浅谈归纳推理在生活中的应用

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1、1浅谈归纳推理在生活中的应用刘美辰哈尔滨师范大学（黑龙江省哈尔滨 150025）指导教师 鲍曼 教授摘要：归纳推理是一个思维逻辑很强的推理，是数学中非常重要的一部分。归纳法更 是应用到初高中数学的课本中，成为学生对于初等逻辑的认识。逻辑学中的归纳推理在法 律，医学，哲学中都可以应用，是一个涉及多门学科的重要逻辑思维。本篇论文主要讨论 归纳推理的定义、分类、性质、和在生活中的应用，着重讨论多种归纳方法之间的不同和 相同之处，对比其间的特点和作用，通过比较更加深刻的了解归纳方法的思路，讨论如何 利用归纳推理的逻辑思维来研究生活中出现的问题。 关键字：归纳 逻辑 定义 性质 应用通过以往的学习我们知

2、道在学习数学的过程中，逻辑思维尤为重要。归纳法是数学中非常重要的证明方法，在解决命题真假起到重要的作用。一归纳推理的定义归纳推理是由个别事物或现象推出该类事物或现象的普遍规律的推理。它是一种非论证的推理。归纳推理可以根据其前提是否涉及了一类事物中的全部对象，分为完全归纳和不完全归纳推理两大类。例 1：直角三角形内角和是 180 度：锐角三角形内角和是 180 度;钝角 三角形内交合是 180 度；直角三角形，锐角三角形和钝角三角形是 全部的三角形；所以，一切三角形内角和都是 180 度。这个例子从直角三角形，锐角三角形和钝角三角形内角和分别 都是 180 度，这些个别性知识，推出了“一切三角形

3、内角和都是180 度”这样的一般性结论，就属于归纳推理。2（一）不完全归纳推理定义 不完全归纳推理，就是根据其类事物中部分对象具有或不具有 的某一属性，推出该类全部对象具有或不具有该属性的结论的归纳 推理。（二）完全归纳推理的定义在研究某类事物的一切特殊情况或没一个子类的情况后所得 到的共同属性的基础上，作出关于该事物的一般性结论的推理方 法，成为完全归纳推理（又称完全归纳法） 。说明 1.传统逻辑的不完全归纳推理，包括简单枚举归纳推理和科学 归纳推理两种。2.完全归纳法一般有两种相似的推理形。2不完全归纳和完全归纳推理的分类（一）不完全归纳推理的分类1.简单枚举归纳推理（1）简单枚举归纳推理

4、的定义简单枚举归纳推理是以经验的认识为主要依据，从某种的多 次重复而又未发现反例，来推出一般性的结论。简单枚举归纳推理又称为简单枚举法。例 2：强奸案有社会危害性，诈骗案有社会危害性，抢劫案有社会危害性，3：强奸案、诈骗案、抢劫案是刑事案件的部分案件，并且在考察中 没有遇到相矛盾的情况 ；所以，所有刑事案件都有社会危害性。例 3：21 11 21 21161 51 301 65151 41 201 54141 31 121 43131 21 61 321.由此，可以归纳出恒等式（n=1,2,3.）111 ) 1(1 nnnn例 4：5432115432110321621311.由此可以设想：对

5、于任意的有Nn4222222).4321 (.4321nn2)2) 1(nn（2）简单枚举的逻辑形式S1 是（或不是）P,S2 是（或不是）P,S3 是（或不是）P,：Sn 是（或不是）P,S1 Sn 是 S 类的部分对象，并且在考察中没有遇到相对矛盾的情况，所以，所有 S 是（或不是）P。（3）简单枚举法的特征极其作用简单枚举法的结论所断定的范围超出了前提所断定的范围，前 提与结论之间的联系是或然的，并且，其结论的推出依赖于没有遇 到反例，没有遇到反例并不等于反例不存在，一旦发现反例，结论 立刻被推翻，因此，它具有猜测的性质。 尽管简单枚举法的结论是或然的，但它仍然有不可忽视的认识 作用。第

