空间几何体的表面积与体积

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1、- 1 -疏导引导疏导引导 1.棱柱、棱锥、棱台的展开图与表面积 (1)直棱柱的侧面展开图及侧面积 直棱柱的侧面展开图是矩形，例如直六棱柱的展开图如图(1). 直棱柱的侧面面积. 设棱柱高为 h，底面多边形的周长为 c，则得到直棱柱侧面面积计算公式：S直棱柱侧面积=ch 即直棱柱的侧面积等于它的底面周长和高的乘积. (2)正棱锥的侧面展开图及侧面积 正棱锥的侧面展开图是一些全等的等腰三角形. 例如正四棱锥的展开图如图(2).正棱锥的侧面积设正棱锥底面正多边形的边长为 a，底面周长为 c，斜高为 h，斜高为展开图中任一等 腰三角形的高，则正 n 棱锥的侧面积的计算公式：S正棱锥侧=nah=ch2

2、1 21即正棱锥的侧面积等于它的底面的周长和斜高乘积的一半. (3)正棱台的侧面展开图及侧面积 正棱台的侧面展开图 正 n 棱台的侧面展开图是 n 个全等的等腰梯形，例如：正四棱台的展开图如图(3). 正棱台的侧面积设正 n 棱台的上底面，下底面边长分别为 a、a，对应周长分别为 c、c，斜高(斜高为 展开图中任一等腰梯形的高)为 h,则正 n 棱台的侧面积公式:S正棱台侧=n(a+a)h= (c+c)h21 21本结果也可以用求两个正棱锥侧面积之差的方法得出. (4)棱柱、棱锥、棱台的表面积 棱柱、棱锥、棱台的表面积或全面积等于侧面积与底面积的和. 疑难疏引疑难疏引 棱柱、棱锥和棱台的侧面积

3、公式的内在联系必须明确，这样有利于认识这三个 几何体的本质，也有利于区分这三个几何体.正棱柱、正棱锥和正棱台的侧面积公式之间的 关系如下：案例案例 1 直平行六面体的底面为菱形，过不相邻两条侧棱的截面面积分别为 Q1、Q2，求它 的侧面积. 【探究】 要求此棱柱的侧面积，只要求它的底面边长与高即可- 2 -解：解：设直平行六面体底面边长为 a，侧棱长为 l，如图 S侧=4al，因过 A1A、C1C 与 B1B、D1D 的截面都为矩形，从而，则 AC=，BD=， lBDQlACQ21 lQ1 lQ2又 ACBD，.222)2()2(aBDAC.22221)2()2(alQ lQ .2 22 12

4、24QQla2 22 12QQalS侧=.2 22 124QQal【规律总结】 公式中的量求出来，但要注意平面几何知识及整体思想的运用. 案例案例 2 已知正四棱锥底面正方形的边长为 4 cm，高与斜高夹角为 35,则斜高为 _；侧面积为_；全面积为_.(单位：精确到 0.01)【探究】 如图，正四棱锥的高 PO，斜高 PE，底面边心距 OE 组成直角POE.OE=2 cm，OPE=35,斜高 PE=3.49(cm),574. 02 35sinOES正棱锥侧=ch=4427.92(cm2),21 21 574. 02S正棱锥全=42+27.92=43.92(cm2). 【答案】 3.49 cm

5、 27.92 cm2 43.92 cm2 【规律总结】 主要通过正棱锥的高、斜高、底面边心距组成的直角三角形寻找到各量的关 系，并求解. 2.圆柱、圆锥、圆台的表面积 (1)圆柱、圆锥、圆台的侧面展开图如图- 3 -(2)圆柱、圆锥、圆台的侧面积和表面积. 如果圆柱的底面半径为 r，母线长为 l，那么圆柱的底面面积为 r2，侧面积为 2rl.因此， 圆柱的表面积. S=2r2+2rl=2r(r+l). 如果圆锥的底面半径为 r，母线长为 l，那么它的侧面积为 rl，表面积 S=r2+rl=r(r+l). 如果圆台的两底面半径分别为 r、r，母线长为 l，则侧面积为 (r+r)l，表面积为 S=

