2010届高三数学一轮复习：圆锥曲线方程及性质

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1、20092010 学年度高三数学（人教版 A 版）第一轮复习资料第 33 讲 圆锥曲线方程及性质圆锥曲线方程及性质一一 【课标要求课标要求】 1了解圆锥曲线的实际背景，感受圆锥曲线在刻画现实世界和解决实际问题中的作用；2经历从具体情境中抽象出椭圆、抛物线模型的过程，掌握它们的定义、标准方程、 几何图形及简单性质； 3了解双曲线的定义、几何图形和标准方程，知道双曲线的有关性质 二二 【命题走向命题走向】 本讲内容是圆锥曲线的基础内容，也是高考重点考查的内容，在每年的高考试卷中一 般有 23 道客观题，难度上易、中、难三档题都有，主要考查的内容是圆锥曲线的概念和 性质，从近十年高考试题看主要考察圆

2、锥曲线的概念和性质。圆锥曲线在高考试题中占有 稳定的较大的比例，且选择题、填空题和解答题都涉及到，客观题主要考察圆锥曲线的基 本概念、标准方程及几何性质等基础知识和处理有关问题的基本技能、基本方法 对于本讲内容来讲，预测 2010 年： （1）1 至 2 道考察圆锥曲线概念和性质客观题，主要是求值问题； （2）可能会考察圆锥曲线在实际问题里面的应用，结合三种形式的圆锥曲线的定义。 三三 【要点精讲要点精讲】 1椭圆 （1）椭圆概念平面内与两个定点1F、2F的距离的和等于常数（大于21|FF）的点的轨迹叫做椭圆。这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点的距离叫椭圆的焦距。若M为椭圆上任意一点，则有21|

3、 2MFMFa椭圆的标准方程为：22221xy ab（0ab）（焦点在 x 轴上）或12222 bx ay（0ab）（焦点在 y 轴上）。注：以上方程中, a b的大小0ab，其中222cab；在22221xy ab和22221yx ab两个方程中都有0ab的条件，要分清焦点的位置，只要看2x和2y的分母的大小。例如椭圆22 1xy mn（0m ，0n ，mn）当mn时表示焦点在x轴上的椭圆；当mn时表示焦点在y轴上的椭圆 （2）椭圆的性质范围：由标准方程22221xy ab知|xa，|yb，说明椭圆位于直线xa ，yb 所围成的矩形里；对称性：在曲线方程里，若以y代替y方程不变，所以若点(

4、, )x y在曲线上时，点 ( ,)xy也在曲线上，所以曲线关于x轴对称，同理，以x代替x方程不变，则曲线关于 y轴对称。若同时以x代替x，y代替y方程也不变，则曲线关于原点对称。 所以，椭圆关于x轴、y轴和原点对称。这时，坐标轴是椭圆的对称轴，原点是对称中心， 椭圆的对称中心叫椭圆的中心； 顶点：确定曲线在坐标系中的位置，常需要求出曲线与x轴、y轴的交点坐标。在椭圆的标准方程中，令0x ，得yb ，则1(0,)Bb，2(0, )Bb是椭圆与y轴的两个交点。同理令0y 得xa ，即1(,0)Aa，2( ,0)A a是椭圆与x轴的两个交点。所以，椭圆与坐标轴的交点有四个，这四个交点叫做椭圆的顶点

5、。同时，线段21A A、21B B分别叫做椭圆的长轴和短轴，它们的长分别为2a和2b，a和 b分别叫做椭圆的长半轴长和短半轴长。 由椭圆的对称性知：椭圆的短轴端点到焦点的距离为a；在22Rt OB F中，2|OBb，2|OFc，22|B Fa，且222 2222|OFB FOB，即222cac；离心率：椭圆的焦距与长轴的比cea叫椭圆的离心率。0ac，01e，且e越接近1，c就越接近a，从而b就越小，对应的椭圆越扁；反之，e越接近于0，c就越接 近于0，从而b越接近于a，这时椭圆越接近于圆。当且仅当ab时，0c ，两焦点重合，图形变为圆，方程为222xya。 2双曲线 （1）双曲线的概念 平面