6、一，在日常工作和生活中，它是初步概括生活和实践经验 的重要手段。在工作和生活中，人们对一些重复出现的情况，在没 有遇到反例的情形下，往往用简单枚举法进行概括，探求客观事物 的规律，以指导自己的行动。如， “燕子低飞要下雨” ，就是用简单 枚举法概括出来的。产品质量的抽样检验，工作情况的检查和总结， 往往应用简单枚举法。第二，在科学研究中，简单枚举法是初步发 现客观规律以及提出关于这些规律的假说的重要手段。如数学史上 著名的哥德巴赫猜想，即每个不小于 4 的偶数都是两个素数之和， 就是应用简单枚举法提出来的5（4）提高简单枚举法结论的可靠性应该注意的问题一类事物中被考察的对象越多，结论的可靠性就

7、越大。一类事物中被考察的对象范围越广，结论的可靠性就越大。如果只是根据少量粗略的事实，就推出一般性的结论，就 会 犯“轻率概括”或“以偏概全”的逻辑错误。2.科学归纳推理 （1）科学归纳推理的定义科学归纳推理，是根据对某类中部分对象与其属性间的因果联 系的认识，推出有关该类对象的一般性质。例5：金受热后体积膨胀;银受热后体积膨胀;铜受热后体积膨胀;铁受热后体积膨胀;因为金属受热后,分子的凝聚力减弱,分子运动加速,分子彼此 距离加大,从而导致膨胀,而金,银,铜,铁都是金属;所以,所有金属受热后体积都膨胀.（2）科学归纳推理的逻辑形式科学归纳推理的形式如下:S1是 PS2是 PSn 是 PS1,S

8、2,Sn 是 S 类的部分对象,其中没有 Si(1in)不是 P ;并且科学研究表明,S 和 P 之间有因果联系所以,所有 S 都是 P。6（3）如何提高科学归纳推理结论的可靠程度为了提高科学归纳推理结论的可靠程度，必须注意以下两点：被考察的对象必须具有典型性；必须有相应的科学理论作指导，能给对象与其属性之间的因果联系以理论方面的解释。（4）科学归纳推理的作用同简单枚举归纳推理一样，科学归纳推理也广泛地运用于日常生活和科学研究。其作用也有这么两个一是开拓认识领域，扩大新知识；二是辅助论证，增强论证的说服力。3.科学归纳推理与见到你枚举归纳推理的关系科学归纳推理与简单枚举归纳推理相比，既有相同之

9、处，也有相异之处。(1)其相同之处是：二者都属于不完全归纳推理二者的前提都只是考察了一类中的部分对象；二者的结论都是对一类的全部对象的断定，结论所断定的知识范围都超出了前提的范围，前提与结论的联系都不是必然的。科学归纳推理虽然以科学分析为主要依据，但科学分析本身仍然是要受到主客观条件（如，研究者所掌握的背景知识、当时的科7技水平等）制约的。(2)二者相异之处是：推理根据不同。简单枚举归纳推理是以经验认识为根据，依据 某种属性在某类的部分对象中的不断重复，并且没有遇到反例； 科学归纳推理则是以科学分析为主要根据，需要进一步分析这些 对象与其属性之间的因果联系。前提数量的多少对于结论的意义不同。对

10、简单枚举归纳推理而 言，前提所考察的对象数量越多，结论就越可靠；但对科学归纳 推理而言，前提所考察的对象数量的多少对结论的可靠程度不起 主要作用，只要是真正揭示了对象与其属性之间的因果联系，即 使前提所考察的对象数量不多（甚至只有一个） ，也能得到较为 可靠的结论。结论的可靠程度不同。虽然二者的结论都是或然的，但科学归纳 推理的结论的可靠程度比简单枚举归纳推理的结论的可靠程度 要高。2.完全归纳法（1）完全归纳法的定义在研究某类事物的一切特殊情况或每一个子类的情况后所得到 的共同属性的基础上，作出关于该事物的一般性结论的推理方法， 成为完全归纳推理（又称为完全归纳法） 。例6： 已知欧洲有矿藏