6、(r2+r2+rl+rl). 疑难疏引疑难疏引 圆柱、圆锥、圆台的侧面积分别是它们侧面展开图的面积，因此弄清侧面展开 图的形状及侧面展开图中各线段与原旋转体的关系，是掌握它们的侧面积公式及解有关问 题的关键. 案例案例 3 如图所示几何体是一棱长为 4 cm 的正方体，若在它的各个面的中心位置上，各打 一个直径为 2 cm、深为 1 cm 的圆柱形的孔，求打孔后几何体的表面积是多少?(=314)【探究】 因为正方体的棱长为 4 cm，而孔深只有 1 cm，所以正方体没有被打透这样一 来打孔后所得几何体的表面积，等于原来正方体的表面积，再加上六个完全一样的圆柱的 侧面积，这六个圆柱的高为 1 c

7、m，底面圆的半径为 1 cm 解：解：正方体的表面积为 166=96(cm2)， 一个圆柱的侧面积为 211=628(cm2)， 几何体的表面积为 96+6286=13368(cm2) 【答案】 几何体的表面积为 13368 cm2 【规律总结】 1.求几何体的表面积问题，通常将所给几何体分成基本的柱、锥、台，再通 过这些基本柱、锥、台的表面积，进行求和或作差，从而获得几何体的表面积 2.本题中将几何体的表面积表达为正方体的表面积与六个圆柱侧面积的和是非常有创意的 想法，如果忽略正方体没有被打透这一点，思考就会变得复杂，当然结果也会是错误的 3.柱、锥、台体的体积 (1)棱柱和圆柱的体积公式

8、柱体(棱柱、圆柱)的体积等于它的底面积 S 和高 h 的积.即 V柱体=Sh 底面半径是 r，高是 h 的圆柱体的体积的计算公式是 V圆柱=r2h (2)棱锥和圆锥的体积公式锥体(棱锥、圆锥)的体积等于它的底面积 S 和高 h 的积的.即31V锥体=Sh31- 4 -如果圆锥的底面半径是 r，高是 h，则它的体积是 V圆锥=r2h31(3)棱台和圆台的体积V台体=h(S+S)31SS 其中 S，S 分别为上、下底面面积，h 为圆台(棱台)高.V圆台=h(r2+rr+r2)31其中 r，r 分别为上、下底面半径，h 为圆台高. (4)柱体、锥体、台体的体积公式之间的关系：(5)计算柱体、锥体和台

9、体的体积,关键是根据条件找出相应的底面面积和高，要充分运用多 面体的有关截面及旋转体的轴截面，将空间问题转化为平面问题. 疑难疏引疑难疏引 在推导棱锥的体积公式时，是将三棱柱分成三个三棱锥，这三个三棱锥变换它 们的底面和顶点，可以得到它们两两之间等底面积、等高，因此它们的体积相等，都等于 三棱柱体积的三分之一，在这个过程中一是运用了等体积转换的方法，二是运用了割补法， 这些方法在今后解题时要灵活运用. 案例案例 4 如图是一个底面直径为 20 cm 的装有一部分水的圆柱形玻璃杯，水中放着一个底 面直径为 6 cm，高为 20 cm 的一个圆锥形铅锤，当铅锤从水中取出后，杯里的水将下降几 厘米？

10、(=314)【探究】 因为玻璃杯是圆柱形的，所以铅锤取出后，水面下降部分实际是一个小圆柱，这 个圆柱的底面与玻璃杯的底面一样，是一直径为 20 cm 的圆，它的体积正好等于圆锥形铅 锤的体积，这个小圆柱的高就是水面下降的高度因为圆锥形铅锤的体积为()220=60(cm3)，31 26设水面下降的高度为 x，则小圆柱的体积为 (202)2x=100x(cm3) 所以有 60=100x，解此方程得 x=06(cm) 答：答：铅锤取出后，杯中水面下降了 0.6 cm. 【规律总结】 根据题意，发现下降的水的体积应该等于取出的圆锥形铅锤的体积，这是解 决问题的关键，利用圆柱与圆锥的体积公式建立方程，这