6、上与两点距离的差的绝对值为非零常数的动点轨迹是双曲线（12| 2PFPFa）。注意：（*）式中是差的绝对值，在1202|aFF条件下；12| 2PFPFa时为双曲线的一支（含2F的一支） ；21| 2PFPFa时为双曲线的另一支（含1F的一支） ；当122|aFF时，12| 2PFPFa表示两条射线；当122|aFF时，12| 2PFPFa不表示任何图形；两定点12,F F叫做双曲线的焦点，12|FF叫做焦 距。 椭圆和双曲线比较： 椭 圆双 曲 线定义1212| 2 (2|)PFPFaaFF1212| 2 (2|)PFPFaaFF方程22221xy ab22221xy ba22221xy a

7、b22221yx ab焦点(,0)Fc(0,)Fc(,0)Fc(0,)Fc 注意：如何有方程确定焦点的位置！ （2）双曲线的性质范围：从标准方程12222 by ax，看出曲线在坐标系中的范围：双曲线在两条直线ax的外侧。即22ax ，ax 即双曲线在两条直线ax的外侧。对称性：双曲线12222 by ax关于每个坐标轴和原点都是对称的，这时，坐标轴是双曲线的对称轴，原点是双曲线12222 by ax的对称中心，双曲线的对称中心叫做双曲线的中心。顶点：双曲线和对称轴的交点叫做双曲线的顶点。在双曲线12222 by ax的方程里，对称轴是, x y轴，所以令0y得ax，因此双曲线和x轴有两个交点

8、)0 ,()0 ,(2aAaA ，他们是双曲线12222 by ax的顶点。令0x，没有实根，因此双曲线和 y 轴没有交点。1）注意：双曲线的顶点只有两个，这是与椭圆不同的（椭圆有四个顶点） ，双曲线的 顶点分别是实轴的两个端点。 2）实轴：线段2AA叫做双曲线的实轴，它的长等于2 , a a叫做双曲线的实半轴长。虚轴：线段2BB叫做双曲线的虚轴，它的长等于2 , b b叫做双曲线的虚半轴长渐近线：注意到开课之初所画的矩形，矩形确定了两条对角线，这两条直线即称为双曲线的渐近线。从图上看，双曲线12222 by ax的各支向外延伸时，与这两条直线逐渐接近。 等轴双曲线： 1）定义：实轴和虚轴等长

9、的双曲线叫做等轴双曲线。定义式：ab； 2）等轴双曲线的性质：（1）渐近线方程为：xy ；（2）渐近线互相垂直 注意以上几个性质与定义式彼此等价。亦即若题目中出现上述其一，即可推知双曲线 为等轴双曲线，同时其他几个亦成立。3）注意到等轴双曲线的特征ab，则等轴双曲线可以设为：)0(22yx ，当0时交点在x轴，当0时焦点在y轴上注意191622 yx与22 1916yx的区别：三个量, ,a b c中, a b不同（互换）c相同，还有焦点所在的坐标轴也变了。 3抛物线 （1）抛物线的概念 平面内与一定点 F 和一条定直线 l 的距离相等的点的轨迹叫做抛物线(定点 F 不在定直 线 l 上)。定

10、点 F 叫做抛物线的焦点，定直线 l 叫做抛物线的准线。方程022ppxy叫做抛物线的标准方程。注意：它表示的抛物线的焦点在 x 轴的正半轴上，焦点坐标是 F（2p,0） ，它的准线方程是2px ；（2）抛物线的性质一条抛物线，由于它在坐标系的位置不同，方程也不同，有四种不同的情况，所以抛物线的标准方程还有其他几种形式：pxy22，pyx22，pyx22.这四种抛物线的图形、标准方程、焦点坐标以及准线方程如下表：标准方程22 (0)ypx p 22 (0)ypx p 22 (0)xpy p 22(0)xpyp 图形焦点坐标(,0)2p(,0)2p(0,)2p(0,)2p准线方程2px 2px

