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1、071731 基于李代数与模糊理论的协方差跟踪摘 要：提出了基于李代数与模糊理论的协方差跟踪算法。利用协方差矩阵实现多种特征的巧 妙融合。协方差跟踪具有维数低，对噪声和光照变化不敏感的优点。基于李代数的模板更新策 略可在目标发生外观变化时合适的调整模板。提出基于模糊理论的遗忘因子加权策略，削弱了 窗口内相似目标的干扰。实验结果表明，本文提出的算法可对非刚性运动目标、存在摄像机运 动、目标旋转、缩放、被遮挡、光照剧烈变化等情况下实现目标的稳定跟踪。 关键词：协方差跟踪；李代数；李群；模糊理论；遗忘因子Covariance Tracking Based on Lie Algebra and Fuz
2、zy Theory*Abstract: This paper proposes a covariance tracking algorithm based on Lie algebra and fuzzy theory. Using covariance matrix we can fuse multiple features skillfully. Covariance tracking has low dimension and is insensitive for noise and illumination changes. The model update strategy base
3、d on Lie algebra can adapt the model changes when the target undergoes appearance change. In order to reduce the disturber such as similar targets we impose weights on the distance function between covariance matrixes using forgetting factor based on fuzzy theory. Experiment results show that the me
4、thod proposed by this paper can successfully cope with camera moving, clutter, partial occlusions, illumination change and target variations such as scale and rotation. Key words: covariance tracking; Lie algebra; Lie group; fuzzy theory; forgetting factor1 引言目标跟踪是计算机视觉领域的重要研究课题，在视频监控、协助驾驶、运动分析、人机交
5、互等领域都有着广泛的应用。大多数的应用都需要目标跟踪的算法可以克服背景的混乱、目标 被遮挡、目标尺寸变化、光照变化以及对非刚性目标的跟踪。为了解决这些困难，国内外许多 专家提出比较优秀的算法12，然而大多数跟踪算法都是利用单一特征来描述目标，如颜色、形 状、纹理等。当一种特征不足以区分目标与背景的时候，单一特征在目标跟踪过程中很容易失 效，尤其在复杂背景下该问题尤为突出。采用多种特征描述目标将增强特征模型的辨别能力， 提高目标跟踪的稳定性。 利用直方图融合多维特征是最直观、便捷的方式。基于直方图特征的 mean shift 跟踪算法3在近年来颇为流行。许多算法在直方图中加入新的特征。然而，在直
6、方图中融合高维特征有一些严重的缺陷，(1) 随着特征维数的增长，其计算复杂度呈指数增长。(2) mean shift 算法 要求目标在前后两帧应具有较大的重叠。只适合目标运动很小的情形。(3) 传统的颜色直方图 缺乏目标的空间信息，因此其特征模型缺少辨别力，尤其当目标受到遮挡的时候。 为了克服这些难点，本文提出了基于李代数和模糊理论的协方差跟踪算法。O.Tuzel 在文献 4中提出了利用协方差矩阵描述目标的方法，利用协方差矩阵实现了目标检测和纹理分 类。Fatih Porikli 提出了利用李代数实现模板更新的协方差跟踪算法5。该算法可实现全局最 优匹配，然而在复杂环境中，图像中很可能出现与目
7、标十分相似的背景， 此时提供的全局最优 会造成误匹配，为增强目标跟踪的稳定性，本文采用跟踪窗口内环形搜索的策略，以目标的前 一帧位置为窗口中心，根据与窗口中心距离的不同由近及远环形的遍历搜索，并提出基于模糊 理论的遗忘因子加权策略，对不同半径利用遗忘因子进行加权，从而削弱了相似目标的干扰。2 遗忘因子由模糊理论的隶属度函数自动获得。本文提出的跟踪算法具有以下优点： (1)协方差矩阵本身由多种特征构成，可达到多种特征融合的目的，而且矩阵的维数很低； (2)利用协方差矩阵跟踪，对光照的变化和同分布的噪声不敏感； (3)可在窗口内实现全局搜索，不同于 mean shift 算法对目标前后两帧的位置有
8、要求； (4)协方差矩阵与目标大小无关，如选择合适的特征可不受目标的旋转与缩放影响； (5)利用李群、李代数理论对模板加权平均，当目标外观发生变化时使模板得到合理的更新； (6)基于模糊理论的遗忘因子加权，削弱了背景中相似目标的干扰。2 协方差特征描述2.1 协方差矩阵的定义在 N 个样品中，第 i 和第 j 个特征之间的协方差定义为： 。如 NkjjkiikijxxxxNs1)(11果一批样品有 n 个特征。求出每两个特征的协方差，总共得到个值，将这个值排nxxx,.,212n2n列成以下的维方阵，称为协方差矩阵6：n（1）nnnnnnsssssssssLMMMKK212222111211S
