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1、1第第 1 1 讲讲 随机事件的概率随机事件的概率板块一 知识梳理自主学习必备知识考点 1 概率1在相同条件下，大量重复进行同一试验时，随机事件A发生的频率会在某个常数附近摆动，即随机事件A发生的频率具有稳定性我们把这个常数叫做随机事件A的概率，记作P(A)2频率反映了一个随机事件出现的频繁程度，但频率是随机的，而概率是一个确定的值，因此，人们用概率来反映随机事件发生的可能性的大小，有时也用频率作为随机事件概率的估计值3概率的几个基本性质(1)概率的取值范围：0P(A)1.(2)必然事件的概率：P(A)1.(3)不可能事件的概率：P(A)0.(4)概率的加法公式如果事件A与事件B互斥，则P(A
2、B)P(A)P(B)(5)对立事件的概率若事件A与事件B互为对立事件，则AB为必然事件P(AB)1，P(A)1P(B)考点 2 事件的关系与运算2必会结论1从集合的角度理解互斥事件和对立事件(1)几个事件彼此互斥，是指由各个事件所含的结果组成的集合的交集为空集(2)事件A的对立事件 所含的结果组成的集合，是全集中由事件A所含的结果组成的A集合的补集2概率加法公式的推广当一个事件包含多个结果且各个结果彼此互斥时，要用到概率加法公式的推广，即P(A1A2An)P(A1)P(A2)P(An)考点自测1判断下列结论的正误(正确的打“” ，错误的打“”)(1)“下周六会下雨”是随机事件( )(2)事件发
3、生的频率与概率是相同的( )(3)随机事件和随机试验是一回事( )(4)在大量重复试验中，概率是频率的稳定值( )(5)两个事件的和事件是指两个事件同时发生( )3(6)对立事件一定是互斥事件，互斥事件不一定是对立事件( )答案 (1) (2) (3) (4) (5) (6)22015湖北高考我国古代数学名著数书九章有“米谷粒分”题：粮仓开仓收粮，有人送来米 1534 石，验得米内夹谷，抽样取米一把，数得 254 粒内夹谷 28 粒，则这批米内夹谷约为( )A134 石 B169 石 C338 石 D1365 石答案 B解析 由题意可知这批米内夹谷为1534169(石)，故选 B.28 254
4、3课本改编一袋中装有大小相同，编号分别为 1,2,3,4,5,6,7,8 的 8 个球，从中有放回地每次取一个球，共取 2 次，则取得两个球的编号和不小于 15 的概率为( )A. B. C. D.1 321 643 323 64答案 D解析 从 8 个球中有放回的每次取一个球，取 2 次共有 8864 种取法两个球的编号和不小于 15，则两球号码可以为(7,8)，(8,7)，(8,8)三种可能，其概率为P.3 6442018宁夏检测抽查 10 件产品，设事件A为“至少有 2 件次品” ，则事件A的对立事件为( )A至多有 2 件次品 B至多有 1 件次品C至多有 2 件正品 D至少有 2 件
5、正品答案 B解析 “至少有n个”的反面是“至多有n1 个” ，又事件A“至少有 2 件次品” ，事件A的对立事件为“至多有 1 件次品” 52018云南质检在 2,0,1,8 这组数据中，随机取出三个不同的数，则数字 2 是取出的三个不同数的中位数的概率为( )A. B. C. D.3 45 81 21 4答案 C解析 分析题意可知，共有(0,1,2)，(0,2,8)，(1,2,8)，(0,1,8)4 种取法，符合题意的取法有 2 种，故所求概率P .1 262018湖南长沙模拟同时掷 3 枚硬币，至少有 1 枚正面向上的概率是( )A. B. C. D.7 85 83 81 8答案 A解析