11、2py 2py oFxyloxyFlxyoFl范围0x 0x 0y 0y 对称性x轴x轴y轴y轴 顶点(0,0)(0,0)(0,0)(0,0)离心率1e 1e 1e 1e 说明：（1）通径：过抛物线的焦点且垂直于对称轴的弦称为通径；（2）抛物线的几何性质的 特点：有一个顶点，一个焦点，一条准线，一条对称轴，无对称中心，没有渐近线；（3）注意强 调p的几何意义：是焦点到准线的距离。 四四 【典例解析典例解析】 题型 1：椭圆的概念及标准方程 例 1求适合下列条件的椭圆的标准方程：（1）两个焦点的坐标分别是( 4,0)、(4,0)，椭圆上一点P到两焦点距离的和等于10；（2）两个焦点的坐标分别是(

12、0, 2)、(0,2)，并且椭圆经过点3 5(, )2 2；（3）焦点在x轴上，:2:1a b ，cb；（4）焦点在y轴上，225ab，且过点(2,0)； （5）焦距为b，1ab；（6）椭圆经过两点3 5(, )2 2，( 3, 5)。解析：（1）椭圆的焦点在x轴上，故设椭圆的标准方程为22221xy ab（0ab） ，210a ，4c ，2229bac，所以，椭圆的标准方程为22 1259xy。（2）椭圆焦点在y轴上，故设椭圆的标准方程为22221yx ab（0ab） ，由椭圆的定义知，22223535312()(2)()(2)10102 10222222a ，10a ，又2c ，22210

13、46bac，所以，椭圆的标准方程为22 1106yx。（3）6c ，2226abc，又由:2:1a b 代入得2246bb，22b ，28a ，又焦点在x轴上，所以，椭圆的标准方程为22 182xy。（4）设椭圆方程为22221yx ab，221b，22b ，又225ab，23a ，所以，椭圆的标准方程为22 132yx（5）焦距为6，3c ，2229abc，又1ab，5a ，4b ，所以，椭圆的标准方程为22 12516xy或22 12516yx（6）设椭圆方程为22 1xy mn（,0m n ） ，由2235()( )221351mnmn 得6,10mn，所以，椭圆方程为22 1106yx

14、 点评：求椭圆的方程首先清楚椭圆的定义，还要知道椭圆中一些几何要素与椭圆方程 间的关系例 2 （1） （06 山东）已知椭圆中心在原点，一个焦点为 F（23，0） ，且长轴长是 短轴长的 2 倍，则该椭圆的标准方程是 。（2） （06 天津理，8）椭圆的中心为点( 10)E ，它的一个焦点为( 3 0)F ，相应于焦点F的准线方程为7 2x ，则这个椭圆的方程是（ ）222(1)21213xy 222(1)21213xy2 2(1)15xy 2 2(1)15xy解析：（1）已知2222 2224 2 ,2 3161164 ( 2 3,0)b ab cyxa abcF 为所求；（2）椭圆的中心为点( 1,0),E 它的一个焦点为( 3,0),F 半焦距2c ，相应于焦点 F 的准线方程为7.2x 252ac，225,1ab，则这个椭圆的方程是2 2(1)15xy，选 D。点评：求椭圆方程的题目属于中低档题目，掌握好基础知识就可以。 题型 2：椭圆的性质例 3 （1） （06 山东理，7）在给定椭圆中，过焦点且垂直于长轴的弦长为2，焦点到相应准线的距离为 1，则该椭圆的离心率为（ ）(A)2 (B)22(C) 21(D)42（2） （2009 全国卷理