9、2.2 目标的特征描述目标跟踪的过程可以理解为对目标模板和候选区域分别计算目标的特征模型，从而获得实 测图像中与目标模型最为相似的位置，即为目标的实际位置。对于观测图像 I，其颜色特征可用,三维分量来表示，表示图像的亮度特征，表示 x 方向的梯度),(yxR),(yxG),(yxB),(yxI),(yxIx特征，表示 y 方向的梯度特征，为了在特征中融合空间信息，采用该像素与目标区域中),(yxIy心的距离作为特征，其中，是像素相对),(yxd),(),(, )(),(002 2 yyxxyxyxyxd),(yx与区域中心的坐标。此处不考虑像素点相对与目标中心的角度信息是为了保持旋转不),(0
10、0yx变。另外，为了保持旋转不变，也应避免使用方向编码等对旋转敏感的特征。本文利用以上七种特征构造相关联的特征向量kf(2),(),(),(),(),(),(),(yxIyxIyxIyxdyxByxGyxRyxkf2.3 区域协方差矩阵的构造对于 MN 大小的图像区域 R，其具有 d 维特征的协方差矩阵可表示为RC(3) MNkT RkRkRMN1)(1ffC3其中是区域 R 中各个像素点对应特征的均值。协方差矩阵是一个对称矩阵，其对角线上的元R素代表每个特征的方差，而非对角线上的元素代表了各个特征之间的相关性。 采用协方差矩阵描述目标具有以下优点：协方差矩阵为多维特征的融合提供了自然的解决
11、办法；在体现统计特性的目标外观特征中融合了空间信息；当目标存在尺寸变化时，其协方差 矩阵的大小不变，因此，协方差矩阵对于图像区域的缩放不变；选择合适的特征可以使协方差 矩阵做到旋转不变；在计算协方差矩阵时对特征进行了求均值，因此协方差矩阵对噪声不敏 感；协方差矩阵考虑的颜色特征是区域内的整体贡献，故对光照变化不敏感；同时，协方差矩 阵的计算量很低，由于协方差矩阵是斜对称矩阵，因此对于 D 维特征而言，协方差矩阵中只需 计算(D2+D)/2 个值。2.4 协方差矩阵的距离度量为了寻找与给定目标最相似的区域，需要计算目标窗口与候选窗口的协方差矩阵间的距 离。然而，协方差矩阵不属于欧几里德空间，因此
12、，对两个矩阵相减不能用来测量其距离。假 定特征向量中没有完全相同的特征，则协方差矩阵为正定矩阵，因此可以采用文献7中所采用 的距离测量方法。协方差矩阵的距离由两个矩阵的广义特征值的对数平方和来计算。如下式:(4) dkjikjiln12),(),(CCCC其中是矩阵与的广义特征值，根据下式计算：。),(jikCCiCjC0jiCC距离测量满足距离公理。即: 1)正定性：，仅当时有；0),(BABA 0),(BA 2)对称性：；),(),(ABBA 3)三角不等式：。),(),(),(CBCABA在每一帧图像，我们搜索与当前目标模板协方差矩阵距离最小的区域。这个最佳匹配位置 定位了目标在当前帧的
13、位置。2.5 基于李代数的模板更新策略运动目标在运动过程中难免存在形状、尺寸以及外观的变化，因此跟踪算法有必要做出调整以适应这种变化。对于先前 T 个时刻的目标区域的协方差矩阵的序列，TRR,1LTCCL1我们试图计算 T 个协方差矩阵的均值，以更新模型。然而，协方差矩阵不属于欧几里德空间。 考虑到对称正定矩阵具有李群的结构，我们可以在微分流形中计算协方差矩阵的均值。符合某种特定条件的一些元素构成一集合 G.。如果对其中任意二元素,21nkggggLL定义一个运算且满足下列四个条件，则称 G 为一个群8。kigg ,)(kigg (1)若，则 。GgGgki,Gggki(2)元素间的运算满足结
14、合律。kjikjigggggg)()(3)在 G 内可定义单位元素 , 使 G 中每一个都有 eigiiigegge4 (4)对于每个,在 G 中都存在一个元素,使ig1 igeggggiiii11如果 G 既是一个群，同时也是一个微分流形，则 G 可称作李群。李群实际上是局部可坐标 化的拓扑空间，这样，任何一个群元素 A 的局部邻域都可以被其切空间充分的描述。 李代数是一个向量空间，本文用小写字母表示李代数，而用大写字母表示李群。设 g 为域 F 上的线性空间，在 g 中引进换位运算使得它适合条件：,yx(1) 反交换性：；gyxyxxy,(2) 双线性性：；gzyxFzyzxzyx,(3)
15、 Jacobi 恒等式：gzyxxzyyxzzyx, 0,则称 g 为域 F 上的李代数。指数映射将李代数上的向量映射到李群。我们仅考虑矩阵.:expGg a 李群，矩阵的指数映射以及其逆操作对数影射 log 由下式定义：(5)0!1)exp(nn naa 11 )() 1()log(nnnneAA对于可交换群，指数映射满足等式，但这个等式不使用于非可交换李群，)exp()exp()exp(baba可以通过 Baker-Campbell-Hausdorff 公式来定义该映射：，3),(,21),(baObababaBCH此处的为李代数操作。gggbaa: , 在许多应用中，李代数被用来计算具有李群结构的数据点的内在均值9，我们利用与其相 似的思想来获得协方差矩阵的内在均值。设 为李代数上一点，为其在李群上的映射。c)exp(cC 流形上的距离定义为两点在流形上的最小曲线长度。具有最小长度的曲线被称作测地线，该最小长度为内在距离。李群中点到单位元素 之间的距离可通过获得。左乘以群元素的Ce)log(CC逆，将点变换为单位元素 ,在切空间映射为李代数。给定李群上一组数据点，对1CCe Ttt.1C上面的映射取对数操作(6)log(1 ttcCC将数据点映射到李代数，将点映射为 0。既然李代数是一个
