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1、第 1 页 共 21 页2012 版高三数学一轮精品复习学案：函数、导数及其应用版高三数学一轮精品复习学案：函数、导数及其应用第六节第六节 函数应用函数应用【高考目标导航高考目标导航】一、函数与方程一、函数与方程1、考纲点击 （1）结合二次函数的图象，了解函数的零点与方程根的联系，判断一元二次方程根的存在 性及根的个数。 （2）根据具体函数的图象，能够用二分法求相应方程的近似解。 2、热点提示 （1）函数与方程的零点、二分法是新课标的新增内容，在近年的高考中一定有所体现。 （2）本节内容多以选择题、填空题的形式出现，属中低档题，不排除与其他知识，在知识 交汇处命题。 二、函数模型及其应用 1、
2、考纲点击 （1）了解指数函数、对数函数以及幂函数的增长特征，知道直线上升、指数增长、对数增 长等不同函数类型增长的含义。 （2）了解函数模型（如指数函数、对数函数、幂函数、分段函数等在社会生活中普遍使用 的函数模型）的广泛应用。 2、热点提示 （1）函数的模型及其应用是考查重点。 （2）现实生活中的生产经营、环境保护、工程建设等热点问题中的增长、减少问题，一次 函数、二次函数、指数函数、对数函数模型等问题是重点，也是难点，主要考查建模能力 及分析问题和解决问题的能力。 （3）题型方面选择题、填空题及解答题都有所体现，但以解答题为主。 【考纲知识梳理】 一、函数与方程 1、函数的零点 （1）函数
3、零点的定义对于函数( )yf xxD，把使( )0f x 成立的实数x叫做函数( )yf xxD的零点。 （2）几个等价关系方程( )0f x 有实数根函数( )yf xxD的图象与x轴有交点函数( )yf xxD有零点注：函数的零点不是函数( )yf xxD与x轴的交点，而是( )yf xxD与 x轴的交点的横坐标，也就是说函数的零点不是一个点，而是一个实数。并非任意函数都有零点，只有( )0f x 有根的函数( )yf xxD才有零点。第 2 页 共 21 页（3）函数零点的判定（零点存在性定理）如果函数( )yf xxD在区间a,b上的图象是连续不断的一条曲线，并且有( )( )0f a
4、f b g，那么函数( )yf xxD在区间（a,b）内有零点，即存在 c（a,b） ，使得 f(c)=0，这个 c 也就是( )0f x 的根注 ：在上面的条件下， （a,b）内的零点至少有一个 c，还可能有其他根，个数不确定。2、二次函数2( )(0)f xaxbxc a的图象与零点的关系3、二分法 （1）二分法的定义对于在区间a,b上连续不断且( )( )0f af b g的函数( )yf x，通过不断地把函数( )f x的零点所在的区间一分为二，使区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点近似值的方法叫做二分法。（2）用二分法求函数( )f x零点近似值的步骤第一步，确定区间a,b,验证
5、( )( )0f af b g，给定精确度；第二步，求区间（a,b）的中点1x；第三步，计算1()f x：若1()f x=0，则1x就是函数的零点；第 3 页 共 21 页若1( )()0f af xg，则令1bx（此时零点01( ,)xa x） ；若1()( )0f xf b g，则令1ax（此时零点01( , )xx b） ；第四步，判断是否达到精确度：即若ab，则得到零点近似值a（或b） ；否则重复第二、三、四步。 二、函数模型及其应用 1、几类函数模型及其增长差异 （1）几类函数模型 函数模型函数解析式 一次函数模型( )( ,0)f xaxb a ba为常数二次函数模型2( )( ,
6、 ,0)f xaxbxc a b ca为常数指数函数模型( )( , ,01)xf xbac a b caa为常数，且对数函数模型( )log( , , ,01)af xbxc a b caa为常数且幂函数模型( )( ,0)nf xaxb a ba为常数，（2）三种增长型函数之间增长速度的比较指数函数(1)xyaa与幂函数(0)nyxn在区间0,上，无论n比a大多少，尽管在x的一定范围内xa会小于nx，但由于xa的增长快于nx的增长，因而总存在一个0x，当0xx时，有xanx。对数函数log(1)ayx a与幂函数nyx（0n ）对数函数log(1)ayx a的增长速度，不论a与n值的大小如
7、何总会慢于nyx的增长速度，因而在定义域内总存在一个实数0x，使0xx时有logn axx。由可以看出三种增长型的函数尽管均为增函数，但它们的增长速度不同，且不在同一个档次上，因此在0,上，总会存在一个0x，使0xx时有logxn aaxx2、解函数应用问题的步骤（四步八字） （1）审题：弄清题意，分清条件和结论，理顺数量关系，初步选择数学模型； （2）建模：将自然语言转化为数学语言，将文字语言转化为符号语言，利用数学知识，建 立相应的数学模型； （3）求模：求解数学模型，得出数学结论； （4）还原：将数学问题还原为实际问题的意义。 以上过程用图表示如下：第 4 页 共 21 页3、解函数应用
8、问题常见的错误： （1）不会将实际问题抽象转化为函数模型或转化不全面； （2）在求解过程中忽视实际问题对变量参数的限制条件。 【热点、难点精析】 （一）函数与方程 1、零点的判定 相关链接 （1）解方程：当能直接求解零点时，就直接求出进行判断。 （2）用定理：零点存在性定理。注：如果函数( )yf x在a,b上的图象是连续不断的曲线，且0x是函数在这个区间上的一个零点，但( )( )0f af b g不一定成立。（3）利用图象的交点：有些题目可先画出某两个函数( )yf x，( )yg x图象，其交点的横坐标是( )( )f xg x的零点。例题解析 例判断下列函数在给定区间是否存在零点。f(
9、x)=x2-3x-18,x1,8; f(x)=log2(x+2)-x,x1,3 分析：第（1）问利用零点的存在性定理或直接求出零点，第（2）问利用零点的存在性定 理或利用两图象的交点来求解。 解答：（1）方法一：f(1)=12-31-18=-200,f(1)f(8)log22-1=0,f(3)=log25-3-5，故 51m m 的取值范围是| 51mm 。（2）若 f(x)=|4x-x2|+a 有 4 个零点，即 4x-x2|+a=0 有四个根，即|4x-x2|=-a 有四个根，令 g(x)= |4x-x2|,h(x)=-a.则作出 g(x)的图象,由图象可知要使|4x-x2|=-a 有四个
10、根，则 g(x)与 h(x)的图象应有 4 个交点。 故需满足 00,f(x)g(x),即选乙家; 当 300, f(x)g(x),即选乙家. 综上所述，当 15xf(1m) 当 x(1m, +)时,f （x）0,f(x)为增函数,f(x)f(1m) 根据函数极值判别方法，f(1m)=1m 为极小值，而且 对 x(m, +)都有 f(x)f(1m)=1m 故当整数 m1 时，f(x) 1m0 (2)证明：由（I）知，当整数 m1 时，f(1m)=1-m1 时，), 1121(032) 12(2213) 11 (3)(222归纳法证明上述不等式也可用数学mmmmmmmmemefmmmQ类似地，当整数 m1 时，函数 f(x)=x-ln(x+m),在,1 memm上为连续增函数且 f(1-m)与)(2mefm异号，由所给定理知，存在唯一的0)(,1 22xfmemxm使故当 m1 时，方程 f(x)=0 在,2mememm 内有两个实根