6、由题意知本题是一个等可能事件的概率，试验发生包含的事件是将 1 枚硬币连续抛掷三次，共有 238 种结果，满足条件的事件的对立事件是 3 枚硬币都是背面向上，有 1 种结果，所以至少一枚正面向上的概率是 1 .故选 A.1 87 8板块二 典例探究考向突破4考向 事件的概念例 1 从 6 件正品与 3 件次品中任取 3 件，观察正品件数与次品件数，判断下列每对事件是不是互斥事件；如果是，再判断它们是不是对立事件(1)“恰好有 1 件次品”和“恰好有 2 件次品” ；(2)“至少有 1 件次品”和“全是次品” ；(3)“至少有 2 件次品”和“至多有 1 件次品” 解 从 6 件正品与 3 件次
7、品中任取 3 件，共有 4 种情况：3 件全是正品；2 件正品1 件次品；1 件正品 2 件次品；全是次品(1)“恰好有 1 件次品”即“2 件正品 1 件次品” ；“恰好有 2 件次品”即“1 件正品 2件次品” ，它们是互斥事件但不是对立事件(2)“至少有 1 件次品”包括“2 件正品 1 件次品” “1 件正品 2 件次品” “全是次品”3种情况，它与“全是次品”既不是互斥事件也不是对立事件(3)“至少有 2 件次品”包括”1 件正品 2 件次品” “全是次品”2 种情况；“至多有 1件次品”包括“2 件正品 1 件次品” “全是正品”2 种情况，它们既是互斥事件也是对立事件触类旁通事件
8、间关系的判断方法对互斥事件要把握住不能同时发生，而对于对立事件除不能同时发生外，其并事件应为必然事件，这些也可类比集合进行理解，具体应用时，可把所有试验结果写出来，看所求事件包含哪几个试验结果，从而断定所给事件的关系【变式训练 1】 2018湖北十市联考从装有 2 个红球和 2 个黑球的口袋内任取 2个球，那么互斥而不对立的两个事件是( )A “至少有一个黑球”与“都是黑球”B “至少有一个黑球”与“都是红球”C “至少有一个黑球”与“至少有一个红球”D “恰有一个黑球”与“恰有两个黑球”答案 D解析 A 中的两个事件是包含关系，不是互斥事件；B 中的两个事件是对立事件；C 中的两个事件都包含
9、“一个黑球一个红球”的事件，不是互斥关系；D 中的两个事件是互斥而不对立的关系考向 随机事件的概率与频率例 2 2017全国卷某超市计划按月订购一种酸奶，每天进货量相同，进货成本每瓶 4 元，售价每瓶 6 元，未售出的酸奶降价处理，以每瓶 2 元的价格当天全部处理完根据往年销售经验，每天需求量与当天最高气温(单位：)有关如果最高气温不低于 25，需求量为 500 瓶；如果最高气温位于区间20,25)，需求量为 300 瓶；如果最高气温低于 20，需求量为 200 瓶为了确定六月份的订购计划，统计了前三年六月份各天的最高气温数据，得下面的频数分布表：最高10,15,20,25,30,35,5气温
10、15)20)25)30)35)40)天数216362574以最高气温位于各区间的频率估计最高气温位于该区间的概率(1)估计六月份这种酸奶一天的需求量不超过 300 瓶的概率；(2)设六月份一天销售这种酸奶的利润为Y(单位：元)当六月份这种酸奶一天的进货量为 450 瓶时，写出Y的所有可能值，并估计Y大于零的概率解 (1)这种酸奶一天的需求量不超过 300 瓶，当且仅当最高气温低于 25，由表格数据知，最高气温低于 25 的频率为0.6，所以这种酸奶一天的需求量不超过 30021636 90瓶的概率的估计值为 0.6.(2)当这种酸奶一天的进货量为 450 瓶时，若最高气温不低于 25，则Y64
