平稳时间序列的ARMA模型

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1、1第五讲（续）第五讲（续）平稳时间序列的平稳时间序列的ARMAARMA 模型模型21 1 平稳性平稳性有一类描述时间序列的重要随机模型受到了人们的广泛关注，这就是所谓的平稳模型。这类模型假设随机过程在一个不变的均值附近保持平衡。其统计规律不会随着时间的推移发生变化。平稳的定义分为严平稳和宽平稳。定义定义 1 1（严平稳）（严平稳）设是一个随机过程, 是在不同的时刻 的随机变,tx tTtxt量，在不同的时刻 是不同的随机变量，任取 个值和tn1,nttK3任意的实数 ，则分布函数满足关系式 h1,nxxK1111( ,; ,)( ,;,)nnnnnnF xx ttF xx ththLLLL则称

2、为严平稳过程。,tx tT在实际中，这几乎是不可能的。由此考虑到是否可以把条件放宽，仅仅要求其数字特征(数学期望和协方差)相等。定义定义 2（宽平稳）（宽平稳）若随机变量的均值（一阶矩）和协方差（二阶矩）,tx tT存在，且满足：4（1）任取，有；tT( )tE xc（2）任取，有 tTtT ( )()( )E X ta X taR协方差是时间间隔的函数。则称 为宽平稳过程，,tx tT其中为协方差函数。( )R2 各种随机时间序列的表现形式各种随机时间序列的表现形式5白噪声过程白噪声过程（white noise，如图 1） 。属于平稳过程。yt = ut, ut IID(0, 2)-3-2-

3、10123100 120 140 160 180 200 220 240 260 280 300white noise图 1 白噪声序列（2=1） 6随机游走过程随机游走过程（random walk，如图 11） 。属于非平稳过程。yt = yt-1 + ut, ut IID(0, 2)-10-5051020406080100 120 140 160 180 200y=y(-1)+u7图 2 随机游走序列（2=1）-2-1012220 240 260 280 300 320 340 360 380 400DJPY8图 3 日元兑美元差分序列120014001600180020002200501

4、001502002503009图 4 深圳股票综合指数2040608010040045050055060065070075080010图 5 随机趋势非平稳序列（ = 0.1）-80-60-40-20020100200300400500600700800图 6 随机趋势非平稳序列（ = -0.1）117.07.58.08.59.09.510.05560657075808590Ln(Income)图 7 对数的中国国民收入序列124681012145055606570758085909500Y图 8 中国人口序列133 延迟算子延迟算子延迟算子类似于一个时间指针，当前序列值乘以一个延迟算子，就相

5、当于把当前序列值的时间向过去拨了一个时刻，记 B 为延迟算子，有。,1p t ptxB xp 特别特别是差分算子。是差分算子。1)B（4ARMA(p,q)模型及其平稳性和可逆性模型及其平稳性和可逆性4.1 模型类型及其表示模型类型及其表示在平稳时间序列的分析中，应用最广泛的是有限参数模14型。p 阶自回归模型：用自己的过去和现在的随机干扰表。tX是白噪声。1122tttptptXXXXaLtaq 阶移动平均模型：用现在和过去的随机干扰表。tX1122ttttqt qXaaaaLp 阶自回归和 q 阶移动平均模型：自己的过去及过去和现在的随机干扰表。tX151122tttptpXXXXL1122

6、tttqt qaaaaL其中 是白噪声序列。ta4.2 平稳性平稳性是平稳时间序列的反映1122tttpt ptXXXXaL吗？如果它是平稳时间序列的模型，回归系数应该满足何种条件呢？例 设是一阶自回归模型，即 或tX11tttXXa，其中( )ttB Xa1( )1BB 16则（利用等比级数的通项和公式）11 (1)ttXaB=1 0jj t jB a=1 0j tj ja 如果，的系数随着 的增加而1| 11 0j ttj jXa tjaj趋于无穷大，这显然违背了“远小近大”的原则，由此可见，平稳的充分必要条件是，的充分必要条件方程1| 11| 117的根在单位圆外。110z设是一个 p

7、阶自回归模型 txtptpttttaXXXXXL332211或 ( )ttB Xa其中： 。23 123( )1p pBBBBB L平稳的充分必要条件是： tx的根在单位圆外；23 12310p p L的根在单位圆内1。123 1230pppp p L184.3 可逆性可逆性我们可以考虑到一个时间序列是否可以用它的现在值tX和过去值来表示现在时刻的随机干扰呢？即ta( )ttaB X I这种表达式称为“逆转形式”。如果一个时间序列具有逆转形式，也就是说逆转形式存在且平稳，通常称该过程具有可逆性。tX1证明请参看附录 1。19例 设是一阶滑动平均模型，即 或tX11tttXaa，其中( )ttX

8、B a 1( )1BB 则（利用等比级数的通项和公式）11 (1)ttaXB=1 0jj t jB X=1 0j tj jX 对于一阶滑动平均模型，无论取何值，11tttXaa1是一个名副其实的平稳序列，但是对于11tttXaa20的“逆转形式”是否存在，则取决于是否小11tttXaa|1于 1。如果，1| 11 1j ttjt jXXa 的系数随着 的增加而趋于无穷大，这显然违背了“远小tjXj近大”的原则，由此可见， 的逆转形式存在的11tttXaa充分必要条件为，的充分必要条件方程1| 11| 1的根在单位圆外。110z可逆的充分必1122( )ttttqt qtXaaaaB a L21