11、 ,亚洲有矿藏,非洲有矿藏,北美洲有矿藏,南8美洲有矿藏,大洋洲有矿藏,南极洲有矿藏,而欧洲,亚洲,非洲,北美洲,南美洲,大洋洲,南极洲是地球上的全部大洲 ,所以,地球上所有大洲都有矿藏 。例7：北京市的人口总数超过 900 万，天津市的人口总数超过 900 万 ， 上海市的人口总数超过 900 万，重庆市的人口总数超过 900 万；北京、天津、上海、重庆是中国的四个直辖市。所以， 中国所有的直辖市的人口总数都超过了 900 万。例8,是正的，则差若是两个有理数，试证：设bababa,从而则）若（由算术可知）若（：，可分为三种情况考察证：设. 0, 0, 02. 0, 0, 01bbababa

12、ba0)(baba0)(, 0, 0, 03babaabbbababa知从而由此时知则由）若（2）完全归纳推理的逻辑形式逻辑形式如下:S1是 PS2是 PSn 是 PS1,S2,Sn 是 S 类的全部对象所以,所有 S 都是 P9（3）完全归纳推理的特征因为完全归纳推理是由个别知识前提推出一般性知识结论的 推理，并且结论是由前 提必然推出的，完全归纳推理的结论是对 一类所有对象的认识的概括，所以它能使人们的认识从个别上升到 一般，使人们对某一类事物的认识深化，这正是完全归纳推理的认 识作用。为了证明某个一般性结论的正确，就可以列举、考察被研 究对象的每一个情况的成立，通过完全归纳推理证明这个一

13、般性结 论的正确性。此外，完全归纳推理还常常被用作科学发现的方法。当然，由于完全归纳推理要求被讨论的某类事物的所有对象必 须一一列举出来，加以考察和断定，从而其对象的数量必须是有限 的，因此，完全归纳推理的应用就有一定的局限性，它只适用于有 限对象的事物类别，遇到一些对象无限的事物类别时，就不能使用 完全归纳推理了。 （2）完全归纳推理的作用因为完全归纳推理是由个别知识前提推出一般性知识结论的推 理，并且结论是由前提必然推出的，完全归纳推理的结论是对一类 所有对象的认识的概括，所以它能使人们的认识从个别上升到一般，使人们对某一类事物的认识深化，这正是完全归纳推理的认识作 用。 为了证明某个一般

14、性结论的正确，就可以列举、考察被研究 对象的 每一个情况的成立，通过完全归纳推理证明这个一般性结 论的正确 性。此外，完全归纳推理还常常被用作科学发现的方法。当然，由于完全归纳推理要求被讨论的某类事物的所有对象必 须 一一列举出来，加以考察和断定，从而其对象的数量必须是有 限的， 因此，完全归纳推理的应用就有一定的局限性，它只适用 于有限对象的事物类别，遇到一些对象无限的事物类别时，就不能 使用完全归纳推理了。（3）完全归纳推理两方面的作用认识作用：完全归纳推理根据某类事物每一对象都具有某种属 性, 推出该类事物都具有该种属性,使人们的认识从个 别 上升到了一般.比如,上面根据“地球上的大洲“

15、这10一类 事物的每个对象都有“有矿藏“这一属性,得出“ 地球上 所有大洲都有矿藏“的结论,就体现了完全归 纳推理的 认识作用.论证作用：因为完全归纳推理的前提和结论之间的联系是必然 的,所以常被用作强有力的论证方法。三归纳法的作用 （1）归纳法是揭示规律的重要手段 （2）归纳法是培养抽象概括能力的有效途径 （3）归纳法其实人们用特殊化方法解一般问题。四归纳法的应用 例9：平面上有 n 个圆，每两个圆交于两点，每三个圆不过同一点， 求证这 n 个圆分平面为 n2n2个部分证明：（1）当 n1时，n2n21122，而一个圆把平面分 成 两部分，所以 n1时命题成立（2）设当 nk 时，命题成立，即 k 个圆分平面为 k2k2个 部分，则 nk1时，第 k1个圆与前 k 个圆有2k 个交 点，这2k 个交点把第 k1个圆分成2k 段，每一段把原