f(x)xasin x 在 R 上递增，则实数 a 的取值范围为_答案 1,1解析 f(x)1acos x，要使函数 f(x)xasin x 在 R 上递增，则 1acos x0 对任意实数 x 都成立1cos x1，当 a0 时，aacos xa，a1，00，即 f(x)0，1ln xx2f(x)为增函数，f(a)ln 21 且 x0 时，exx22ax1.思维启迪：证明不等式时要构造函数，利用函数的单调性来解题(1)解
4、 由 f(x)ex2x2a，xR 知f(x)ex2，xR.令 f(x)0，得 xln 2，于是当 x 变化时，f(x)，f(x)的变化情况如下表：x(，ln 2)ln 2(ln 2，)f(x)0f(x)单调递减 2(1ln 2a)单调递增 故 f(x)的单调递减区间是(，ln 2，单调递增区间是ln 2，)，f(x)在 xln 2 处取得极小值，极小值为f(ln 2)eln 22ln 22a2(1ln 2a)(2)证明 设 g(x)exx22ax1，xR，于是 g(x)ex2x2a，xR.由(1)知当 aln 21 时，g(x)的最小值为g(ln 2)2(1ln 2a)0.于是对任意 xR，都
5、有 g(x)0，所以 g(x)在 R 上单调递增于是当 aln 21 时，对任意 x(0，)，都有 g(x)g(0)而 g(0)0，从而对任意 x(0，)，g(x)0.即 exx22ax10，故 exx22ax1.探究提高 利用导数方法证明不等式 f(x)g(x)在区间 D 上恒成立的基本方法是构造函数 h(x)f(x)g(x)，然后根据函数的单调性，或者函数的最值证明函数 h(x)0，其中一个重要技巧就是找到函数 h(x)在什么时候可以等于零，这往往就是解决问题的一个突破口当 0x.2x33证明 设 f(x)tan x，(xx33)则 f(x)1x2tan2xx21cos2x(tan xx)
6、(tan xx)因为 00，2即 x时，f(x)为增函数(0，2)所以 x时，f(x)f(0)(0，2)而 f(0)0，所以 f(x)0，即 tan x0.(xx33)故 tan xx.x33题型二 利用导数研究恒成立问题例 2 已知函数 f(x)ln x .ax(1)若 a0，试判断 f(x)在定义域内的单调性；(2)若 f(x)在1，e上的最小值为 ，求 a 的值；32(3)若 f(x)0 或 f(x)xln xx3求 xln xx3的最大值解 (1)由题意知 f(x)的定义域为(0，)，且 f(x) .1xax2xax2a0，f(x)0，故 f(x)在(0，)上是单调递增函数(2)由(1
7、)可知，f(x).xax2若 a1，则 xa0，即 f(x)0 在1，e上恒成立，此时 f(x)在1，e上为增函数，f(x)minf(1)a ，a (舍去)3232若 ae，则 xa0，即 f(x)0 在1，e上恒成立，此时 f(x)在1，e上为减函数，f(x)minf(e)1 ，a (舍去)ae32e2若e0，f(x)在(a，e)上为增函数，f(x)minf(a)ln(a)1 ，a.32e综上所述，a.e(3)f(x)0，axln xx3.令 g(x)xln xx3，h(x)g(x)1ln x3x2，h(x) 6x.1x16x2xx(1，)时，h(x)0，故 x5 是 f(x)的极小值点也是
8、最小值点，对应的最小值为 f(5)6570.800155当隔热层修建 5 cm 厚时，总费用达到最小值 70 万元探究提高 在求实际问题中的最大值或最小值时，一般先设自变量、因变量、建立函数关系式，并确定其定义域，利用求函数最值的方法求解，注意结果应与实际情况相符合，用导数求解实际问题中的最大(小)值，如果函数在区间内只有一个极值点，那么根据实际意义该极值点就是最值点现需要对某旅游景点进一步改造升级，提高旅游增加值，经过市场调查，旅游增加值 y 万元与投入 x 万元之间满足：yxax2ln ，t，)，其5150x10x2x12中 t 为大于 的常数当 x10 时，y9.2.12(1)求 yf(