11、504450900；若最高气温位于区间20,25)，则Y63002(450300)4450300；若最高气温低于 20，则Y62002(450200)4450100，所以，Y的所有可能值为 900,300，100.Y大于零当且仅当最高气温不低于 20，由表格数据知，最高气温不低于 20 的频率为0.8，因此Y大于零的概率的估计值为 0.8.362574 90触类旁通概率和频率的关系概率可看成频率在理论上的稳定值，它从数量上反映了随机事件发生的可能性的大小，它是频率的科学抽象，当试验次数越来越多时频率向概率靠近，只要次数足够多，所得频率就近似地当作随机事件的概率【变式训练 2】 2016全国卷某
12、险种的基本保费为a(单位：元)，继续购买该险种的投保人称为续保人，续保人本年度的保费与其上年度出险次数的关联如下：随机调查了该险种的 200 名续保人在一年内的出险情况，得到如下统计表：出险次数012345频数605030302010(1)记A为事件：“一续保人本年度的保费不高于基本保费” 求P(A)的估计值；(2)记B为事件：“一续保人本年度的保费高于基本保费但不高于基本保费的160%” 求P(B)的估计值；(3)求续保人本年度平均保费的估计值6解 (1)事件A发生当且仅当一年内出险次数小于 2.由所给数据知，一年内出险次数小于 2 的频率为0.55，故P(A)的估计值为 0.55.6050
13、 200(2)事件B发生当且仅当一年内出险次数大于 1 且小于 4.由所给数据知，一年内出险次数大于 1 且小于 4 的频率为0.3，故P(B)的估计值为 0.3.3030 200(3)由所给数据得保费0.85aa1.25a1.5a1.75a2a频率0.300.250.150.150.100.05调查的 200 名续保人的平均保费为085a0.30a0.251.25a0.151.5a0.151.75a0.102a0.051.1925a.因此，续保人本年度平均保费的估计值为 1.1925a.考向 互斥事件、对立事件的概率命题角度 1 互斥事件的概率例 3 2018洛阳模拟经统计，在某储蓄所一个营
14、业窗口等候的人数及相应的概率如下：排队人数012345 人及 5 人以上概率0.10.160.30.30.10.04求：(1)至多 2 人排队等候的概率是多少？(2)至少 3 人排队等候的概率是多少？解 记“无人排队等候”为事件A， “1 人排队等候”为事件B， “2 人排队等候”为事件C， “3 人排队等候”为事件D， “4 人排队等候”为事件E， “5 人及 5 人以上排队等候”为事件F，则事件A，B，C，D，E，F互斥(1)记“至多 2 人排队等候”为事件G，则GABC，所以P(G)P(ABC)P(A)P(B)P(C)0.10.160.30.56.(2)解法一：记“至少 3 人排队等候”
15、为事件H，则HDEF，所以P(H)P(DEF)P(D)P(E)P(F)0.30.10.040.44.解法二：记“至少 3 人排队等候”为事件H，则其对立事件为事件G，所以P(H)1P(G)0.44.命题角度 2 对立事件的概率例 4 2018扬州模拟某超市为了了解顾客的购物量及结算时间等信息，安排一名员工随机收集了在该超市购物的 100 位顾客的相关数据，如下表所示7已知这 100 位顾客中一次购物量超过 8 件的顾客占 55%.(1)确定x，y的值，并估计顾客一次购物的结算时间的平均值；(2)求一位顾客一次购物的结算时间不超过 2 分钟的概率(将频率视为概率)解 (1)由已知得 25y1055，x3045，所以x15，y20.该超市所有顾客一次购物的结算时间组成一个总体，所收集的 100 位顾客一次购物的结算时间可视为总体的一个容量为 100 的简单随机样本，顾客一次购物的结算时间的平均值可用样本平均数估计，其估计值为1.9(分钟)1 151.5 302 252.5 203 10 100(2)记A为事件“一位顾客一次购物的结算时间不超过 2 分钟” ，A1，A2分别表示事件“该顾客一次购物的结算时间为