11、当中应注意下降部分水柱的底面 与玻璃的底面是相同的 4.球的表面积和体积 (1)球的表面积 球面不能展开成平面，要用其他方法求它的面积.- 5 -球的表面积 设球的半径为 R，则球的表面积公式 S球=4R2 即球面面积等于它的大圆面积的四倍. (2)球的体积 设球的半径为 R，它的体积只与半径 R 有关，是以 R 为自变量的函数.球的体积公式为 V球=R334疑难疏引疑难疏引 与球有关的组合体问题，一种是内切，一种是外接.解题时要认真分析图形，明 确切点和接点的位置，确定有关元素间的数量关系，并作出合适的截面图.如球内切于正方 体，切点为正方体各个面的中心，正方体的棱长等于球的直径；球外接于正

12、方体，正方体 的顶点均在球面上，正方体的体对角线长等于球的直径，球与旋转体的组合，通常作它们 的轴截面解题，球与多面体的组合，通过多面体的一条侧棱和球心，或“切点”、 “接点”作出 截面图. 案例案例 5 在球内有相距 1 cm 的两个平行截面，截面面积分别是 5 cm2和 8 cm2，球心不在 截面之间，求球面的面积 【探究】 已知截面面积,也就能求出截面半径要求球的面积,只要求出球的半径即可设球的半径为 R,利用几何关系,容易得到球心到两截面的距离分别为和,由52R82R于球心不在截面之间,即两截面在同一侧,故这两个距离相减即得到两平面之间距离如图，圆 O 是球的大圆，A1B1、A2B2分

13、别是两条平行于截面圆的直径，过 O 作OC1A1B1于 C1，交 A2B2于 C2由于 A1B1A2B2，所以 OC2A2B2由圆的性质可得， C1和 C2分别是 A1B1和 A2B2的中点 设两平行平面的半径分别为 r1和 r2，且 r1S2 D.以上情况均有可能 解析：解析：设它们的高是 h，底面半径 r，则S1=r()，S2=2rh,22rh .hrh SS 22221当 r2=3h2时，S1=S2；当 r23h2时，S1S2； 当 r23h2时，S1S2. 答案：答案：D 7.半径为 15 cm，圆心角为 216的扇形围成圆锥的侧面，则圆锥的高是( ) A.14 cm B.12 cm

14、C.10 cm D.8 cm解析：解析：设圆锥的底面半径为 r，则360=216,解得 r=9,15r圆锥的高是=12(cm).22915 h答案：答案：B 8.正四棱柱的对角线长为 3 cm,它的全面积为 16 cm2,求它的体积. 解析解析:设正四棱柱的底面边长为 a cm,高为 h cm,则,或16243)2(2222aahah 12 ha 3734haV=a2h=41=4 或 V=a2h=.27112 37)34(29.求每条棱长都等于 a 的三棱锥的体积. 解析解析:设三棱锥 SABC 每条棱长都为 a，则棱锥 SABC 为正三棱锥，如图，- 10 -令 SO 为正三棱锥的高，BO=

15、,aa33 32 23.aaaBOSBSO36)33(2222而 S底=，2 43aV锥=.32 122 36 43 31 31aaash10.设圆台的高为 3，如图，在轴截面中母线 AA1与底面圆直径 AB 的夹角为 60,轴截面中 的一条对角线垂直于腰，求圆台的体积. 解析：解析：作轴截面 A1ABB1，设上、下底面半径，母线长分别为 r、R、l. 作 A1DAB 于 D，则 A1D=3，A1AB=60.又BA1A=90，BA1D=60.AD=A1Dcot60，R-r=3.33R-r=.3BD=A1Dtan60R+r=3.3R+r=.33R=,r=而 h=3323V圆台=h(R2+Rr+r2)=3=2131 3122)3(332)32(圆台的体积为 21. 11.一个正四面体的所有棱长都为 2，四个顶点在同一个球面上，则此球的表面积为( )A.3 B.4 C.