9、x)的解析式和投入 x 的取值范围；(2)求旅游增加值 y 取得最大值时对应的 x 值解 (1)当 x10 时，y9.2，即10a102ln 19.2，解得 a.51501100f(x)xln .5150x2100x10t 且 t ，60，且 f(x)在(6,50上连续，因此，f(x)在(6,50上是增函数；当 x(50，)时，f(x)0，当 x1 时，g(x)0 时，g(x)0，即 f(x)2x2.12 分解后反思 利用函数的导数研究不等式问题是一类重要的题型，其实质是求函数的最值问题，它体现了导数的工具性作用将函数、不等式紧密结合起来，考查综合解决问题的能力，多为高考中较难的题目二审结论会
10、转换典例：(12 分)已知函数 f(x) x2aln x.12(1)若 a1，求函数 f(x)的极值，并指出是极大值还是极小值；(2)若 a1，求函数 f(x)在1，e上的最大值和最小值；(3)若 a1，求证：在区间1，)上，函数 f(x)的图象在函数 g(x) x3的图象的下23方审题路线图审题路线图求 f(x)的极值(从结论出发向条件转化，注意隐含条件定义域)求 f(x)0 的解，即 f(x)的极值点(转化为求函数值)将极值点代入 f(x)求对应的极大、极小值(转化为研究单调性)求 f(x)在1，e上的单调性(转化为求函数值)比较端点值、极值，确定最大、最小值(构造函数进行转化)F(x)f
11、(x)g(x)(将图象的上、下关系转化为数量关系)求证 F(x)1 时，F(x)0 (f(x)0 在有限个点处取到)2 导数为 0 的点不一定是极值点，极大值未必大于极小值A 组 专项基础训练(时间：35 分钟，满分：57 分)一、选择题(每小题 5 分，共 20 分)1 已知函数 f(x)x3ax2(a6)x1 有极大值和极小值，则实数 a 的取值范围是( )A(1,2) B(，3)(6，)C(3,6) D(，1)(2，)答案 B解析 f(x)3x22ax(a6)，由已知可得 f(x)0 有两个不相等的实根4a243(a6)0，即 a23a180.a6 或 a2 Bm222Cm0，f(x)，
12、2x2mx1x令 g(x)2x2mx1，x(0，)，当 0 时，g(0)10 恒成立，m0 成立，m4当 0 时，则 m280，2m0，所以 yg(x)的单调增区间是(，0)，(，)；单调减区间是(，)，666(0，)69 (12 分)某汽运集团公司生产一种品牌汽车，上年度成本价为 10 万元/辆，出厂价为 13万元/辆，年销售量为 5 万辆本年度公司为了进一步扩大市场占有量，计划降低成本，实行降价销售设本年度成本价比上年度降低了 x (05(1310)解得 00)在1，)上的最大值为，则 a 的值为( )xx2a33A. B. C.1 D.133333答案 D解析 f(x)，x2a2x2x2
13、a2ax2x2a2当 x时，f(x)0，f(x)单调递增，aa当 x时，令 f(x)，0 时，f(x)0，g(x)0，则当 x0，g(x)0 Bf(x)0，g(x)0 Df(x)0 时，f(x)0，g(x)0，由奇、偶函数的性质知，当 x0，g(x)0)，1xaxax1ax2函数 f(x)在1，)上为增函数，f(x)0 对 x1，)恒成立，ax1ax2ax10 对 x1，)恒成立，即 a 对 x1，)恒成立，a1.1x5已知函数 f(x)x2(xa)若 f(x)在(2,3)上单调，则实数 a 的取值范围是_；若 f(x)在(2,3)上不单调，则实数 a 的取值范围是_答案 (，3 92，) (
14、3，92)解析 f(x)3x22ax，若 f(x)在(2,3)上单调，则 f(x)0 或 f(x)0 在(2,3)上恒成立，a x 或 a x.3232x(2,3)，a3 或 a .926 用边长为 120 cm 的正方形铁皮做一个无盖水箱，先在四角分别截去一个小正方形，然后把四边翻转 90角，再焊接成水箱，则水箱的最大容积为_答案 128 000 cm3解析 设水箱底边长为 x cm，则水箱高 h cm.(60x2)水箱容积 VV(x)x2h60x2(00.(1)解 由题意得 f(x)12x22a.当 a0 时，f(x)0 恒成立，此时 f(x)的单调递增区间为(，)当 a0 时，f(x)12，(xa6)(xa6)此时函数 f(x)的单调递增区间为和，(，a6 a6，)单调递减区间为.a6，a6(2)证明 由于 0x1，故当 a2 时，f(x)|2a|4x32ax24x34x2.当 a2 时，f(x)|2a