9、要条件为，方程的根在单位2 12( )10q qzzzz L圆外。的根在单位圆内2。12 120qqq q L由于自回归模型稍微变形，112233ttttpt ptXXXXXaL就是用系统的现在和过去值表示随机干扰项，所以自回归模型自然可逆。4.4 ARMA（p，q）的平稳性和可逆性）的平稳性和可逆性2证明参看附录 2。22设时间序列是 ARMA（p,q）模型 tX1122tttpt pXXXXL1122tttqt qaaaaL令 2 12( )1p pBBBB L212( )1qqBBBB L则模型记为 ( )tB X( )tB a如果 1. ，； 0p0q2. 和无公共因子；( )B( )

10、B233. 和的根在单位圆外。( )0z( )0z则是自回归移动平均模型，平稳且可逆。它有传递形 tX式，由此可以认为，任何一个自回归滑动平均( ) ( )ttBXaB模型都可以用一个足够高阶的滑动平均模型逼近。逆转形式，可见任何一个自回归滑动平均模型都可以用( ) ( )ttBaXB一个足够高阶的自回归模型逼近。5 平稳时间序列的统计特征平稳时间序列的统计特征245.1 总体的自相关函数和样本的自相关函数总体的自相关函数和样本的自相关函数（看参考（看参考教材教材 王燕，应用时间序列分析，中国人大出版社，王燕，应用时间序列分析，中国人大出版社，2005）一、一、 AR(p)模型的自相关函数模型

11、的自相关函数AR(p)模型，自相关函数快速收敛于零，但不等于零,“拖尾”。又因为 ARMA（p，q）模型的可( )( )ttB xB 逆性，即，所以任何一个 ARMA（p，q）模型( ) ( )ttBxB都可以表示为一个足够高阶的 AR（p）模型，所以ARMA（p，q）模型与 AR（p）模型有相同的统计特性。25下面从可以从图 18 到图 25 观察时间序列图与其自相关函数图的特点。-3-2-1012320406080100120140160180200E26图图 9 白噪声序列的自相关函数白噪声序列的自相关函数 27图图 10 白噪声序列的自相关函数图白噪声序列的自相关函数图-4-20242

12、0406080100120140160180200Z28图图 11 人工模拟序列人工模拟序列图图tt-1t-2tX =0.65X +0.36X+a29图图 12 人工模拟序列人工模拟序列的自相关函数图的自相关函数图tt-1t-2tX =0.65X +0.36X+a-5051015202520406080100120140160180200Z30图图 13 模拟随机游走序列模拟随机游走序列图图tttaxx131图图 14 模拟随机游走序列模拟随机游走序列的自相关关函数图的自相关关函数图tttaxx1二、二、MA（q）的自相关函数）的自相关函数结论：MA（q）模型的自相关函数 q 阶截尾，即在 q

13、+1及以后为零。图 2-7 是模拟一阶移动平均模型趋势图，图 2-8 是自相关函数10.8tttXaa10.8tttXaa图32-4-202420406080100 120 140 160 180 200X图图 15 趋势图趋势图10.8tttXaa33图图 1616 自相关函数图自相关函数图10.8tttXaa34由此，我们已经有了识别 MA（q）模型的工具，自相关函数 q 阶截尾。但是对于 AR（p）和 ARMA（p，q）模型，则无法区别了。2.4.2 偏自相关函数偏自相关函数kk由 AR（p）模型本身看，只涉及到 步相关性，但序列n的自相关函数确是拖尾的。kAR（P）模型的偏自相关函数

14、p 阶截尾。注：偏自相关函数的概率意义是在给定0,kkkp35的条件下，和的相关系数。11,tt kXX LtXktXARMA(p,q)模型自相关和偏自相关均拖尾，但是快速模型自相关和偏自相关均拖尾，但是快速收敛到零。收敛到零。表 1 自相关和偏自相关特征表模 型AR（p）MA（q）ARMA（P，q）自相关函数拖 尾截 尾拖 尾偏自相关函数截 尾拖 尾拖 尾36对一个实际时间序列，我们能掌握的是一段样本数据，所以首先要利用样本数据估计模型的自相关函数和偏自相关函数。【例例】利用 1997 年 1 月2002 年 12 月到北京海外旅游人数资料绘制自相关和偏自相关图，在这里去掉了 2003年的数据是由于非典的流行使 2003 年到北京旅游的人数锐减，出现奇异值，不具有一般性。如图 17 所示。37Case Number81767166615651464136312621161161Value SARS403020100图图 17 1997 年年 1 月月2002 年年 12 月到北京海外旅游人数曲线图月到北京海外旅游人数曲线图38Autocorrelations: SARSAuto- Stand.Lag Corr. Err. -1 -.75 -.5 -.25 0 .25 .5 .75 1 Box-Ljung Prob.